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DisciplinaProbabilidade e Estatística11.877 materiais113.189 seguidores
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µ\u2212 k\u3c3 \u2264 X \u2264 µ+ k\u3c3) = P(µ\u2212 k\u3c3 \u2212 µ
\u3c3
\u2264 X \u2212 µ
\u3c3
\u2264 µ+ k\u3c3 \u2212 µ
\u3c3
)
=
P
(\u2212k \u2264 Z \u2264 k) = \u3a6(k)\u2212 \u3a6(\u2212k) = \u3a6(k)\u2212 [1\u2212 \u3a6(k)] = 2.\u3a6(k)\u2212 1
Portanto, conclui-se que para qualquer intervalo simétrico em que X \u223c N(µ, \u3c32), é sempre
verdade que
P (
\u2223\u2223X \u2212 µ\u2223\u2223 \u2264 k.\u3c3) = 2.\u3a6(k)\u2212 1
Para k = 1, temos que
P (
\u2223\u2223X \u2212 µ\u2223\u2223 \u2264 \u3c3) = 2.\u3a6(1,00)\u2212 1 = 68,26%
podemos concluir, que sendo X uma variável aleatória com distribuição normal com média µ e
variância \u3c32, a probabilidade de encontrarmos um valor de X no intervalo delimitado pelos pontos
de inflexão é de 68,26% , deixando claro o grau de concentração das observações em torno da
média.
Para k = 2, temos que
P (
\u2223\u2223X \u2212 µ\u2223\u2223 \u2264 \u3c3) = 2.\u3a6(2,00)\u2212 1 = 95,45%
podemos concluir, que sendo X uma variável aleatória com distribuição normal com média µ e
variância \u3c32, a probabilidade de encontrarmos um valor deX no intervalo delimitado pelo intervalo(
µ \u2212 2.\u3c3;µ + 2.\u3c3) é de 95,45% de chance, sendo quase a totalidade dos valores observados de
variável aleatória X encontrase no intervalo que vai de
(
µ\u2212 2.\u3c3) a (µ+ 2.\u3c3).
Para k = 3, temos que
P (
\u2223\u2223X \u2212 µ\u2223\u2223 \u2264 \u3c3) = 2.\u3a6(3,00)\u2212 1 = 99,73%
Conclui-se que existe uma pequena probabilidade de encontrar um valor fora do intervalo de(
µ \u2212 3.\u3c3;µ + 3.\u3c3), ou seja, se X uma variável aleatória com distribuição normal com média µ e
variância \u3c32 constitui-se um evento raro encontrar um valor de X fora deste intervalo determinado,
a saber a probabilidade é
P (
\u2223\u2223X \u2212 µ\u2223\u2223 \u2265 3\u3c3) = 1\u2212 P (\u2223\u2223X \u2212 µ\u2223\u2223 \u2264 \u3c3) = 1\u2212 0,9973 = 0,7.%
Sendo X uma variável aleatória qualquer, média µ e variância \u3c32, para k > 1 é sempre verdade
que
P
(\u2223\u2223X \u2212 µ\u2223\u2223 \u2265 k\u3c3) \u2264 1
k2
. (1.6)
Esta expressão é conhecida pelo nome de Desigualdade de Chebyshev. A desigualdade indica que
a probabilidade que X tome algúm valor fora do intervalo
(
µ\u2212 k.\u3c3;µ+ k.\u3c3) é não mais que 1
k2
.
Veja que podemos reescrevê-la de várias maneiras e também interpretá-la de várias formas:
i) Como o complementar da inequação acima, isto é,
P
(\u2223\u2223X \u2212 µ\u2223\u2223 < k\u3c3) \u2265 1\u2212 1
k2
. (1.7)
Sendo
{\u2223\u2223X \u2212 µ\u2223\u2223 \u2265 k.\u3c3} {\u2223\u2223X \u2212 µ\u2223\u2223 < k.\u3c3} eventos complementares, então 1 \u2212 1
k2
indica a
probabilidade de que X tome valores dentro do intervalo
(
µ\u2212 k.\u3c3;µ+ k.\u3c3).
ii) fazendo \u3b5 = k.\u3c3, em que \u3b5 representa o erro máximo permitido entre X e µ.Temos que
k =
\u3b5
\u3c3
e
1
k2
=
\u3c32
\u3b52
. Logo a Desigualdade de Chebyshev, pode ser expressa como
P
(\u2223\u2223X \u2212 µ\u2223\u2223 \u2265 \u3b5) \u2264 \u3c32
\u3b52
. (1.8)
ou
P
(\u2223\u2223X \u2212 µ\u2223\u2223 < \u3b5) \u2265 1\u2212 \u3c32
\u3b52
. (1.9)
Assim como várias maneiras de escrever a desigualdade de Chebyshev, temos várias maneiras
de interpretar.
Exemplo1 - SeX é uma variável aleatória com média 33 e variância 16. Obter uma cota inferior
para P
[
23 < X < 43
]
.
Exemplo2 - Seja Sn o número de caras obtidos em 1000 lançamentos sucessivos de uma moeda
viciada
(
P [cara] = 0.25
)
. Estabeça uma cota superior para a probabilidade de
225 \u2264 Sn \u2264 275 , utilizando a desigualdade de Chebyshev.
Exemplo3 - Suponha que 30% dos estudantes de uma escola sejam mulheres. Colhemos uma
AAS de tamanho 10 estudantes e calculamos p\u302 e a proporção de mulheres na amostra. Qual a
probabilidade de que p\u302 difira de p em menos de 0,001?
Exemplo 4 - suponha que numa pesquisa de mercado estima-se que no máximo 60% das pes-
soas entrevistadas preferirão a marca A de um produto. Essa informação é baseada em pesquisas
anteriores. se quizermos que o erro amostral de p\u302 seja menor do que \u3b5 = 0,03 com probabilidade
\u3b3 = 0,95, teremos n= 1024.
EXERCÍCIOS
Questão 1: Determine o que se pede:
a) O primeiro quartil da variável aleatória X, em que X tem distribuição N(100; 49);
b) Z0 tal que : P(Z > Z0) = 0,65;
c) Z0 tal que : P(Z < Z0 ) = 0,80;
d) P(\u22121,57 \u2264 Z \u2264 2,42).
e) Md de uma N(30; 40);
f) Q3 de uma N(78; 121).
Questão 2: Para X\u223cN(100 ; 100), calcule:
a) P(X < 115); ( Resp. 0,9332)
b) P(X > 80); ( Resp. 0,9772)
c) P (|X \u2212 100| \u2264 10); ( Resp. 0,6826)
d) O valor a, tal que P (100\u2212 a \u2264 X \u2264 100 + a) = 0,95; ( Resp. a = 19,6)
Questão 3: Suponha que as notas de uma prova sejam normalmente distribuídas com média 73 e
desvio padrão 15. 15% dos alunos mais adiantados recebem a nota A e 12% mais atrasados re-
cebem nota F. Encontre o mínimo para receber A e o mínimo para para passar, não receber F.
Questão 4: Em uma distribuição normal, 28% dos elementos são superiores a 34 e 12% inferiores
a 19. Encontrar a média e a variância da distribuição.
Questão 5: Uma clinica de emagrecimento recebe pacientes adultos com peso seguindo uma dis-
tribuição Normal de média 130 kg e desvio padrão 20 kg. Para efeito de determinar o tratamento
mais adequado, os 25% pacientes de menor peso são classificados de \u201cmagros\u201d, enquanto os 25%
de maior peso de \u201cobesos\u201d. Determine os valores que delimitam cada uma dessas classificações.
Questão 6: Seja X uma função tal que X = X1 +X2 +X3 e as variáveis Xi , com i = 1, 2 e 3 são
independentes com as seguintes distribuições: X1 \u223c N(10; 9); X2 \u223c N(\u22122; 4); X3 \u223c N(5; 25).
Determine:
a) a distribuição da v.a. X;
b) P(X1 +X2 +X3 > 13);
c) P
(
X1+X2+X3
3
< 13.
)
Questão 7: SendoX1, X2 eX3 variáveis aleatórias independentes, seguindo o modelo Bernoulli
de parâmetro p, pergunta-se:
a) Qual é a função de probabilidade de X = X1 +X2 +X3? Você reconhece essa variável?
b) Qual é a E
(
X1+X2+X3
3
)
e a Var
(
X1+X2+X3
3
)
?
Questão 8: Estudo do sindicato dos Bancários indica que cerca de 30% dos funcionários de banco
têm problemas de estresse, proveniente das condições de trabalho. Numa amostra de 200 bancários,
qual seria a probabilidade de pelo menos 50 com essa doença?
Questão 9: Uma corretora negocia títulos na Bolsa de Valores e utiliza um modelo probabilístico
para avaliar seus lucros. Suas aplicações financeiras de compra e venda atingem três áreas: agri-
cultura, indústria e comércio. Admita que o seguinte modelo representa o comportamento do lucro
diário da corretora (em milhares de reais). L = 2.LA + 5.LI + 3.Lc,
com LA, LI , LC representando, respectivamente, os lucros diários nos setores de agricultura, indús-
tria e comércio. As distribuições de probabilidade dessas variáveis aleatórias são LA \u223c N(3; 4),
LI \u223c N(6; 9) e LC \u223c N(4; 16). Supondo indepedência entre os setores, qual será a probabilidade
de um lucro diário acima de 50 mil? (Resp. P(L > 50) = 46,02 %)
Questão 10: Para uma Normal (5; 10) coletou-se uma amostra de tamanho 25. Calcule:
a) P(X \u2264 4,8); ( Resp. 0,3745 )
b) P(4,5 \u2264 X \u2264 5,3); ( Resp. 0,466 )
c) P(X \u2264 4,7 ou X \u2265 5,1) ( Resp. 0,7556 ).
Questão 11: A máquina de empacotar um determinado produto o faz segundo uma distribuição
normal, com média µ de desvio padrão 10 g.
a) Em quanto deve ser regulado o peso médio µ para que apenas 10% dos pacotes tenham menos
do que 500 g? ( Resp. µ = 512,9 g)
b) Com a máquina assim regulada, qual a probabilidade de que o peso total de 4 pacotes escolhidos
ao acaso seja inferior a 2 kg? (Resp. 0,494%)
Questão 12: As alturas de 10.000 alunos de um colégio tem distribuição aproximadamente normal,
com média 170 cm e desvio padrão 5 cm.
a) Qual o número esperado de alunos com altura superior a 165 cm? (Resp. 8.413)
b) Qual o intervalo simétrico em torno da média que conterá 75% das alturas dos alunos?
(Resp. [164,25 ; 175,75])
Questão 13: Para X\u223c N(µ;\u3c32), calcule:
a) P (X \u2264 µ+ 2.\u3c3); ( Resp. 0,977)
b) P (|X \u2212 µ| \u2264 \u3c3); ( Resp. 0,68)
c) o número a tal que P (µ\u2212 a\u3c3 \u2264 X \u2264 µ+ a\u3c3) = 0,99 ( Resp. a = 2,58)
d) o número b tal que P(X > b)= 0,90. ( Resp. b = µ\u2212 1,29.\u3c3)
Questão 14: SendoX1, X2, . . . , Xn variáveis aleatórias independentes, seguindo o modelo Bernoulli
de parâmetro p, pergunta-se:
a) Qual é a função de probabilidade da variável aleatória X1 +X2 + . . .+Xn?
b) Qual é a E(X1+X2+...+Xn
n
) e a Var(X1+X2+...+Xn
n
)?