Lista 6 (2011.2)
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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de Matema´tica
Departamento de Me´todos Matema´ticos
Lista 6 - Ca´lculo III - 2008/01
Integral de Superf´\u131cie Escalar e A´rea, com Parametrizac¸a\u2dco de Superf´\u131cies
Integral de Superf´\u131cie Vetorial
Parte 1: Integral de Superf´\u131cie Escalar e A´rea de Superf´\u131cies que sa\u2dco gra´ficos de func¸a\u2dco
1. (Exerc´\u131cio 6, sec¸a\u2dco 15.6 do Stewart, Vol. 2, 5a Edic¸a\u2dco) Determine a a´rea da parte do
parabolo´ide z = 4\u2212 x2 \u2212 y2 que esta´ acima do plano xy.
2. Determine as a´reas, nos Exerc´\u131cios 4b, 4f e 4e da sec¸a\u2dco 7.4 do livro texto (Diomara e
Ca\u2c6ndida)
3. Determine o valor da integral de superf´\u131cie escalar, no exerc´\u131cio 1b, sec¸a\u2dco 7.6, do livro
texto (Diomara e Ca\u2c6ndida).
4. Determine a a´rea, no Exerc´\u131cio 3, da sec¸a\u2dco 7.4, do livro texto (Diomara e Ca\u2c6ndida).
Parte 2: Parametrizac¸a\u2dco de Superf´\u131cies que na\u2dco sa\u2dco gra´ficos
1. Parametrize a porc¸a\u2dco do cilindro x2 + y2 = a2 compreendida entre os planos z = 2x
e z = 4x.
2. Considere o arco \u3b3 da para´bola z = 3 \u2212 y2, no plano yz, compreendido entre as
semi-retas z = 2y e z = 11y
2
, com y \u2265 0. Seja S a superf´\u131cie obtida girando-se \u3b3 em
torno do eixo z. Parametrize S.
3. Seja S a superf´\u131cie obtida girando-se a curva z = x2, 0 \u2264 x \u2264 4, em torno do eixo z.
\u2022 parametrize S.
\u2022 parametrize a superf´\u131cie S1, que e´ a porc¸a\u2dco de S compreendida entre os cilindros
x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4.
4. Parametrize a parte da superf´\u131cie x2 + y2 = 2x limitada pelas superf´\u131cies z = 0 e
z =
\u221a
x2 + y2.
5. Parametrize a porc¸a\u2dco da esfera x2 + y2 + z2 = 12 que na\u2dco se encontra no interior do
parabolo´ide z = x2 + y2.
6. Parametrize a superf´\u131cie x2 + y2 = 1, limitada pelos planos z = 1 e x+ z = 4.
7. Parametrize a superf´\u131cie obtida girando-se a curva z = 1 \u2212 x2, 0 \u2264 x \u2264 1, em torno
do eixo x.
8. Seja S = S1\u222aS2, onde S1 obtida rodando-se em torno do eixo z a curva C1: z = 1\u2212x,
0 \u2264 x \u2264 1 e S2 e´ obtida girando-se a curva z = 0, 0 \u2264 x \u2264 1, em torno de z.
Parametrize S1 e S2.
9. Parametrize a porc¸a\u2dco de (x\u2212 1)2 + (y \u2212 1)2 = 1 entre as superf´\u131cies z = 0 e z = 4.
10. Parametrize a superf´\u131cie de revoluc¸a\u2dco S obtida girando-se o segmento de reta que liga
(1, 0, 1) a (0, 0, 3), em torno do eixo Oz.
11. Parametrize a superf´\u131cie S obtida girando-se o c´\u131rculo (x\u2212 a)2 + z2 = b2, 0 < b < a,
em torno de Oz e encontre um vetor normal a S em cada ponto, utilizando-se esta
parametrizac¸a\u2dco.
12. Parametrize a porc¸a\u2dco da esfera x2 + y2 + z2 = a2 limitada por dois paralelos e dois
meridianos, sabendo-se que o a\u2c6ngulo entre os dois meridianos e´ \u3b1 e a dista\u2c6ncia entre
os planos que conte\u2c6m os paralelos e´ h.
Sugesta\u2dco: situe um dos paralelos no plano xy e um dos meridianos no plano xz e use
a ide´ia das coordenadas esfe´ricas.
13. Encontre uma parametrizac¸a\u2dco para a superf´\u131cie S do hiperbolo´ide x2 + y2 \u2212 z2 =
1; encontre um vetor normal a S em cada ponto, utilizando esta parametrizac¸a\u2dco e
encontre a equac¸a\u2dco do plano tangente a S no ponto (1/2,
\u221a
3/2, 0).
Parte 3: Integral de Superf´\u131cie Escalar e A´rea de Superf´\u131cies que na\u2dco sa\u2dco gra´ficos de func¸a\u2dco
1. (Exerc´\u131cio 17, da sec¸a\u2dco 16.7, do livro Stewart, Vol. 2, 5a Edic¸a\u2dco) Determine
\u222b
yz dS,
onde S e´ a superf´\u131cie com equac¸o\u2dces parame´tricas x = u2, y = u sen v, z = u cos v,
sendo 0 \u2264 u \u2264 1 e 0 \u2264 v \u2264 pi
2
.
2. Ca´lcule as a´reas nos exerc´\u131cios 4a,1,2,4d, da sec¸a\u2dco 7.4 do livro texto (Candida e
Diomara)
3. Calcule as integrais de superf´\u131cie nos exerc´\u131cios 1a e 3, da sec¸a\u2dco 7.6, do livro texto
(Candida e Diomara).
4. Calcule a a´rea, no exerc´\u131cio 4g, da sec¸a\u2dco 7.4, do livro texto (Candida e Diomara).
Parte 4: Integral de Superf´\u131cie Escalar e A´rea quaisquer
1. Exerc´\u131cio 4c, sec¸a\u2dco 7.4 do livro texto(Candida e Diomara)
2. Exerc´\u131cios 1c, 2, da sec¸a\u2dco 7.6 do livro texto (candida e Diomara)
3. (Exerc´\u131cio 12, sec¸a\u2dco 15.6, do Stewart, Vol. 2, 5a Edic¸a\u2dco) Determine a a´rea da parte
da esfera x2 + y2 + z2 = 4z que esta´ situada dentro do parabolo´ide z = x2 + y2.
4. (Exerc´\u131cio 11, sec¸a\u2dco 16.7 do Stewart, Vol. 2, 5a Edic¸a\u2dco) Calcule
\u222b
y dS, onde S e´ a
parte do parabolo´ide y = x2 + z2 no interior do cilindro x2 + z2 = 4.
5. (Exerc´\u131cio 12, sec¸a\u2dco 16.7 do Stewart, Vol. 2, 5a Edic¸a\u2dco) Calcule
\u222b
xy dS, onde S e´ a
fronteira da regia\u2dco limitada pelo cilindro x2+z2 = 1 e pelos planos y = 0 e x+y = 2.
6. (Exerc´\u131cio 14, sec¸a\u2dco 16.7 do Stewart, Vol. 2, 5a Edic¸a\u2dco) Calcule
\u222b
xyz dS, onde S e´
a parte da esfera x2 + y2 + z2 = 1 acima do cone z =
\u221a
x2 + y2.
Parte 5: Integral de Superf´\u131cie Vetorial
1. Exerc´\u131cios 1 a 8, da sec¸a\u2dco 7.8 do livro texto (Candida e Diomara).
Respostas da Parte 1:
1. pi
6
(17
3
2 \u2212 1)
Respostas da Parte 2:
1. \u3c31(u, v) = (a cos(u), a sen (u), v), \u2212pi2 \u2264 u \u2264 pi2 e 2a cos(u) \u2264 v \u2264 4a cos(u); \u3c32(u, v) =
(a cos(u), a sen (u), v), pi
2
\u2264 u \u2264 3pi
2
e 4a cos(u) \u2264 v \u2264 2a cos(u)
2. \u3c3(u, v) = (u cos(v), u sen (v), 3\u2212 u2), 0 \u2264 v \u2264 2pi; 1
2
\u2264 u \u2264 1.
3. \u3c3(u, v) = (u cos(v), u sen (v), u2),0 \u2264 v \u2264 2pi; 0 \u2264 u \u2264 4 e \u3c3(u, v) = (u cos(v), u sen (v), u2),0 \u2264
v \u2264 2pi; 1 \u2264 u \u2264 2
4. \u3c3(u, v) = (1 + cos(u), sen (u), v); 0 \u2264 u \u2264 2pi, 0 \u2264 v \u2264 2| cos(u/2)|
5. \u3c3(\u3d5, \u3b8) = (
\u221a
12 sen (\u3d5) cos(\u3b8),
\u221a
12 sen (\u3d5) sen (\u3b8),
\u221a
12 cos(\u3d5)); 0 \u2264 \u3b8 \u2264 2pi; pi/6 \u2264 \u3d5 \u2264 pi.
6. \u3c3(u, v) = (cos(u), sen (u), v); 0 \u2264 u \u2264 2pi; 1 \u2264 v \u2264 4\u2212 cos(u)
7. \u3c3(u, v) = (u, (1\u2212 u2) cos(v), (1\u2212 u2) sen (v)), 0 \u2264 v \u2264 2pi; 0 \u2264 u \u2264 1
8. \u3c31(u, v) = (u cos(v), u sen (v), 1\u2212u), 0 \u2264 u \u2264 1, 0 \u2264 v \u2264 2pi; \u3c32(u, v) = (u cos(v), u sen (v), 0),
mesmos intervalos de variac¸a\u2dco de para\u2c6metros.
9. \u3c3(u, v) = (1 + cos(u), 1 + sen (u), v);0 \u2264 u \u2264 2pi, 0 \u2264 v \u2264 4
10. \u3c3(u, v) = (u cos(v), u sen (v), 3\u2212 2u); 0 \u2264 v \u2264 2pi; 0 \u2264 u \u2264 1
11. \u3c3(u, v) = ((a + b cos(u)) cos(v), (a + b cos(u)) sen (v), b sen (u)); 0 \u2264 u, v \u2264 2pi e ~N =
(a+ b cos(u))(b cos(u) cos(v), b cos(u) sen (v), b sen (u))
12. \u3c3(\u3d5, \u3b8) = (a sen (\u3d5) cos(\u3b8), a sen (\u3d5) sen (\u3b8), a cos(\u3d5)), 0 \u2264 \u3b8 \u2264 \u3b1 e arccos(h/a) \u2264 \u3d5 \u2264 pi/2.
Respostas da Parte 3:
1. 5
\u221a
5
48
+ 1
240
.
Respostas da Parte 4:
Exerc´\u131cio 3 4pi
Exerc´\u131cio 4 pi
60
(1 + 391
\u221a
17)
Exerc´\u131cio 5 \u22122pi \u2212
\u221a
2pi
4
Exerc´\u131cio 6 zero