c-lculo II
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c-lculo II

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1x

5
4x

3x
4 x 4 x

20 x 3 x8
223

2

+
+

+
=

+++

++

x

4)
 Finalmente podemos calcular a integral dx

1x
5

4x
3x dx

4 x 4 x
20 x 3 x8

223

2

∫ 



+

+
+

=∫
+++

++

x

fazendo substituições imediatas.

5)
 Se o denominador possui fatores quadráticos repetidos da forma (ax2+bx+c)k, use

k frações parciais correspondentes. Por exemplo, para calcular a integral

dx
1)(xx

2xx
22

3

∫
+

++
 usamos a decomposição em frações parciais, que tem a forma

( )22
22

2
11

22

3

1x
CxB

1x
CxB

x

A
1)(xx

2xx
+

+
+

+

+
+=

+

++
. Resolvendo esta equação, obtemos A=2,

B1=-2, C1=1, B2=-2 e C2=0. Portanto, temos dx 1)(xx
2xx
22

3

∫
+

++
 =

( ) dx 1x
2x

1x
2x-1

x

2
222

∫ 





+
−

+
+ . Observe que a primeira e terceira parcelas podem

ser feitas por substituições óbvias; porém a segunda parcela parece diferente.

Reescrevendo tudo desta forma: ( ) dx 1x
2x

1x
1

1x
2x

x

2
2222

∫ 





+
−

+
+

+
− +, o

problema se resolve facilmente.

Exercícios:

Apostila de Cálculo II

17

Calcular as integrais:

1) dx
1x

2
2∫

−

2) dx
3x2xx
913x4x

23

2

∫
−+

−+

3) ( )( ) dx 2x1x
4 - x 29 x18 - x3

3

23

∫
−+

+

4) dx
48x- x2

21 -x - x
23

2

∫
−+ x

5) dx
4xx

163x x6 x
3

23

∫
+

+++

A Integral Definida

Seja f uma função contínua num intervalo [a,b] e tal que 0 (x) f ≥ para todo

[ ]ba, x ∈ .

Apostila de Cálculo II

18

Vamos calcular a área da região compreendida entre o gráfico de f e o eixo x, para x
variando em [ a, b].
Para tanto, vamos considerar uma partição do intervalo [a,b], constituída pelo
conjunto de pontos { }bx,.....,xx,xaP n21,0 === .
Dessa maneira, ficam determinados n sub-intervalos, cada um deles da forma
[ ]i1-i x,x , sendo que o índice i varia de 1 até n, isto é, ni1 ≤≤ . No caso de tomarmos
as n divisões de [a,b] todas do mesmo tamanho, temos que cada um dos sub-
intervalos terá comprimento 1-ii xxx −=∆ , para ni1 ≤≤ .

Vamos considerar um ponto xi* em cada um dos sub-intervalos [ ]i1-i x,x , obtendo um
valor aproximado para a área da região, que é dado por:

Qualquer uma das somas i
n

1i

*

i x).(x f ∆∑
=

é denominada soma de Riemann para a função

f, relativa à partição P e aos números xi, para -

Quando fazemos crescer indefinidamente o número de pontos da partição, isto é,
fazemos ∞→n , obtemos:

i

n

1i

*

i
n

x).(x flim ∆∑
=∞→

 = [ ] A f)(P, s lim
n

=

∞→

Apostila de Cálculo II

19

 Definição: a integral definida da função f, sendo 0 (x) f ≥ no intervalo [a,b], é
igual ao limite da soma das áreas dos n retângulos, quando o número desses
retângulos tende a infinito.

Nesse caso a integral fornece a área da região compreendida entre o eixo horizontal
e o gráfico da função f, para x percorrendo o intervalo [a,b].
A integral definida verifica algumas propriedades:

Propriedade 1: Se f e g são funções integráveis no intervalo [a,b], então a função
g f ± é integrável em [a,b] e:

[ ] ∫∫ ±=∫ ± bb
aa

b

a

dx (x) g dx (x) fdx (x) g (x) f .

Propriedade 2: Se k é uma constante e f é uma função integrável no intervalo [a,b],
então a função k.f é integrável em [a,b] e :

 .

Propriedade 3: Se f é uma função integrável no intervalo [a,b] e 0 (x) f ≥ em [a,b]

então .

Propriedade 4: Se f é uma função integrável no intervalo [a,b] e c é um ponto
qualquer do intervalo [a,b], então :

.

Apostila de Cálculo II

20

Teorema Fundamental do Cálculo Integral

O Teorema Fundamental do Cálculo estabelece a importante conexão entre o
Cálculo Diferencial e o Cálculo Integral. O primeiro surgiu a partir do problema de se
determinar a reta tangente a uma curva em um ponto, enquanto o segundo surgiu a
partir do problema de se encontrar a área de uma figura plana

Teorema :
 Seja f uma função contínua no intervalo [a,b]. A função F, dada por

∫=
x

a

dt (t) f (x) F , é derivável em todos os pontos interiores ao intervalo ]a,b[ e sua
derivada é dada por F'(x)=f (x).
O Teorema Fundamental do Cálculo nos permite facilmente calcular áreas pois, a
partir dele, podemos mostrar que:

Se f é uma função contínua no intervalo [a,b], então ∫ =
b

a

(a) G - (b) G dt t) ( f , onde G é

uma qualquer primitiva de f, isto é, tal que G'=f.

 Resolvidos

Calcular as integrais definidas:

1) ∫
2

0

2 dx x

3
8

3
0

3
2

3
x

 dx x
33

2

0

32

0

2
=−==∫

2) ∫
pi

0
dx x sen

2(-1)--(-1)) 0 cos (- - cos - x cos dx x sen 0
0

===−=∫ pipi
pi

Apostila de Cálculo II

21

3) ( ) dx1x 21
0

2∫ +

( ) ( )
15
281

3
2

5
1

 x
3
 x2

5
x

 dx 1x2x dx1x 10
351

0

24
21

0

2
=++=





++=∫ ++=∫ +

4) dx
x

32
x 2 - x 5

4

1
3∫ 




+

6
259

2-
x32

2
3
 x2

2
5xdx x23 x2 - x 5 dx

x

32
x 2 - x 5 4

1

2-2
3

24

1

3-2
14

1
3 =














+−=∫ 





+=∫ 



+

Exercícios:

Calcular as integrais definidas:

1) ( )dx 3 x 4 - x4
1

2∫ +

2) ( )dz 1 - z3z 83
2

3∫ +

3) ∫
12

7
dz

4) dt
t
3- t

9

4
∫

5) ( )ds 2s 8
0

3 2∫ +

6) ( ) dx3 x 2 21
0
∫ +
−

7) dx
9x

x

4

0 2
∫

+

Apostila de Cálculo II

22

a b

y = f (x)

a b

 f (x)

 g (x)

8) dx
2
x

 sen 3
3

0
∫ 


pi

9) ( )∫ +4
0

3 dx2x cos .2x sen1
pi

10) dx
x7

x

1

0 3 5

4

∫
+

Aplicações da Integral Definida

 Cálculo de Áreas

 Se f (x) é contínua e positiva no intervalo [a,b], então a área limitada por f (x),
o eixo x e as retas x=a e x=b é dada por:

∫=
b

a

dx (x) f A

Se f (x) e g(x ) são contínuas em [a,b] com [ ]ba, x , (x) g (x) f ∈∀≥ , então a área
limitada por f (x) , g (x) , retas x=a e x=b é dada por:

( )∫= b
a

dx (x) g - (x) f A

Apostila de Cálculo II

23

a b

 f (x)

 g (x)

c

No caso de no intervalo [a,b] a função f (x) nem sempre for maior que g(x), então:

( ) ( )∫+∫= b
c

c

a

dx (x) f - (x) g dx (x) g - (x) f A

Podemos ainda isolar x em cada uma das funções obtendo x = f (y) e x = g (y). Se
(y) g (y) f ≥ no intervalo [ c,d ], então a área entre os gráficos de f (y), g (y) e as retas

y = c e y = d será:

[ ]∫= d
c

dy (y) g - (y) f A

 Resolvidos

1) Obter a área limitada pelas curvas x ye xy 2 == .

 a) esboçar a região, designando por y = f (x) a fronteira superior e por y = g
(x) a fronteira inferior. Achar o valor x = a e o valor x = b dos pontos de intersecção
das regiões. Nessa caso a=0 e b=1.

0.2 0.4 0.6 0.8 1
x

0.2

0.4

0.6

0.8

1
y

Apostila de Cálculo II

24

b) esboçar um retângulo vertical típico e designar por dx a largura.
1) Expressar a área do retângulo como [ f (x)- g (x)]. dx . Nesse caso a área
vale ( )2xx − .dx
2) Obter o valor da área através do cálculo da integral:

( )
3
1

3
x

2
3

xdx xx dx xx A 10
32

3
1

0