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Cálculo II
Lista 08 – Produção - 2011

Área de uma região em coordenadas polares

Seja f uma função contínua não negativa no intervalo fechado [α, β]. Seja R a
região limitada pela curva cuja equação é )(θρ f= e pelas retas θ = α e θ = β.
Então a região R é a região AOB apresentada na figura abaixo.
Seja uma partição ∆ de [α, β] definida por α = θ1<θ2<....<θn-1<θn = β.
Teremos, portanto, n subintervalos da forma [θi-1, θi] para i = 1, 2, 3, ..., n.
Seja ξi um valor de θ no i-ésimo intervalo [θi-1, θi]. A medida em radianos do
ângulo entre as retas θ = θi-1 e θ = θi é denotada por ∆iθ. O número de
unidades quadradas de área de um setor circular de raio f(ξi) unidades e
ângulo central medindo ∆iθ radianos é dado por

θξ iif ∆2]([2
1

,

existindo um setor circular para cada um dos n subintervalos. A soma das
medidas das áreas desses setores circulares é

∑
=

∆
n

i 1
i

2
i )][f(2

1 θξ
Do mesmo modo como procedemos quando trabalhando o conceito da Integral
Definida, faremos a norma da partição ∆ tender a zero (o que significa fazer o
número de subintervalos tender a infinito). Desse processo, teremos

∫=
β

α

θθ dfA 2)]([
2
1

,

que é a fórmula para cálculo de áreas de regiões em coordenadas polares.

Exercícios

(1) Encontrar a área da região limitada pelo gráfico de θρ cos22 +=

(2) Calcular a área limitada pela cardióide )cos1(3 θρ −=

(3) Encontre a área da região interior à circunferência θρ sen3= e exterior à
limaçon θρ sen−= 2

(4) Calcular o comprimento de uma circunferência de raio r > 0 dada na
forma paramétrica.

(5) Calcular o comprimento da hipociclóide
tseny
tx

3

3cos

=

=

 para pi20 ≤≤ t

(6) Dadas as equações paramétricas do movimento de uma partícula no
plano

tseny
sentx

2
=

=

 para ],0[ pi∈t

Pergunta-se:

(a) Quais as posições da partícula nos instantes t = 0, t =
2
pi

 e t = pi ?

(b) Qual a trajetória descrita pela partícula?
(c) Qual a distância percorrida pela partícula entre os instantes t = 0 e

t = pi ?

Comprimento de Curvas em Coordenadas Polares

Considere )(θρ f= a equação do arco de uma curva C em coordenadas
polares, com f contínua em βθα ≤≤ .

Queremos calcular o comprimento s da curva de A (α, f(α)) até B(β, f(β)).

As equações que nos permitem passar das coordenadas polares às coordenadas
cartesianas são

θρ
θρ

seny
x

=

= cos
 ou

θθ
θθ

senfy
fx

)(
cos)(

=

=

. Podemos considerar essas

equações como equações paramétricas da curva C. Assim,

∫
=

=

+=
βθ

αθ

θθθθθ dsenffs .)´]).([()´]cos).([( 22 . Com alguns cálculos simples

(Exercício) podemos reduzir essa expressão do comprimento da curva C à

∫ +=
β

α

θθθ dffs .)]([)]´([ 22 ou, ainda mais simplesmente, ∫ +=
β

α

θρρ ds 22´)(

Exemplos e exercícios

(a) Calcular o comprimento da cardióide )cos1(2 θρ −=
(b) Calcule o comprimento da curva θρ sen= , piθ ≤≤0 em coordenadas

polares.
(c) Calcule o comprimento da cissóide θθρ senatg2= desde 0=θ a

3
piθ =

(d) Sejam a=1ρ e )cos1(2 θρ −= a , com a > 0. Calcular o comprimento do
arco de 2ρ interior à região limitada por 1ρ .