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22
11
0
2
=
−=∫
−=∫ −=
2) Achar a área limitada pelas curvas 0 3- x 2 y e 6 xy 2 =+=+
-1 1 2 3
x
-2
2
4
6
y
pontos de intersecção
==
−==
−=+
3bx
1ax
x236x-
2
12
( ) ( )[ ] ( )
3
32
x3x
3
xdx 3x2x- dx 3x26x- A 31
2
33
1-
23
1-
2
=
++−=∫ ++=∫ +−−+=
−
3) Obter a área limitada pelas curvas x ye 4x y2 2 2 =+= .
pontos de intersecção
==
==
=−
2 d y
-2cy
y4 y2
2
122
Apostila de Cálculo II
25
-4 -2 2 4
x
-2
-1
1
2
y
.
( )[ ] [ ] [ ]
3
32
y4
3
y
-dy 4 y dy 4 y2y dy 4 y2y A 2
2
32
2
2
2
2
22
2
2
22
=
+=+−=+−=−−=
−
−−−
∫∫∫
Exercícios:
1) Calcular a área limitada pelos gráficos das funções 2y- xe 1 xy 2 =+= e as retas
x=-2 e x=2.
2) Calcular a área limitada pelo gráfico das funções x4-2x )(x g e 2xf(x) 22 =−= .
3) Encontre a área da região limitada pela curva 6 x 5 x2 xy 23 +−−= , o eixo x e as
retas x = -1 e x = 2.
Cálculo de Volumes de Rotação
Uma área ao girar em torno de um eixo gera um sólido de revolução de
volume V.
a) Giro em torno do eixo x
Seja f (x) contínua em [ a,b ]. O volume V do sólido de revolução gerado pela
rotação da região delimitada pelos gráficos de f, de x= a, de x=b e do eixo dos x é
dado por:
Apostila de Cálculo II
26
[ ] dx (x) f V b
a
2∫= pi
b) Giro em torno do eixo y
Seja f (y) contínua em [ c,d ]. O volume V do sólido de revolução gerado pela
rotação da região delimitada pelos gráficos de f, de y= c, de y=d e do eixo dos y é
dado por
[ ] dy (y) f V d
c
2∫= pi
c) Giro em torno do eixo x, com a área não apoiada no eixo x.
Seja uma região limitada pelos gráficos de x=a, x=b e pelos gráficos de duas
funções contínuas f e g , com 0 (x) g (x) f ≥≥ para todo x em [ a,b ]. Fazendo-se essa
área girar em torno do eixo x, obtém-se um sólido cujo volume é dado por:
[ ] [ ] dx (x) g -dx (x) f V b
a
2
b
a
2 ∫∫= pipi = { [ ] [ ] }dx (x) g - (x) f 2b
a
2∫ pi
d) Giro em torno do eixo y, com a área não apoiada no eixo y.
Seja uma região limitada pelos gráficos de y=c, y=d e pelos gráficos de duas
funções contínuas f e g , com 0 (y) g (y) f ≥≥ para todo y em [ c,d ]. Fazendo-se essa
área girar em torno do eixo y, obtém-se um sólido cujo volume é dado por:
[ ] [ ] dy (y) g -dy (y) f V d
c
2
d
c
2 ∫∫= pipi = { [ ] [ ] }dy (y) g - (y) f 2d
c
2∫ pi
Exemplos:
1) A área limitada pelo gráfico de 1 xy 2 += , retas x = -1 e x = 1 e o eixo x, gera um
volume V. Determinar o valor de V.
Apostila de Cálculo II
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( ) ( )
15
56
x
3
x2
5
x
dx 1x2x dx 1x V 1
1
3
51
1-
24
1
1-
22 pipipipi =
++=++=+=
−
∫∫
2) A região limitada pelo eixo y e os gráficos de 3 xy = , y = 1 e y = 8 gira em torno do
eixo y. determine o volume do sólido resultante.
( )
5
93
3
5
y
dy dy y V 8
1
3
5
8
1
3
21
1
2
3 2 pipipipi =
=== ∫∫ y
Exercícios:
1) A área limitada pelos gráficos de 1x
2
1
y, 2xy 2 +=+= , x = 0 e x = 1 gira em
torno do eixo x. Determinar o volume do sólido resultante.
2) A área do exercício anterior gira em torno da reta y = 3. Determine o volume
gerado.
3) Esboce a região R e determine o volume do sólido gerado pela rotação de R em
torno do eixo indicado para:
a) x4 xy 2 −= , y = 0 ; em torno do eixo dos x.
b) xy = , x + y =4 , x = 0 ; em torno do eixo dos x.