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Disciplina:Probabilidade e Estatística6.658 materiais99.107 seguidores
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µ− kσ ≤ X ≤ µ+ kσ) = P(µ− kσ − µ

σ
≤ X − µ

σ
≤ µ+ kσ − µ

σ

)
=

P
(−k ≤ Z ≤ k) = Φ(k)− Φ(−k) = Φ(k)− [1− Φ(k)] = 2.Φ(k)− 1

Portanto, conclui-se que para qualquer intervalo simétrico em que X ∼ N(µ, σ2), é sempre
verdade que

P (
∣∣X − µ∣∣ ≤ k.σ) = 2.Φ(k)− 1

Para k = 1, temos que

P (
∣∣X − µ∣∣ ≤ σ) = 2.Φ(1,00)− 1 = 68,26%

podemos concluir, que sendo X uma variável aleatória com distribuição normal com média µ e

variância σ2, a probabilidade de encontrarmos um valor de X no intervalo delimitado pelos pontos

de inflexão é de 68,26% , deixando claro o grau de concentração das observações em torno da

média.

Para k = 2, temos que

P (
∣∣X − µ∣∣ ≤ σ) = 2.Φ(2,00)− 1 = 95,45%

podemos concluir, que sendo X uma variável aleatória com distribuição normal com média µ e

variância σ2, a probabilidade de encontrarmos um valor deX no intervalo delimitado pelo intervalo(
µ − 2.σ;µ + 2.σ) é de 95,45% de chance, sendo quase a totalidade dos valores observados de

variável aleatória X encontrase no intervalo que vai de
(
µ− 2.σ) a (µ+ 2.σ).

Para k = 3, temos que

P (
∣∣X − µ∣∣ ≤ σ) = 2.Φ(3,00)− 1 = 99,73%

Conclui-se que existe uma pequena probabilidade de encontrar um valor fora do intervalo de(
µ − 3.σ;µ + 3.σ), ou seja, se X uma variável aleatória com distribuição normal com média µ e

variância σ2 constitui-se um evento raro encontrar um valor de X fora deste intervalo determinado,

a saber a probabilidade é

P (
∣∣X − µ∣∣ ≥ 3σ) = 1− P (∣∣X − µ∣∣ ≤ σ) = 1− 0,9973 = 0,7.%

Sendo X uma variável aleatória qualquer, média µ e variância σ2, para k > 1 é sempre verdade

que

P
(∣∣X − µ∣∣ ≥ kσ) ≤ 1

k2
. (1.6)

Esta expressão é conhecida pelo nome de Desigualdade de Chebyshev. A desigualdade indica que

a probabilidade que X tome algúm valor fora do intervalo
(
µ− k.σ;µ+ k.σ) é não mais que 1

k2
.

Veja que podemos reescrevê-la de várias maneiras e também interpretá-la de várias formas:

i) Como o complementar da inequação acima, isto é,

P
(∣∣X − µ∣∣ < kσ) ≥ 1− 1

k2
. (1.7)

Sendo
{∣∣X − µ∣∣ ≥ k.σ} {∣∣X − µ∣∣ < k.σ} eventos complementares, então 1 − 1

k2
indica a

probabilidade de que X tome valores dentro do intervalo
(
µ− k.σ;µ+ k.σ).

ii) fazendo ε = k.σ, em que ε representa o erro máximo permitido entre X e µ.Temos que

k =
ε

σ
e

1

k2
=
σ2

ε2
. Logo a Desigualdade de Chebyshev, pode ser expressa como

P
(∣∣X − µ∣∣ ≥ ε) ≤ σ2

ε2
. (1.8)

ou

P
(∣∣X − µ∣∣ < ε) ≥ 1− σ2

ε2
. (1.9)

Assim como várias maneiras de escrever a desigualdade de Chebyshev, temos várias maneiras

de interpretar.

Exemplo1 - SeX é uma variável aleatória com média 33 e variância 16. Obter uma cota inferior

para P
[
23 < X < 43

]
.

Exemplo2 - Seja Sn o número de caras obtidos em 1000 lançamentos sucessivos de uma moeda

viciada
(
P [cara] = 0.25

)
. Estabeça uma cota superior para a probabilidade de

225 ≤ Sn ≤ 275 , utilizando a desigualdade de Chebyshev.
Exemplo3 - Suponha que 30% dos estudantes de uma escola sejam mulheres. Colhemos uma

AAS de tamanho 10 estudantes e calculamos p̂ e a proporção de mulheres na amostra. Qual a

probabilidade de que p̂ difira de p em menos de 0,001?

Exemplo 4 - suponha que numa pesquisa de mercado estima-se que no máximo 60% das pes-

soas entrevistadas preferirão a marca A de um produto. Essa informação é baseada em pesquisas

anteriores. se quizermos que o erro amostral de p̂ seja menor do que ε = 0,03 com probabilidade

γ = 0,95, teremos n= 1024.

EXERCÍCIOS

Questão 1: Determine o que se pede:

a) O primeiro quartil da variável aleatória X, em que X tem distribuição N(100; 49);

b) Z0 tal que : P(Z > Z0) = 0,65;

c) Z0 tal que : P(Z < Z0 ) = 0,80;

d) P(−1,57 ≤ Z ≤ 2,42).
e) Md de uma N(30; 40);

f) Q3 de uma N(78; 121).

Questão 2: Para X∼N(100 ; 100), calcule:
a) P(X < 115); ( Resp. 0,9332)

b) P(X > 80); ( Resp. 0,9772)

c) P (|X − 100| ≤ 10); ( Resp. 0,6826)
d) O valor a, tal que P (100− a ≤ X ≤ 100 + a) = 0,95; ( Resp. a = 19,6)
Questão 3: Suponha que as notas de uma prova sejam normalmente distribuídas com média 73 e

desvio padrão 15. 15% dos alunos mais adiantados recebem a nota A e 12% mais atrasados re-

cebem nota F. Encontre o mínimo para receber A e o mínimo para para passar, não receber F.

Questão 4: Em uma distribuição normal, 28% dos elementos são superiores a 34 e 12% inferiores

a 19. Encontrar a média e a variância da distribuição.

Questão 5: Uma clinica de emagrecimento recebe pacientes adultos com peso seguindo uma dis-

tribuição Normal de média 130 kg e desvio padrão 20 kg. Para efeito de determinar o tratamento

mais adequado, os 25% pacientes de menor peso são classificados de “magros”, enquanto os 25%

de maior peso de “obesos”. Determine os valores que delimitam cada uma dessas classificações.

Questão 6: Seja X uma função tal que X = X1 +X2 +X3 e as variáveis Xi , com i = 1, 2 e 3 são

independentes com as seguintes distribuições: X1 ∼ N(10; 9); X2 ∼ N(−2; 4); X3 ∼ N(5; 25).
Determine:

a) a distribuição da v.a. X;

b) P(X1 +X2 +X3 > 13);

c) P
(
X1+X2+X3

3
< 13.

)

Questão 7: SendoX1, X2 eX3 variáveis aleatórias independentes, seguindo o modelo Bernoulli

de parâmetro p, pergunta-se:

a) Qual é a função de probabilidade de X = X1 +X2 +X3? Você reconhece essa variável?

b) Qual é a E
(
X1+X2+X3

3

)
e a Var

(
X1+X2+X3

3

)
?

Questão 8: Estudo do sindicato dos Bancários indica que cerca de 30% dos funcionários de banco

têm problemas de estresse, proveniente das condições de trabalho. Numa amostra de 200 bancários,

qual seria a probabilidade de pelo menos 50 com essa doença?

Questão 9: Uma corretora negocia títulos na Bolsa de Valores e utiliza um modelo probabilístico

para avaliar seus lucros. Suas aplicações financeiras de compra e venda atingem três áreas: agri-

cultura, indústria e comércio. Admita que o seguinte modelo representa o comportamento do lucro

diário da corretora (em milhares de reais). L = 2.LA + 5.LI + 3.Lc,

com LA, LI , LC representando, respectivamente, os lucros diários nos setores de agricultura, indús-

tria e comércio. As distribuições de probabilidade dessas variáveis aleatórias são LA ∼ N(3; 4),
LI ∼ N(6; 9) e LC ∼ N(4; 16). Supondo indepedência entre os setores, qual será a probabilidade
de um lucro diário acima de 50 mil? (Resp. P(L > 50) = 46,02 %)

Questão 10: Para uma Normal (5; 10) coletou-se uma amostra de tamanho 25. Calcule:

a) P(X ≤ 4,8); ( Resp. 0,3745 )
b) P(4,5 ≤ X ≤ 5,3); ( Resp. 0,466 )
c) P(X ≤ 4,7 ou X ≥ 5,1) ( Resp. 0,7556 ).
Questão 11: A máquina de empacotar um determinado produto o faz segundo uma distribuição

normal, com média µ de desvio padrão 10 g.

a) Em quanto deve ser regulado o peso médio µ para que apenas 10% dos pacotes tenham menos

do que 500 g? ( Resp. µ = 512,9 g)

b) Com a máquina assim regulada, qual a probabilidade de que o peso total de 4 pacotes escolhidos

ao acaso seja inferior a 2 kg? (Resp. 0,494%)

Questão 12: As alturas de 10.000 alunos de um colégio tem distribuição aproximadamente normal,

com média 170 cm e desvio padrão 5 cm.

a) Qual o número esperado de alunos com altura superior a 165 cm? (Resp. 8.413)

b) Qual o intervalo simétrico em torno da média que conterá 75% das alturas dos alunos?

(Resp. [164,25 ; 175,75])

Questão 13: Para X∼ N(µ;σ2), calcule:
a) P (X ≤ µ+ 2.σ); ( Resp. 0,977)
b) P (|X − µ| ≤ σ); ( Resp. 0,68)
c) o número a tal que P (µ− aσ ≤ X ≤ µ+ aσ) = 0,99 ( Resp. a = 2,58)
d) o número b tal que P(X > b)= 0,90. ( Resp. b = µ− 1,29.σ)
Questão 14: SendoX1, X2, . . . , Xn variáveis aleatórias independentes, seguindo o modelo Bernoulli

de parâmetro p, pergunta-se:

a) Qual é a função de probabilidade da variável aleatória X1 +X2 + . . .+Xn?

b) Qual é a E(X1+X2+...+Xn
n

) e a Var(X1+X2+...+Xn
n

)?