22 11 0 2 = −=∫ −=∫ −= 2) Achar a área limitada pelas curvas 0 3- x 2 y e 6 xy 2 =+=+ -1 1 2 3 x -2 2 4 6 y pontos de intersecção == −== −=+ 3bx 1ax x236x- 2 12 ( ) ( )[ ] ( ) 3 32 x3x 3 xdx 3x2x- dx 3x26x- A 31 2 33 1- 23 1- 2 = ++−=∫ ++=∫ +−−+= − 3) Obter a área limitada pelas curvas x ye 4x y2 2 2 =+= . pontos de intersecção == == =− 2 d y -2cy y4 y2 2 122 Apostila de Cálculo II 25 -4 -2 2 4 x -2 -1 1 2 y . ( )[ ] [ ] [ ] 3 32 y4 3 y -dy 4 y dy 4 y2y dy 4 y2y A 2 2 32 2 2 2 2 22 2 2 22 = +=+−=+−=−−= − −−− ∫∫∫ Exercícios: 1) Calcular a área limitada pelos gráficos das funções 2y- xe 1 xy 2 =+= e as retas x=-2 e x=2. 2) Calcular a área limitada pelo gráfico das funções x4-2x )(x g e 2xf(x) 22 =−= . 3) Encontre a área da região limitada pela curva 6 x 5 x2 xy 23 +−−= , o eixo x e as retas x = -1 e x = 2. Cálculo de Volumes de Rotação Uma área ao girar em torno de um eixo gera um sólido de revolução de volume V. a) Giro em torno do eixo x Seja f (x) contínua em [ a,b ]. O volume V do sólido de revolução gerado pela rotação da região delimitada pelos gráficos de f, de x= a, de x=b e do eixo dos x é dado por: Apostila de Cálculo II 26 [ ] dx (x) f V b a 2∫= pi b) Giro em torno do eixo y Seja f (y) contínua em [ c,d ]. O volume V do sólido de revolução gerado pela rotação da região delimitada pelos gráficos de f, de y= c, de y=d e do eixo dos y é dado por [ ] dy (y) f V d c 2∫= pi c) Giro em torno do eixo x, com a área não apoiada no eixo x. Seja uma região limitada pelos gráficos de x=a, x=b e pelos gráficos de duas funções contínuas f e g , com 0 (x) g (x) f ≥≥ para todo x em [ a,b ]. Fazendo-se essa área girar em torno do eixo x, obtém-se um sólido cujo volume é dado por: [ ] [ ] dx (x) g -dx (x) f V b a 2 b a 2 ∫∫= pipi = { [ ] [ ] }dx (x) g - (x) f 2b a 2∫ pi d) Giro em torno do eixo y, com a área não apoiada no eixo y. Seja uma região limitada pelos gráficos de y=c, y=d e pelos gráficos de duas funções contínuas f e g , com 0 (y) g (y) f ≥≥ para todo y em [ c,d ]. Fazendo-se essa área girar em torno do eixo y, obtém-se um sólido cujo volume é dado por: [ ] [ ] dy (y) g -dy (y) f V d c 2 d c 2 ∫∫= pipi = { [ ] [ ] }dy (y) g - (y) f 2d c 2∫ pi Exemplos: 1) A área limitada pelo gráfico de 1 xy 2 += , retas x = -1 e x = 1 e o eixo x, gera um volume V. Determinar o valor de V. Apostila de Cálculo II 27 ( ) ( ) 15 56 x 3 x2 5 x dx 1x2x dx 1x V 1 1 3 51 1- 24 1 1- 22 pipipipi = ++=++=+= − ∫∫ 2) A região limitada pelo eixo y e os gráficos de 3 xy = , y = 1 e y = 8 gira em torno do eixo y. determine o volume do sólido resultante. ( ) 5 93 3 5 y dy dy y V 8 1 3 5 8 1 3 21 1 2 3 2 pipipipi = === ∫∫ y Exercícios: 1) A área limitada pelos gráficos de 1x 2 1 y, 2xy 2 +=+= , x = 0 e x = 1 gira em torno do eixo x. Determinar o volume do sólido resultante. 2) A área do exercício anterior gira em torno da reta y = 3. Determine o volume gerado. 3) Esboce a região R e determine o volume do sólido gerado pela rotação de R em torno do eixo indicado para: a) x4 xy 2 −= , y = 0 ; em torno do eixo dos x. b) xy = , x + y =4 , x = 0 ; em torno do eixo dos x.