c-lculo II

1x
5
4x
3x 
4 x 4 x 
20 x 3 x8
223
2
+
+
+
=
+++
++
x
 
 
4)
 Finalmente podemos calcular a integral dx 
1x
5
4x
3x dx 
4 x 4 x 
20 x 3 x8
223
2
∫ 


+
+
+
=∫
+++
++
x
 
fazendo substituições imediatas. 
 
5)
 Se o denominador possui fatores quadráticos repetidos da forma (ax2+bx+c)k, use 
k frações parciais correspondentes. Por exemplo, para calcular a integral 
dx 
1)(xx 
2xx
22
3
∫
+
++
 usamos a decomposição em frações parciais, que tem a forma 
( )22
22
2
11
22
3
1x
CxB
 
1x
CxB
 
x
A
1)(xx 
2xx
+
+
+
+
+
+=
+
++
. Resolvendo esta equação, obtemos A=2, 
B1=-2, C1=1, B2=-2 e C2=0. Portanto, temos dx 1)(xx 
2xx
22
3
∫
+
++
 = 
( ) dx 1x
2x
 
1x
2x-1
 
x
2
222
∫ 



+
−
+
+ . Observe que a primeira e terceira parcelas podem 
ser feitas por substituições óbvias; porém a segunda parcela parece diferente. 
Reescrevendo tudo desta forma: ( ) dx 1x
2x
 
1x
1
 
1x
2x
 
x
2
2222
∫ 



+
−
+
+
+
− +, o 
problema se resolve facilmente. 
 
Exercícios: 
 
Apostila de Cálculo II 
 
17 
Calcular as integrais: 
 
1) dx 
1x
2
2∫
−
 
 
2) dx 
3x2xx
913x4x
23
2
∫
−+
−+
 
 
3) ( )( ) dx 2x1x
4 - x 29 x18 - x3
3
23
∫
−+
+
 
 
4) dx 
48x- x2
21 -x - x
23
2
∫
−+ x
 
 
5) dx 
4xx
163x x6 x
3
23
∫
+
+++
 
 
 
A Integral Definida 
 
Seja f uma função contínua num intervalo [a,b] e tal que 0 (x) f ≥ para todo 
[ ]ba, x ∈ . 
 
Apostila de Cálculo II 
 
18 
Vamos calcular a área da região compreendida entre o gráfico de f e o eixo x, para x 
variando em [ a, b]. 
Para tanto, vamos considerar uma partição do intervalo [a,b], constituída pelo 
conjunto de pontos { }bx,.....,xx,xaP n21,0 === . 
Dessa maneira, ficam determinados n sub-intervalos, cada um deles da forma 
[ ]i1-i x,x , sendo que o índice i varia de 1 até n, isto é, ni1 ≤≤ . No caso de tomarmos 
as n divisões de [a,b] todas do mesmo tamanho, temos que cada um dos sub-
intervalos terá comprimento 1-ii xxx −=∆ , para ni1 ≤≤ . 
Vamos considerar um ponto xi* em cada um dos sub-intervalos [ ]i1-i x,x , obtendo um 
valor aproximado para a área da região, que é dado por: 
 
Qualquer uma das somas i
n
1i
*
i x).(x f ∆∑
=
é denominada soma de Riemann para a função 
f, relativa à partição P e aos números xi, para - 
 
Quando fazemos crescer indefinidamente o número de pontos da partição, isto é, 
fazemos ∞→n , obtemos: 
i
n
1i
*
i
n
x).(x flim ∆∑
=∞→
 = [ ] A f)(P, s lim
n
=
∞→
 
Apostila de Cálculo II 
 
19 
 Definição: a integral definida da função f, sendo 0 (x) f ≥ no intervalo [a,b], é 
igual ao limite da soma das áreas dos n retângulos, quando o número desses 
retângulos tende a infinito. 
 
 
Nesse caso a integral fornece a área da região compreendida entre o eixo horizontal 
e o gráfico da função f, para x percorrendo o intervalo [a,b]. 
A integral definida verifica algumas propriedades: 
 
Propriedade 1: Se f e g são funções integráveis no intervalo [a,b], então a função 
g f ± é integrável em [a,b] e: 
 
[ ] ∫∫ ±=∫ ± bb
aa
b
a
dx (x) g dx (x) fdx (x) g (x) f . 
Propriedade 2: Se k é uma constante e f é uma função integrável no intervalo [a,b], 
então a função k.f é integrável em [a,b] e : 
 . 
Propriedade 3: Se f é uma função integrável no intervalo [a,b] e 0 (x) f ≥ em [a,b] 
então . 
Propriedade 4: Se f é uma função integrável no intervalo [a,b] e c é um ponto 
qualquer do intervalo [a,b], então : 
. 
Apostila de Cálculo II 
 
20 
 
Teorema Fundamental do Cálculo Integral 
 
O Teorema Fundamental do Cálculo estabelece a importante conexão entre o 
Cálculo Diferencial e o Cálculo Integral. O primeiro surgiu a partir do problema de se 
determinar a reta tangente a uma curva em um ponto, enquanto o segundo surgiu a 
partir do problema de se encontrar a área de uma figura plana 
Teorema :
 Seja f uma função contínua no intervalo [a,b]. A função F, dada por 
∫=
x
a
dt (t) f (x) F , é derivável em todos os pontos interiores ao intervalo ]a,b[ e sua 
derivada é dada por F'(x)=f (x). 
 
O Teorema Fundamental do Cálculo nos permite facilmente calcular áreas pois, a 
partir dele, podemos mostrar que: 
Se f é uma função contínua no intervalo [a,b], então ∫ =
b
a
(a) G - (b) G dt t) ( f , onde G é 
uma qualquer primitiva de f, isto é, tal que G'=f. 
 
 Resolvidos 
Calcular as integrais definidas: 
1) ∫
2
0
2 dx x
 
 
3
8
3
0
3
2
 
3
x
 dx x
33
2
0
32
0
2
=−==∫ 
2) ∫
pi
0
dx x sen 
 
2(-1)--(-1)) 0 cos (- - cos - x cos dx x sen 0
0
===−=∫ pipi
pi
 
Apostila de Cálculo II 
 
21 
3) ( ) dx1x 21
0
2∫ + 
 
( ) ( )
15
281
3
2
5
1
 x
3
 x2
5
x
 dx 1x2x dx1x 10
351
0
24
21
0
2
=++=



++=∫ ++=∫ + 
4) dx 
x
32
x 2 - x 5 
4
1
3∫ 


+ 
 
6
259
2-
x32
2
3
 x2
2
5xdx x23 x2 - x 5 dx 
x
32
x 2 - x 5 4
1
2-2
3
24
1
3-2
14
1
3 =








+−=∫ 



+=∫ 


+ 
Exercícios: 
Calcular as integrais definidas: 
1) ( )dx 3 x 4 - x4
1
2∫ + 
2) ( )dz 1 - z3z 83
2
3∫ + 
3) ∫
12
7
dz
 
4) dt 
t
3- t
 
9
4
∫ 
5) ( )ds 2s 8
0
3 2∫ + 
6) ( ) dx3 x 2 21
0
∫ +
−
 
7) dx 
9x
x
 
4
0 2
∫
+
 
Apostila de Cálculo II 
 
22 
a b 
y = f (x) 
a b 
 f (x) 
 g (x) 
8) dx 
2
x
 sen 3 
3
0
∫ 

pi
 
9) ( )∫ +4
0
3 dx2x cos .2x sen1 
pi
 
10) dx 
x7
x
 
1
0 3 5
4
∫
+
 
 
 
Aplicações da Integral Definida 
 Cálculo de Áreas 
 Se f (x) é contínua e positiva no intervalo [a,b], então a área limitada por f (x), 
o eixo x e as retas x=a e x=b é dada por: 
 
∫=
b
a
dx (x) f A
 
 
 
 
Se f (x) e g(x ) são contínuas em [a,b] com [ ]ba, x , (x) g (x) f ∈∀≥ , então a área 
limitada por f (x) , g (x) , retas x=a e x=b é dada por: 
 
( )∫= b
a
dx (x) g - (x) f A
 
 
 
Apostila de Cálculo II 
 
23 
a b 
 f (x) 
 g (x) 
c 
 
No caso de no intervalo [a,b] a função f (x) nem sempre for maior que g(x), então: 
 
( ) ( )∫+∫= b
c
c
a
dx (x) f - (x) g dx (x) g - (x) f A 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos ainda isolar x em cada uma das funções obtendo x = f (y) e x = g (y). Se 
(y) g (y) f ≥ no intervalo [ c,d ], então a área entre os gráficos de f (y), g (y) e as retas 
y = c e y = d será: 
 
[ ]∫= d
c
dy (y) g - (y) f A 
 
 
 
 Resolvidos 
 
 
1) Obter a área limitada pelas curvas x ye xy 2 == . 
 
 a) esboçar a região, designando por y = f (x) a fronteira superior e por y = g 
(x) a fronteira inferior. Achar o valor x = a e o valor x = b dos pontos de intersecção 
das regiões. Nessa caso a=0 e b=1. 
 
0.2 0.4 0.6 0.8 1
x
0.2
0.4
0.6
0.8
1
y
 
Apostila de Cálculo II 
 
24 
 
b) esboçar um retângulo vertical típico e designar por dx a largura. 
1) Expressar a área do retângulo como [ f (x)- g (x)]. dx . Nesse caso a área 
vale ( )2xx − .dx 
2) Obter o valor da área através do cálculo da integral: 
 
( )
3
1
3
x
2
3
xdx xx dx xx A 10
32
3
1
0