c-lculo II
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c-lculo II


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22
11
0
2
=
\uf8f7\uf8f7
\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212=\u222b \uf8f7\uf8f7
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212=\u222b \u2212= 
 
 
2) Achar a área limitada pelas curvas 0 3- x 2 y e 6 xy 2 =+=+ 
 
-1 1 2 3
x
-2
2
4
6
y
 
 
 pontos de intersecção 
\uf8f3\uf8f2
\uf8f1
==
\u2212==
\u2212=+
3bx
1ax
 x236x-
2
12
 
( ) ( )[ ] ( )
3
32
 x3x
3
xdx 3x2x- dx 3x26x- A 31
2
33
1-
23
1-
2
=\uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
++\u2212=\u222b ++=\u222b +\u2212\u2212+=
\u2212
 
 
 
3) Obter a área limitada pelas curvas x ye 4x y2 2 2 =+= . 
 
pontos de intersecção 
\uf8f3\uf8f2
\uf8f1
==
==
=\u2212
2 d y
-2cy
 y4 y2
2
122
 
 
Apostila de Cálculo II 
 
25 
-4 -2 2 4
x
-2
-1
1
2
y
 
. 
( )[ ] [ ] [ ]
3
32
 y4
3
y
-dy 4 y dy 4 y2y dy 4 y2y A 2
2
32
2
2
2
2
22
2
2
22
=\uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
+=+\u2212=+\u2212=\u2212\u2212=
\u2212
\u2212\u2212\u2212
\u222b\u222b\u222b 
 
 
 Exercícios: 
 
1) Calcular a área limitada pelos gráficos das funções 2y- xe 1 xy 2 =+= e as retas 
x=-2 e x=2. 
 
2) Calcular a área limitada pelo gráfico das funções x4-2x )(x g e 2xf(x) 22 =\u2212= . 
 
3) Encontre a área da região limitada pela curva 6 x 5 x2 xy 23 +\u2212\u2212= , o eixo x e as 
retas x = -1 e x = 2. 
 
 
Cálculo de Volumes de Rotação 
 
 
 Uma área ao girar em torno de um eixo gera um sólido de revolução de 
volume V. 
 
 
a) Giro em torno do eixo x 
 
Seja f (x) contínua em [ a,b ]. O volume V do sólido de revolução gerado pela 
rotação da região delimitada pelos gráficos de f, de x= a, de x=b e do eixo dos x é 
dado por: 
Apostila de Cálculo II 
 
26 
[ ] dx (x) f V b
a
2\u222b= pi 
 
b) Giro em torno do eixo y 
 
 Seja f (y) contínua em [ c,d ]. O volume V do sólido de revolução gerado pela 
rotação da região delimitada pelos gráficos de f, de y= c, de y=d e do eixo dos y é 
dado por 
 
[ ] dy (y) f V d
c
2\u222b= pi 
 
c) Giro em torno do eixo x, com a área não apoiada no eixo x. 
 
Seja uma região limitada pelos gráficos de x=a, x=b e pelos gráficos de duas 
funções contínuas f e g , com 0 (x) g (x) f \u2265\u2265 para todo x em [ a,b ]. Fazendo-se essa 
área girar em torno do eixo x, obtém-se um sólido cujo volume é dado por: 
 
 
[ ] [ ] dx (x) g -dx (x) f V b
a
2
b
a
2 \u222b\u222b= pipi = { [ ] [ ] }dx (x) g - (x) f 2b
a
2\u222b pi 
 
d) Giro em torno do eixo y, com a área não apoiada no eixo y. 
 
Seja uma região limitada pelos gráficos de y=c, y=d e pelos gráficos de duas 
funções contínuas f e g , com 0 (y) g (y) f \u2265\u2265 para todo y em [ c,d ]. Fazendo-se essa 
área girar em torno do eixo y, obtém-se um sólido cujo volume é dado por: 
 
 
[ ] [ ] dy (y) g -dy (y) f V d
c
2
d
c
2 \u222b\u222b= pipi = { [ ] [ ] }dy (y) g - (y) f 2d
c
2\u222b pi 
 
 
Exemplos: 
 
1) A área limitada pelo gráfico de 1 xy 2 += , retas x = -1 e x = 1 e o eixo x, gera um 
volume V. Determinar o valor de V. 
Apostila de Cálculo II 
 
27 
 
( ) ( )
15
56
x
3
x2
5
x
 dx 1x2x dx 1x V 1
1
3
51
1-
24
1
1-
22 pipipipi =\uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
++=++=+=
\u2212
\u222b\u222b 
 
2) A região limitada pelo eixo y e os gráficos de 3 xy = , y = 1 e y = 8 gira em torno do 
eixo y. determine o volume do sólido resultante. 
 
( )
5
93
3
5
y
 dy dy y V 8
1
3
5
8
1
3
21
1
2
3 2 pipipipi =
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
=== \u222b\u222b y 
 
 Exercícios: 
 
1) A área limitada pelos gráficos de 1x
2
1
 y, 2xy 2 +=+= , x = 0 e x = 1 gira em 
torno do eixo x. Determinar o volume do sólido resultante. 
 
2) A área do exercício anterior gira em torno da reta y = 3. Determine o volume 
gerado. 
 
3) Esboce a região R e determine o volume do sólido gerado pela rotação de R em 
torno do eixo indicado para: 
 a) x4 xy 2 \u2212= , y = 0 ; em torno do eixo dos x. 
 b) xy = , x + y =4 , x = 0 ; em torno do eixo dos x.