Lista 6 (2011.2)
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Lista 6 (2011.2)

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de Matema´tica
Departamento de Me´todos Matema´ticos
Lista 6 - Ca´lculo III - 2008/01
Integral de Superf´ıcie Escalar e A´rea, com Parametrizac¸a˜o de Superf´ıcies
Integral de Superf´ıcie Vetorial

Parte 1: Integral de Superf´ıcie Escalar e A´rea de Superf´ıcies que sa˜o gra´ficos de func¸a˜o

1. (Exerc´ıcio 6, sec¸a˜o 15.6 do Stewart, Vol. 2, 5a Edic¸a˜o) Determine a a´rea da parte do
parabolo´ide z = 4− x2 − y2 que esta´ acima do plano xy.

2. Determine as a´reas, nos Exerc´ıcios 4b, 4f e 4e da sec¸a˜o 7.4 do livro texto (Diomara e
Caˆndida)

3. Determine o valor da integral de superf´ıcie escalar, no exerc´ıcio 1b, sec¸a˜o 7.6, do livro
texto (Diomara e Caˆndida).

4. Determine a a´rea, no Exerc´ıcio 3, da sec¸a˜o 7.4, do livro texto (Diomara e Caˆndida).

Parte 2: Parametrizac¸a˜o de Superf´ıcies que na˜o sa˜o gra´ficos

1. Parametrize a porc¸a˜o do cilindro x2 + y2 = a2 compreendida entre os planos z = 2x
e z = 4x.

2. Considere o arco γ da para´bola z = 3 − y2, no plano yz, compreendido entre as
semi-retas z = 2y e z = 11y

2
, com y ≥ 0. Seja S a superf´ıcie obtida girando-se γ em

torno do eixo z. Parametrize S.

3. Seja S a superf´ıcie obtida girando-se a curva z = x2, 0 ≤ x ≤ 4, em torno do eixo z.
• parametrize S.
• parametrize a superf´ıcie S1, que e´ a porc¸a˜o de S compreendida entre os cilindros
x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4.

4. Parametrize a parte da superf´ıcie x2 + y2 = 2x limitada pelas superf´ıcies z = 0 e
z =

√
x2 + y2.

5. Parametrize a porc¸a˜o da esfera x2 + y2 + z2 = 12 que na˜o se encontra no interior do
parabolo´ide z = x2 + y2.

6. Parametrize a superf´ıcie x2 + y2 = 1, limitada pelos planos z = 1 e x+ z = 4.

7. Parametrize a superf´ıcie obtida girando-se a curva z = 1 − x2, 0 ≤ x ≤ 1, em torno
do eixo x.

8. Seja S = S1∪S2, onde S1 obtida rodando-se em torno do eixo z a curva C1: z = 1−x,
0 ≤ x ≤ 1 e S2 e´ obtida girando-se a curva z = 0, 0 ≤ x ≤ 1, em torno de z.
Parametrize S1 e S2.

9. Parametrize a porc¸a˜o de (x− 1)2 + (y − 1)2 = 1 entre as superf´ıcies z = 0 e z = 4.
10. Parametrize a superf´ıcie de revoluc¸a˜o S obtida girando-se o segmento de reta que liga

(1, 0, 1) a (0, 0, 3), em torno do eixo Oz.

11. Parametrize a superf´ıcie S obtida girando-se o c´ırculo (x− a)2 + z2 = b2, 0 < b < a,
em torno de Oz e encontre um vetor normal a S em cada ponto, utilizando-se esta
parametrizac¸a˜o.

12. Parametrize a porc¸a˜o da esfera x2 + y2 + z2 = a2 limitada por dois paralelos e dois
meridianos, sabendo-se que o aˆngulo entre os dois meridianos e´ α e a distaˆncia entre
os planos que conteˆm os paralelos e´ h.
Sugesta˜o: situe um dos paralelos no plano xy e um dos meridianos no plano xz e use
a ide´ia das coordenadas esfe´ricas.

13. Encontre uma parametrizac¸a˜o para a superf´ıcie S do hiperbolo´ide x2 + y2 − z2 =
1; encontre um vetor normal a S em cada ponto, utilizando esta parametrizac¸a˜o e
encontre a equac¸a˜o do plano tangente a S no ponto (1/2,

√
3/2, 0).

Parte 3: Integral de Superf´ıcie Escalar e A´rea de Superf´ıcies que na˜o sa˜o gra´ficos de func¸a˜o

1. (Exerc´ıcio 17, da sec¸a˜o 16.7, do livro Stewart, Vol. 2, 5a Edic¸a˜o) Determine
∫
yz dS,

onde S e´ a superf´ıcie com equac¸o˜es parame´tricas x = u2, y = u sen v, z = u cos v,
sendo 0 ≤ u ≤ 1 e 0 ≤ v ≤ pi

2
.

2. Ca´lcule as a´reas nos exerc´ıcios 4a,1,2,4d, da sec¸a˜o 7.4 do livro texto (Candida e
Diomara)

3. Calcule as integrais de superf´ıcie nos exerc´ıcios 1a e 3, da sec¸a˜o 7.6, do livro texto
(Candida e Diomara).

4. Calcule a a´rea, no exerc´ıcio 4g, da sec¸a˜o 7.4, do livro texto (Candida e Diomara).

Parte 4: Integral de Superf´ıcie Escalar e A´rea quaisquer

1. Exerc´ıcio 4c, sec¸a˜o 7.4 do livro texto(Candida e Diomara)

2. Exerc´ıcios 1c, 2, da sec¸a˜o 7.6 do livro texto (candida e Diomara)

3. (Exerc´ıcio 12, sec¸a˜o 15.6, do Stewart, Vol. 2, 5a Edic¸a˜o) Determine a a´rea da parte
da esfera x2 + y2 + z2 = 4z que esta´ situada dentro do parabolo´ide z = x2 + y2.

4. (Exerc´ıcio 11, sec¸a˜o 16.7 do Stewart, Vol. 2, 5a Edic¸a˜o) Calcule
∫
y dS, onde S e´ a

parte do parabolo´ide y = x2 + z2 no interior do cilindro x2 + z2 = 4.

5. (Exerc´ıcio 12, sec¸a˜o 16.7 do Stewart, Vol. 2, 5a Edic¸a˜o) Calcule
∫
xy dS, onde S e´ a

fronteira da regia˜o limitada pelo cilindro x2+z2 = 1 e pelos planos y = 0 e x+y = 2.

6. (Exerc´ıcio 14, sec¸a˜o 16.7 do Stewart, Vol. 2, 5a Edic¸a˜o) Calcule
∫
xyz dS, onde S e´

a parte da esfera x2 + y2 + z2 = 1 acima do cone z =
√
x2 + y2.

Parte 5: Integral de Superf´ıcie Vetorial

1. Exerc´ıcios 1 a 8, da sec¸a˜o 7.8 do livro texto (Candida e Diomara).

Respostas da Parte 1:

1. pi
6
(17

3
2 − 1)

Respostas da Parte 2:

1. σ1(u, v) = (a cos(u), a sen (u), v), −pi2 ≤ u ≤ pi2 e 2a cos(u) ≤ v ≤ 4a cos(u); σ2(u, v) =
(a cos(u), a sen (u), v), pi

2
≤ u ≤ 3pi

2
e 4a cos(u) ≤ v ≤ 2a cos(u)

2. σ(u, v) = (u cos(v), u sen (v), 3− u2), 0 ≤ v ≤ 2pi; 1
2
≤ u ≤ 1.

3. σ(u, v) = (u cos(v), u sen (v), u2),0 ≤ v ≤ 2pi; 0 ≤ u ≤ 4 e σ(u, v) = (u cos(v), u sen (v), u2),0 ≤
v ≤ 2pi; 1 ≤ u ≤ 2

4. σ(u, v) = (1 + cos(u), sen (u), v); 0 ≤ u ≤ 2pi, 0 ≤ v ≤ 2| cos(u/2)|
5. σ(ϕ, θ) = (

√
12 sen (ϕ) cos(θ),

√
12 sen (ϕ) sen (θ),

√
12 cos(ϕ)); 0 ≤ θ ≤ 2pi; pi/6 ≤ ϕ ≤ pi.

6. σ(u, v) = (cos(u), sen (u), v); 0 ≤ u ≤ 2pi; 1 ≤ v ≤ 4− cos(u)
7. σ(u, v) = (u, (1− u2) cos(v), (1− u2) sen (v)), 0 ≤ v ≤ 2pi; 0 ≤ u ≤ 1
8. σ1(u, v) = (u cos(v), u sen (v), 1−u), 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 2pi; σ2(u, v) = (u cos(v), u sen (v), 0),

mesmos intervalos de variac¸a˜o de paraˆmetros.

9. σ(u, v) = (1 + cos(u), 1 + sen (u), v);0 ≤ u ≤ 2pi, 0 ≤ v ≤ 4
10. σ(u, v) = (u cos(v), u sen (v), 3− 2u); 0 ≤ v ≤ 2pi; 0 ≤ u ≤ 1
11. σ(u, v) = ((a + b cos(u)) cos(v), (a + b cos(u)) sen (v), b sen (u)); 0 ≤ u, v ≤ 2pi e ~N =

(a+ b cos(u))(b cos(u) cos(v), b cos(u) sen (v), b sen (u))

12. σ(ϕ, θ) = (a sen (ϕ) cos(θ), a sen (ϕ) sen (θ), a cos(ϕ)), 0 ≤ θ ≤ α e arccos(h/a) ≤ ϕ ≤ pi/2.
Respostas da Parte 3:

1. 5
√
5

48
+ 1

240
.

Respostas da Parte 4:

Exerc´ıcio 3 4pi

Exerc´ıcio 4 pi
60
(1 + 391

√
17)

Exerc´ıcio 5 −2pi −
√
2pi
4

Exerc´ıcio 6 zero