1x 5 4x 3x 4 x 4 x 20 x 3 x8 223 2 + + + = +++ ++ x 4) Finalmente podemos calcular a integral dx 1x 5 4x 3x dx 4 x 4 x 20 x 3 x8 223 2 ∫ + + + =∫ +++ ++ x fazendo substituições imediatas. 5) Se o denominador possui fatores quadráticos repetidos da forma (ax2+bx+c)k, use k frações parciais correspondentes. Por exemplo, para calcular a integral dx 1)(xx 2xx 22 3 ∫ + ++ usamos a decomposição em frações parciais, que tem a forma ( )22 22 2 11 22 3 1x CxB 1x CxB x A 1)(xx 2xx + + + + + += + ++ . Resolvendo esta equação, obtemos A=2, B1=-2, C1=1, B2=-2 e C2=0. Portanto, temos dx 1)(xx 2xx 22 3 ∫ + ++ = ( ) dx 1x 2x 1x 2x-1 x 2 222 ∫ + − + + . Observe que a primeira e terceira parcelas podem ser feitas por substituições óbvias; porém a segunda parcela parece diferente. Reescrevendo tudo desta forma: ( ) dx 1x 2x 1x 1 1x 2x x 2 2222 ∫ + − + + + − +, o problema se resolve facilmente. Exercícios: Apostila de Cálculo II 17 Calcular as integrais: 1) dx 1x 2 2∫ − 2) dx 3x2xx 913x4x 23 2 ∫ −+ −+ 3) ( )( ) dx 2x1x 4 - x 29 x18 - x3 3 23 ∫ −+ + 4) dx 48x- x2 21 -x - x 23 2 ∫ −+ x 5) dx 4xx 163x x6 x 3 23 ∫ + +++ A Integral Definida Seja f uma função contínua num intervalo [a,b] e tal que 0 (x) f ≥ para todo [ ]ba, x ∈ . Apostila de Cálculo II 18 Vamos calcular a área da região compreendida entre o gráfico de f e o eixo x, para x variando em [ a, b]. Para tanto, vamos considerar uma partição do intervalo [a,b], constituída pelo conjunto de pontos { }bx,.....,xx,xaP n21,0 === . Dessa maneira, ficam determinados n sub-intervalos, cada um deles da forma [ ]i1-i x,x , sendo que o índice i varia de 1 até n, isto é, ni1 ≤≤ . No caso de tomarmos as n divisões de [a,b] todas do mesmo tamanho, temos que cada um dos sub- intervalos terá comprimento 1-ii xxx −=∆ , para ni1 ≤≤ . Vamos considerar um ponto xi* em cada um dos sub-intervalos [ ]i1-i x,x , obtendo um valor aproximado para a área da região, que é dado por: Qualquer uma das somas i n 1i * i x).(x f ∆∑ = é denominada soma de Riemann para a função f, relativa à partição P e aos números xi, para - Quando fazemos crescer indefinidamente o número de pontos da partição, isto é, fazemos ∞→n , obtemos: i n 1i * i n x).(x flim ∆∑ =∞→ = [ ] A f)(P, s lim n = ∞→ Apostila de Cálculo II 19 Definição: a integral definida da função f, sendo 0 (x) f ≥ no intervalo [a,b], é igual ao limite da soma das áreas dos n retângulos, quando o número desses retângulos tende a infinito. Nesse caso a integral fornece a área da região compreendida entre o eixo horizontal e o gráfico da função f, para x percorrendo o intervalo [a,b]. A integral definida verifica algumas propriedades: Propriedade 1: Se f e g são funções integráveis no intervalo [a,b], então a função g f ± é integrável em [a,b] e: [ ] ∫∫ ±=∫ ± bb aa b a dx (x) g dx (x) fdx (x) g (x) f . Propriedade 2: Se k é uma constante e f é uma função integrável no intervalo [a,b], então a função k.f é integrável em [a,b] e : . Propriedade 3: Se f é uma função integrável no intervalo [a,b] e 0 (x) f ≥ em [a,b] então . Propriedade 4: Se f é uma função integrável no intervalo [a,b] e c é um ponto qualquer do intervalo [a,b], então : . Apostila de Cálculo II 20 Teorema Fundamental do Cálculo Integral O Teorema Fundamental do Cálculo estabelece a importante conexão entre o Cálculo Diferencial e o Cálculo Integral. O primeiro surgiu a partir do problema de se determinar a reta tangente a uma curva em um ponto, enquanto o segundo surgiu a partir do problema de se encontrar a área de uma figura plana Teorema : Seja f uma função contínua no intervalo [a,b]. A função F, dada por ∫= x a dt (t) f (x) F , é derivável em todos os pontos interiores ao intervalo ]a,b[ e sua derivada é dada por F'(x)=f (x). O Teorema Fundamental do Cálculo nos permite facilmente calcular áreas pois, a partir dele, podemos mostrar que: Se f é uma função contínua no intervalo [a,b], então ∫ = b a (a) G - (b) G dt t) ( f , onde G é uma qualquer primitiva de f, isto é, tal que G'=f. Resolvidos Calcular as integrais definidas: 1) ∫ 2 0 2 dx x 3 8 3 0 3 2 3 x dx x 33 2 0 32 0 2 =−==∫ 2) ∫ pi 0 dx x sen 2(-1)--(-1)) 0 cos (- - cos - x cos dx x sen 0 0 ===−=∫ pipi pi Apostila de Cálculo II 21 3) ( ) dx1x 21 0 2∫ + ( ) ( ) 15 281 3 2 5 1 x 3 x2 5 x dx 1x2x dx1x 10 351 0 24 21 0 2 =++= ++=∫ ++=∫ + 4) dx x 32 x 2 - x 5 4 1 3∫ + 6 259 2- x32 2 3 x2 2 5xdx x23 x2 - x 5 dx x 32 x 2 - x 5 4 1 2-2 3 24 1 3-2 14 1 3 = +−=∫ +=∫ + Exercícios: Calcular as integrais definidas: 1) ( )dx 3 x 4 - x4 1 2∫ + 2) ( )dz 1 - z3z 83 2 3∫ + 3) ∫ 12 7 dz 4) dt t 3- t 9 4 ∫ 5) ( )ds 2s 8 0 3 2∫ + 6) ( ) dx3 x 2 21 0 ∫ + − 7) dx 9x x 4 0 2 ∫ + Apostila de Cálculo II 22 a b y = f (x) a b f (x) g (x) 8) dx 2 x sen 3 3 0 ∫ pi 9) ( )∫ +4 0 3 dx2x cos .2x sen1 pi 10) dx x7 x 1 0 3 5 4 ∫ + Aplicações da Integral Definida Cálculo de Áreas Se f (x) é contínua e positiva no intervalo [a,b], então a área limitada por f (x), o eixo x e as retas x=a e x=b é dada por: ∫= b a dx (x) f A Se f (x) e g(x ) são contínuas em [a,b] com [ ]ba, x , (x) g (x) f ∈∀≥ , então a área limitada por f (x) , g (x) , retas x=a e x=b é dada por: ( )∫= b a dx (x) g - (x) f A Apostila de Cálculo II 23 a b f (x) g (x) c No caso de no intervalo [a,b] a função f (x) nem sempre for maior que g(x), então: ( ) ( )∫+∫= b c c a dx (x) f - (x) g dx (x) g - (x) f A Podemos ainda isolar x em cada uma das funções obtendo x = f (y) e x = g (y). Se (y) g (y) f ≥ no intervalo [ c,d ], então a área entre os gráficos de f (y), g (y) e as retas y = c e y = d será: [ ]∫= d c dy (y) g - (y) f A Resolvidos 1) Obter a área limitada pelas curvas x ye xy 2 == . a) esboçar a região, designando por y = f (x) a fronteira superior e por y = g (x) a fronteira inferior. Achar o valor x = a e o valor x = b dos pontos de intersecção das regiões. Nessa caso a=0 e b=1. 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 0.2 0.4 0.6 0.8 1 y Apostila de Cálculo II 24 b) esboçar um retângulo vertical típico e designar por dx a largura. 1) Expressar a área do retângulo como [ f (x)- g (x)]. dx . Nesse caso a área vale ( )2xx − .dx 2) Obter o valor da área através do cálculo da integral: ( ) 3 1 3 x 2 3 xdx xx dx xx A 10 32 3 1 0