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Cálculo II 
Lista 08 – Produção - 2011 
 
 
Área de uma região em coordenadas polares 
 
Seja f uma função contínua não negativa no intervalo fechado [α, β]. Seja R a 
região limitada pela curva cuja equação é )(θρ f= e pelas retas θ = α e θ = β. 
Então a região R é a região AOB apresentada na figura abaixo. 
Seja uma partição ∆ de [α, β] definida por α = θ1<θ2<....<θn-1<θn = β. 
Teremos, portanto, n subintervalos da forma [θi-1, θi] para i = 1, 2, 3, ..., n. 
Seja ξi um valor de θ no i-ésimo intervalo [θi-1, θi]. A medida em radianos do 
ângulo entre as retas θ = θi-1 e θ = θi é denotada por ∆iθ. O número de 
unidades quadradas de área de um setor circular de raio f(ξi) unidades e 
ângulo central medindo ∆iθ radianos é dado por 
θξ iif ∆2]([2
1
, 
existindo um setor circular para cada um dos n subintervalos. A soma das 
medidas das áreas desses setores circulares é 
∑
=
∆
n
i 1
i
2
i )][f(2
1 θξ 
Do mesmo modo como procedemos quando trabalhando o conceito da Integral 
Definida, faremos a norma da partição ∆ tender a zero (o que significa fazer o 
número de subintervalos tender a infinito). Desse processo, teremos 
∫=
β
α
θθ dfA 2)]([
2
1
, 
que é a fórmula para cálculo de áreas de regiões em coordenadas polares. 
 
 
 
Exercícios 
 
(1) Encontrar a área da região limitada pelo gráfico de θρ cos22 += 
 
(2) Calcular a área limitada pela cardióide )cos1(3 θρ −= 
 
(3) Encontre a área da região interior à circunferência θρ sen3= e exterior à 
limaçon θρ sen−= 2 
 
(4) Calcular o comprimento de uma circunferência de raio r > 0 dada na 
forma paramétrica. 
(5) Calcular o comprimento da hipociclóide 
tseny
tx
3
3cos
=
=
 para pi20 ≤≤ t 
(6) Dadas as equações paramétricas do movimento de uma partícula no 
plano 
tseny
sentx
2
=
=
 para ],0[ pi∈t 
Pergunta-se: 
 
(a) Quais as posições da partícula nos instantes t = 0, t = 
2
pi
 e t = pi ? 
(b) Qual a trajetória descrita pela partícula? 
(c) Qual a distância percorrida pela partícula entre os instantes t = 0 e 
t = pi ? 
 
 
Comprimento de Curvas em Coordenadas Polares 
 
 
Considere )(θρ f= a equação do arco de uma curva C em coordenadas 
polares, com f contínua em βθα ≤≤ . 
 
Queremos calcular o comprimento s da curva de A (α, f(α)) até B(β, f(β)). 
 
As equações que nos permitem passar das coordenadas polares às coordenadas 
cartesianas são 
θρ
θρ
seny
x
=
= cos
 ou 
θθ
θθ
senfy
fx
)(
cos)(
=
=
. Podemos considerar essas 
equações como equações paramétricas da curva C. Assim, 
 
∫
=
=
+=
βθ
αθ
θθθθθ dsenffs .)´]).([()´]cos).([( 22 . Com alguns cálculos simples 
(Exercício) podemos reduzir essa expressão do comprimento da curva C à 
 
∫ +=
β
α
θθθ dffs .)]([)]´([ 22 ou, ainda mais simplesmente, ∫ +=
β
α
θρρ ds 22´)( 
 
 
Exemplos e exercícios 
 
(a) Calcular o comprimento da cardióide )cos1(2 θρ −= 
(b) Calcule o comprimento da curva θρ sen= , piθ ≤≤0 em coordenadas 
polares. 
(c) Calcule o comprimento da cissóide θθρ senatg2= desde 0=θ a 
3
piθ = 
(d) Sejam a=1ρ e )cos1(2 θρ −= a , com a > 0. Calcular o comprimento do 
arco de 2ρ interior à região limitada por 1ρ .