c-lculo II
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c-lculo II

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22
11

0

2
=














−=∫ 










−=∫ −=

2) Achar a área limitada pelas curvas 0 3- x 2 y e 6 xy 2 =+=+

-1 1 2 3
x

-2

2

4

6
y

 pontos de intersecção



==

−==

−=+
3bx
1ax

 x236x-
2

12

( ) ( )[ ] ( )
3
32

 x3x
3
xdx 3x2x- dx 3x26x- A 31

2
33

1-

23

1-

2
=





++−=∫ ++=∫ +−−+=
−

3) Obter a área limitada pelas curvas x ye 4x y2 2 2 =+= .

pontos de intersecção



==

==

=−

2 d y
-2cy

 y4 y2
2

122

Apostila de Cálculo II

25

-4 -2 2 4
x

-2

-1

1

2
y

.

( )[ ] [ ] [ ]
3
32

 y4
3
y

-dy 4 y dy 4 y2y dy 4 y2y A 2
2

32

2

2
2

2

22
2

2

22
=





+=+−=+−=−−=
−

−−−

∫∫∫

 Exercícios:

1) Calcular a área limitada pelos gráficos das funções 2y- xe 1 xy 2 =+= e as retas
x=-2 e x=2.

2) Calcular a área limitada pelo gráfico das funções x4-2x )(x g e 2xf(x) 22 =−= .

3) Encontre a área da região limitada pela curva 6 x 5 x2 xy 23 +−−= , o eixo x e as
retas x = -1 e x = 2.

Cálculo de Volumes de Rotação

 Uma área ao girar em torno de um eixo gera um sólido de revolução de
volume V.

a) Giro em torno do eixo x

Seja f (x) contínua em [ a,b ]. O volume V do sólido de revolução gerado pela
rotação da região delimitada pelos gráficos de f, de x= a, de x=b e do eixo dos x é
dado por:

Apostila de Cálculo II

26

[ ] dx (x) f V b
a

2∫= pi

b) Giro em torno do eixo y

 Seja f (y) contínua em [ c,d ]. O volume V do sólido de revolução gerado pela
rotação da região delimitada pelos gráficos de f, de y= c, de y=d e do eixo dos y é
dado por

[ ] dy (y) f V d
c

2∫= pi

c) Giro em torno do eixo x, com a área não apoiada no eixo x.

Seja uma região limitada pelos gráficos de x=a, x=b e pelos gráficos de duas
funções contínuas f e g , com 0 (x) g (x) f ≥≥ para todo x em [ a,b ]. Fazendo-se essa
área girar em torno do eixo x, obtém-se um sólido cujo volume é dado por:

[ ] [ ] dx (x) g -dx (x) f V b
a

2
b

a

2 ∫∫= pipi = { [ ] [ ] }dx (x) g - (x) f 2b
a

2∫ pi

d) Giro em torno do eixo y, com a área não apoiada no eixo y.

Seja uma região limitada pelos gráficos de y=c, y=d e pelos gráficos de duas
funções contínuas f e g , com 0 (y) g (y) f ≥≥ para todo y em [ c,d ]. Fazendo-se essa
área girar em torno do eixo y, obtém-se um sólido cujo volume é dado por:

[ ] [ ] dy (y) g -dy (y) f V d
c

2
d

c

2 ∫∫= pipi = { [ ] [ ] }dy (y) g - (y) f 2d
c

2∫ pi

Exemplos:

1) A área limitada pelo gráfico de 1 xy 2 += , retas x = -1 e x = 1 e o eixo x, gera um
volume V. Determinar o valor de V.

Apostila de Cálculo II

27

( ) ( )
15

56
x

3
x2

5
x

 dx 1x2x dx 1x V 1
1

3
51

1-

24
1

1-

22 pipipipi =



++=++=+=

−
∫∫

2) A região limitada pelo eixo y e os gráficos de 3 xy = , y = 1 e y = 8 gira em torno do
eixo y. determine o volume do sólido resultante.

( )
5

93

3
5
y

 dy dy y V 8
1

3
5

8

1

3
21

1

2
3 2 pipipipi =














=== ∫∫ y

 Exercícios:

1) A área limitada pelos gráficos de 1x
2
1

 y, 2xy 2 +=+= , x = 0 e x = 1 gira em

torno do eixo x. Determinar o volume do sólido resultante.

2) A área do exercício anterior gira em torno da reta y = 3. Determine o volume
gerado.

3) Esboce a região R e determine o volume do sólido gerado pela rotação de R em
torno do eixo indicado para:

 a) x4 xy 2 −= , y = 0 ; em torno do eixo dos x.
 b) xy = , x + y =4 , x = 0 ; em torno do eixo dos x.