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Engenharia de Produção 
Lista 06 
 
 
 
A Integral Definida 
 
A partir do estudo do esboço gráfico feito em sala de aula podemos afirmar 
que, sendo f uma função definida num intervalo fechado [a,b], uma boa 
aproximação para o valor da área definida pela curva f, acima do eixo x e 
entre as retas x=a e x=b é dada pela soma ∑
=
∆
n
i
ii xf
1
)(ξ , onde n é a quantidade 
de subintervalos que dividem o intervalo [a,b], xi∆ é o comprimento o i-ésimo 
subintervalo ( )( 1−−=∆ iii xxx , com a=x0 e b=xn) e iξ um ponto aleatoriamente 
escolhido no interior do i-ésimo intervalo. Tal soma é chamada uma SOMA 
DE RIEMANN. 
 
Definição: Se f é uma função definida no intervalo fechado [a,b], então a 
integral definida de f, de a até b, denotada por ∫
b
a
dxxf )( é dada por 
∑∫
=→∆
∆=
n
1i
i
0
)f( )( lim xdxxf i
b
a
ξ
 se o limite existir. 
 
( ∆ é a norma da partição ∆ , isto é, o comprimento do maior subintervalo 
dessa partição). 
 
A afirmação “a função f é integrável no intervalo fechado [a,b]” é sinônimo 
da afirmação “a integral definida de f de a até b existe”. 
 
Teorema 
 
Se uma função é contínua em um intervalo fechado [a,b] então f é integrável 
em [a,b]. (Note que embora a continuidade seja suficiente para garantir a 
existência da integral definida, pode haver funções descontínuas cuja integral 
existe). 
 
 
 
Teorema (FUNDAMENTAL DO CÁLCULO) 
 
Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a,b] e F uma função tal que 
F´(x) = f(x) para todo x em [a,b] (isto é, F é primitiva de f). Então 
)()()( aFbFdxxf
b
a
−=∫ 
 
 
Propriedades da Integral Definida 
 
(a) ∫∫ =
b
a
b
a
dxxfkdxxkf )()( (b) ∫ =
a
a
dxxf 0)( (c) ∫ ∫−=
b
a
a
b
dxxfdxxf )()( 
(d) ∫∫∫ ±=±
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([
 (e) ∫ ∫∫ +=
c
a
b
c
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()( ; a < c < b 
 
 
 
Exercícios 
 
Calcular as integrais definidas das funções dadas nos intervalos especificados: 
 
(a) f(x) = x2 de 1 a 3 (b) f(x) = 12 32 +xx de 0 a 2 (c) xxxf += 1)( de 3 a 0 
 
(d) f(x) = |x+2| de -3 a 4 (e) f(x) = xlnx de 1 a e (f) 12 )25()( −−= xxf de 0 a 5