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DisciplinaIntrodução à Probabilidade e A Estatística II205 materiais1.649 seguidores
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Probabilidades e Estat´\u131stica
2004/05
Breve resoluc¸a\u2dco de dois exerc´\u131cios
para ilustrar a distribuic¸a\u2dco normal
LEIC, LERCI, LEE
O comprimento das pec¸as produzidas por uma ma´quina e´ uma varia´vel aleato´ria nor-
mal com valor esperado µ (mm) e varia\u2c6ncia \u3c32 (mm2). Uma pec¸a e´ defeituosa se o seu
comprimento diferir do valor esperado mais do que \u3c3. Sabe-se que 50% das pec¸as produzi-
das te\u2c6m comprimento inferior a 2.5 mm e 47.5% das pec¸as produzidas te\u2c6m comprimento
entre 2.5 mm e 3.42 mm.
(a) Calcule µ e \u3c3.
(b) Determine a probabilidade de que uma pec¸a seja na\u2dco defeituosa.
(c) Suponha que se pretende alterar os limites de especificac¸a\u2dco de pec¸a defeituosa. Assim
uma pec¸a e´ considerada defeituosa se o seu comprimento diferir do valor esperado
mais do que k vezes \u3c3. Caso se pretenda que no ma´ximo 1% das pec¸as sejam
defeituosas, que valor devera´ tomar k?
(d) Suponha que sa\u2dco retiradas da produc¸a\u2dco da ma´quina 60 pec¸as, sendo que os seus
comprimentos sa\u2dco independentes (e assumindo que a probabilidade de cada uma ser
defeituosa e´ 0.01). Determine a probabilidade de que neste conjunto de 60 pec¸as
menos de 4 sejam defeituosas.
Resoluc¸a\u2dco:
(a) Se P (X < 2.5) = 0.5 enta\u2dco E[X] = µX = 2.5 (uma vez que qualquer v.a. com
distribuic¸a\u2dco normal tem func¸a\u2dco densidade de probabilidade sime´trica em torno do
1
seu valor esperado, donde resulta, em particular, que a mediana de uma varia´vel
aleato´rica com distribuic¸a\u2dco normal e´ sempre igual ao seu valor esperado).
Por outro lado se 47.5% das pec¸as produzidas te\u2c6m comprimento entre 2.5 mm e 3.42
mm, enta\u2dco significa que P (2.5 < X < 3.42) = 0.475. Mas como P (X < 2.5) = 0.5,
enta\u2dco vem que
P (X < 3.42) = P (2.5 < X < 3.42) + P (X < 2.5) = 0.975
\u21d4 \u3a6(3.42 \u2212 2.5
\u3c3X
) = 0.975 =
i.e. 3.42\u22122.5
\u3c3X
e´ o quantil de probabilidade 0.975 de uma normal reduzida, que geral-
mente se denota por \u3a6\u22121(1.96). Consultando a tabela de quantis vem que o quantil
de probabilidade 0.975 da normal reduzida e´ o valor 1.96, donde \u3c3X = 0.4694.
(b) Uma pec¸a e´ defeituosa se o seu comprimento diferir do valor esperado mais do que
\u3c3, donde a probabilidade de uma pec¸a retirada ao acaso na\u2dco ser defeituosa e´ dada
por
P (|X \u2212 µX | < \u3c3X) = \u3a6(1)\u2212 \u3a6(\u22121) = 0.6926.
(c) Suponhamos enta\u2dco que os limites de especificac¸a\u2dco do comprimento para que uma
pec¸a na\u2dco seja defeituosa sa\u2dco alterados, passando agora para |X \u2212 µX | < k\u3c3X onde
k e´ tal que
P (|X \u2212 µX | < k\u3c3X) = 0.99\u21d4
P (\u2212k\u3c3X < X \u2212 µX < k\u3c3X) = 0.99\u21d4
P (\u2212k < X \u2212 µX
\u3c3X
< k) = 0.99\u21d4
\u3a6(k)\u2212 \u3a6(\u2212k) = 0.99\u21d4
\u3a6(k)\u2212 (1\u2212 \u3a6(k)) = 0.99\u21d4
\u3a6(k) = 0.995\u21d4
k = \u3a6\u22121(0.995) = 2.5758
donde uma pec¸a e´ considerada defeituosa se o seu comprimento diferir do valor
esperado mais do que 2.5758 × \u3c3.
(d) Nesta al´\u131nea considere-se uma nova v.a. Y , com Y sendo o nu´mero de pec¸as defeitu-
osas encontradas num lote de 60. Assumindo que os comprimentos das pec¸as sa\u2dco
v.a. independentes e com a mesma distribuic¸a\u2dco, vem que
Y \u223c Bin(60, 0.1)
Como se esta´ nas condic¸o\u2dces de aproximac¸a\u2dco da Binomial pela Normal (uma vez que
n× p = 6 > 5 e n× (1\u2212 p) = 5.4 > 5 vem que
P (Y < 4) = P (Y \u2264 3) \u2248 \u3a6
(
3 + 0.5\u2212 6× 0.1\u221a
6× 0.1× 0.9
)
= 3.95 = 0.999961
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O nu´mero de itens dum certo tipo procurados num armaze´m durante uma semana
segue uma distribuic¸a\u2dco de Poisson com \u3bb = 50. Calcule a dimensa\u2dco m\u131´nima do stock a
adquirir de modo a que a probabilidade de satisfazer a procura semanal seja de 98% (use
a aproximac¸a\u2dco a` normal).
Resoluc¸a\u2dco:Seja X a v.a. que designa o nu´mero de itens procurados num armaze´m. Como
X \u223c Poisson (50), estamos nas condic¸o\u2dces de aproximac¸a\u2dco normal da distribuic¸a\u2dco Poisson
(\u3bb > 5). Asim, como P (X \u2264 S) \u2248 \u3a6
(
S+0.5\u221250\u221a
50
)
e
\u3a6
(
S + 0.5\u2212 50\u221a
50
)
= 0.98\u21d4 S + 0.5\u2212 50\u221a
50
= \u3a6\u22121(0.98) = 2.0537 \u21d4 S = 64.02
min{S : P (X \u2264 S) \u2265 0.98} = 65. Ou seja, a dimensa\u2dco m\u131´nima do stock a adquirir de
modo a que a probabilidade de satisfazer a procura semanal seja de 98% e´ 65.
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