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1x
5
4x
3x
4 x 4 x
20 x 3 x8
223
2
+
+
+
=
+++
++
x
4)
Finalmente podemos calcular a integral dx
1x
5
4x
3x dx
4 x 4 x
20 x 3 x8
223
2
∫
+
+
+
=∫
+++
++
x
fazendo substituições imediatas.
5)
Se o denominador possui fatores quadráticos repetidos da forma (ax2+bx+c)k, use
k frações parciais correspondentes. Por exemplo, para calcular a integral
dx
1)(xx
2xx
22
3
∫
+
++
usamos a decomposição em frações parciais, que tem a forma
( )22
22
2
11
22
3
1x
CxB
1x
CxB
x
A
1)(xx
2xx
+
+
+
+
+
+=
+
++
. Resolvendo esta equação, obtemos A=2,
B1=-2, C1=1, B2=-2 e C2=0. Portanto, temos dx 1)(xx
2xx
22
3
∫
+
++
=
( ) dx 1x
2x
1x
2x-1
x
2
222
∫
+
−
+
+ . Observe que a primeira e terceira parcelas podem
ser feitas por substituições óbvias; porém a segunda parcela parece diferente.
Reescrevendo tudo desta forma: ( ) dx 1x
2x
1x
1
1x
2x
x
2
2222
∫
+
−
+
+
+
− +, o
problema se resolve facilmente.
Exercícios:
Apostila de Cálculo II
17
Calcular as integrais:
1) dx
1x
2
2∫
−
2) dx
3x2xx
913x4x
23
2
∫
−+
−+
3) ( )( ) dx 2x1x
4 - x 29 x18 - x3
3
23
∫
−+
+
4) dx
48x- x2
21 -x - x
23
2
∫
−+ x
5) dx
4xx
163x x6 x
3
23
∫
+
+++
A Integral Definida
Seja f uma função contínua num intervalo [a,b] e tal que 0 (x) f ≥ para todo
[ ]ba, x ∈ .
Apostila de Cálculo II
18
Vamos calcular a área da região compreendida entre o gráfico de f e o eixo x, para x
variando em [ a, b].
Para tanto, vamos considerar uma partição do intervalo [a,b], constituída pelo
conjunto de pontos { }bx,.....,xx,xaP n21,0 === .
Dessa maneira, ficam determinados n sub-intervalos, cada um deles da forma
[ ]i1-i x,x , sendo que o índice i varia de 1 até n, isto é, ni1 ≤≤ . No caso de tomarmos
as n divisões de [a,b] todas do mesmo tamanho, temos que cada um dos sub-
intervalos terá comprimento 1-ii xxx −=∆ , para ni1 ≤≤ .
Vamos considerar um ponto xi* em cada um dos sub-intervalos [ ]i1-i x,x , obtendo um
valor aproximado para a área da região, que é dado por:
Qualquer uma das somas i
n
1i
*
i x).(x f ∆∑
=
é denominada soma de Riemann para a função
f, relativa à partição P e aos números xi, para -
Quando fazemos crescer indefinidamente o número de pontos da partição, isto é,
fazemos ∞→n , obtemos:
i
n
1i
*
i
n
x).(x flim ∆∑
=∞→
= [ ] A f)(P, s lim
n
=
∞→
Apostila de Cálculo II
19
Definição: a integral definida da função f, sendo 0 (x) f ≥ no intervalo [a,b], é
igual ao limite da soma das áreas dos n retângulos, quando o número desses
retângulos tende a infinito.
Nesse caso a integral fornece a área da região compreendida entre o eixo horizontal
e o gráfico da função f, para x percorrendo o intervalo [a,b].
A integral definida verifica algumas propriedades:
Propriedade 1: Se f e g são funções integráveis no intervalo [a,b], então a função
g f ± é integrável em [a,b] e:
[ ] ∫∫ ±=∫ ± bb
aa
b
a
dx (x) g dx (x) fdx (x) g (x) f .
Propriedade 2: Se k é uma constante e f é uma função integrável no intervalo [a,b],
então a função k.f é integrável em [a,b] e :
.
Propriedade 3: Se f é uma função integrável no intervalo [a,b] e 0 (x) f ≥ em [a,b]
então .
Propriedade 4: Se f é uma função integrável no intervalo [a,b] e c é um ponto
qualquer do intervalo [a,b], então :
.
Apostila de Cálculo II
20
Teorema Fundamental do Cálculo Integral
O Teorema Fundamental do Cálculo estabelece a importante conexão entre o
Cálculo Diferencial e o Cálculo Integral. O primeiro surgiu a partir do problema de se
determinar a reta tangente a uma curva em um ponto, enquanto o segundo surgiu a
partir do problema de se encontrar a área de uma figura plana
Teorema :
Seja f uma função contínua no intervalo [a,b]. A função F, dada por
∫=
x
a
dt (t) f (x) F , é derivável em todos os pontos interiores ao intervalo ]a,b[ e sua
derivada é dada por F'(x)=f (x).
O Teorema Fundamental do Cálculo nos permite facilmente calcular áreas pois, a
partir dele, podemos mostrar que:
Se f é uma função contínua no intervalo [a,b], então ∫ =
b
a
(a) G - (b) G dt t) ( f , onde G é
uma qualquer primitiva de f, isto é, tal que G'=f.
Resolvidos
Calcular as integrais definidas:
1) ∫
2
0
2 dx x
3
8
3
0
3
2
3
x
dx x
33
2
0
32
0
2
=−==∫
2) ∫
pi
0
dx x sen
2(-1)--(-1)) 0 cos (- - cos - x cos dx x sen 0
0
===−=∫ pipi
pi
Apostila de Cálculo II
21
3) ( ) dx1x 21
0
2∫ +
( ) ( )
15
281
3
2
5
1
x
3
x2
5
x
dx 1x2x dx1x 10
351
0
24
21
0
2
=++=
++=∫ ++=∫ +
4) dx
x
32
x 2 - x 5
4
1
3∫
+
6
259
2-
x32
2
3
x2
2
5xdx x23 x2 - x 5 dx
x
32
x 2 - x 5 4
1
2-2
3
24
1
3-2
14
1
3 =
+−=∫
+=∫
+
Exercícios:
Calcular as integrais definidas:
1) ( )dx 3 x 4 - x4
1
2∫ +
2) ( )dz 1 - z3z 83
2
3∫ +
3) ∫
12
7
dz
4) dt
t
3- t
9
4
∫
5) ( )ds 2s 8
0
3 2∫ +
6) ( ) dx3 x 2 21
0
∫ +
−
7) dx
9x
x
4
0 2
∫
+
Apostila de Cálculo II
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a b
y = f (x)
a b
f (x)
g (x)
8) dx
2
x
sen 3
3
0
∫
pi
9) ( )∫ +4
0
3 dx2x cos .2x sen1
pi
10) dx
x7
x
1
0 3 5
4
∫
+
Aplicações da Integral Definida
Cálculo de Áreas
Se f (x) é contínua e positiva no intervalo [a,b], então a área limitada por f (x),
o eixo x e as retas x=a e x=b é dada por:
∫=
b
a
dx (x) f A
Se f (x) e g(x ) são contínuas em [a,b] com [ ]ba, x , (x) g (x) f ∈∀≥ , então a área
limitada por f (x) , g (x) , retas x=a e x=b é dada por:
( )∫= b
a
dx (x) g - (x) f A
Apostila de Cálculo II
23
a b
f (x)
g (x)
c
No caso de no intervalo [a,b] a função f (x) nem sempre for maior que g(x), então:
( ) ( )∫+∫= b
c
c
a
dx (x) f - (x) g dx (x) g - (x) f A
Podemos ainda isolar x em cada uma das funções obtendo x = f (y) e x = g (y). Se
(y) g (y) f ≥ no intervalo [ c,d ], então a área entre os gráficos de f (y), g (y) e as retas
y = c e y = d será:
[ ]∫= d
c
dy (y) g - (y) f A
Resolvidos
1) Obter a área limitada pelas curvas x ye xy 2 == .
a) esboçar a região, designando por y = f (x) a fronteira superior e por y = g
(x) a fronteira inferior. Achar o valor x = a e o valor x = b dos pontos de intersecção
das regiões. Nessa caso a=0 e b=1.
0.2 0.4 0.6 0.8 1
x
0.2
0.4
0.6
0.8
1
y
Apostila de Cálculo II
24
b) esboçar um retângulo vertical típico e designar por dx a largura.
1) Expressar a área do retângulo como [ f (x)- g (x)]. dx . Nesse caso a área
vale ( )2xx − .dx
2) Obter o valor da área através do cálculo da integral:
( )
3
1
3
x
2
3
xdx xx dx xx A 10
32
3
1
0