Aula 02 de Resistência I - Prop Geom 1
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Aula 02 de Resistência I - Prop Geom 1

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à origem dos eixos

x e y é:
 cmkNdAkdFdM pp . .

2 

O momento resultante é:

 App dAkM
2

x

y

x dx

dy

y

dydxdA .



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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas

Momentos de Superfície

O Momento Polar de Inércia [cm4] da superfície é:

   x yAp dydxdAI .
22 

x

y

x dx

dy

y

dydxdA .

    
22

A
p dAyxI

 222 yx

yxp III 

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas

Momentos de Superfície

Seja uma superfície de área

A e momento de inércia Ix

x

y

x dx

dy

y

dydxdA .



x

y

xr

A

y

Seja outra superfície de mesma

área A e mesmo momento de inércia

Ix, porém ‘concentrada’

a uma distância rx do

eixo x

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas

Momentos de Superfície

Seja uma superfície de área

A e momento de inércia Ix

x

y

x dx

dy

y

dydxdA .



x

y

xr

A

y

ArdArdAyI x
A

x
A

x

222  

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas

Momentos de Superfície

x

y

x dx

dy

y

dydxdA .



ArdArdAyI x
A

x
A

x

222  

A

I
r xx 

é o raio de giração

da seção em relação

ao eixo x

Seja uma superfície de área

A e momento de inércia Ix

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas

Momentos de Superfície

Analogamente,

A

I
r

y

y 
é o raio de giração da seção em relação ao eixo y e

A

I
r

p

o 
é o raio de giração polar da seção

222

yxo rrr 

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas

Translação e Rotação de Eixos

Translação:

x1

y1

x1 dx

dy

y1

dydxdA .

x2

y2

y2

x2

yo

xo

   A oAx dAyydAyS 122

oyyy  12

oxxx  12

  AoAx dAydAyS 12

AySS oxx  12

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I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas

Translação e Rotação de Eixos

Translação:

x1

y1

x1 dx

dy

y1

dydxdA .

x2

y2

y2

x2

yo

xo

oyyy  12

oxxx  12

AySS oxx  12

AxSS oyy  12

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas

Translação e Rotação de Eixos

Translação:

x1

y1

x1 dx

dy

y1

dydxdA .

x2

y2

y2

x2

yo

xo

   A oAx dAyydAyI
2

1

2

22

oyyy  12

oxxx  12

  AoAoAx dAydAyydAyI
2

1

2

1 22

AySyII oxoxx
2

112
2 

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I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas

Translação e Rotação de Eixos

Translação:

x1

y1

x1 dx

dy

y1

dydxdA .

x2

y2

y2

x2

yo

xo

oyyy  12

oxxx  12

AyxSySxII ooyoxoyxyx  111122

AySyII oxoxx
2

112
2 

AxSxII oyoyy
2

112
2 

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I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas

Translação e Rotação de Eixos

Translação:

x1

y1

x1 dx

dy

y1

dydxdA .

x2

y2

y2

x2

yo

xo

oyyy  12

oxxx  12

   AyxSxSyII ooyoxopp 221112 2 

222 yxp
III 

111 yxp
III 

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I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas

Translação e Rotação de Eixos

Centróide ou ‘Centro de Gravidade’ da Seção Plana (CG):

x1

y1

x1 dx

dy

y1

dydxdA .

x2

y2

y2

x2

yo

xo
0

22
 yx SS

Seja

0
12

 AySS oxx

A

S
yy

x

CGo
1

A

S
xx

y

CGo
1

(x2,y2): eixos centrais

CG (xCG)

(yCG)

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I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas

Translação e Rotação de Eixos

Centróide ou ‘Centro de Gravidade’ da Seção Plana (CG):

Sejam xCG e yCG os eixos centrais.

As coordenadas do CG são:

x

y

x dx

dy

y

dydxdA .

xCG

yCG

CGx

CGy

CG

A

S
y xCG 

A

S
x

y

CG 

Notação alternativa:

A

S
y x

A

S
x

y


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I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas

Translação e Rotação de Eixos

AyII
CGxx

2

AySyII CGxCGxxCG
22 

AyS CGx  AyII CGxxCG
2 

x

y

x dx

dy

y

dydxdA .

xCG

yCG

CGx

CGy

CG

AySyII oxoxx
2

112
2 

Centróide ou ‘Centro de Gravidade’ da Seção Plana (CG):

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I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas

Translação e Rotação de Eixos

AyII CGxx CG
2

AxII CGyy CG
2

AyxII CGCGxyxy CG 

x

y

x dx

dy

y

dydxdA .

xCG

yCG

CGx

CGy

CG

Centróide ou ‘Centro de Gravidade’ da Seção Plana (CG):