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Cálculo II 
Lista 08 \u2013 Produção - 2011 
 
 
Área de uma região em coordenadas polares 
 
Seja f uma função contínua não negativa no intervalo fechado [\u3b1, \u3b2]. Seja R a 
região limitada pela curva cuja equação é )(\u3b8\u3c1 f= e pelas retas \u3b8 = \u3b1 e \u3b8 = \u3b2. 
Então a região R é a região AOB apresentada na figura abaixo. 
Seja uma partição \u2206 de [\u3b1, \u3b2] definida por \u3b1 = \u3b81<\u3b82<....<\u3b8n-1<\u3b8n = \u3b2. 
Teremos, portanto, n subintervalos da forma [\u3b8i-1, \u3b8i] para i = 1, 2, 3, ..., n. 
Seja \u3bei um valor de \u3b8 no i-ésimo intervalo [\u3b8i-1, \u3b8i]. A medida em radianos do 
ângulo entre as retas \u3b8 = \u3b8i-1 e \u3b8 = \u3b8i é denotada por \u2206i\u3b8. O número de 
unidades quadradas de área de um setor circular de raio f(\u3bei) unidades e 
ângulo central medindo \u2206i\u3b8 radianos é dado por 
\u3b8\u3be iif \u22062]([2
1
, 
existindo um setor circular para cada um dos n subintervalos. A soma das 
medidas das áreas desses setores circulares é 
\u2211
=
\u2206
n
i 1
i
2
i )][f(2
1 \u3b8\u3be 
Do mesmo modo como procedemos quando trabalhando o conceito da Integral 
Definida, faremos a norma da partição \u2206 tender a zero (o que significa fazer o 
número de subintervalos tender a infinito). Desse processo, teremos 
\u222b=
\u3b2
\u3b1
\u3b8\u3b8 dfA 2)]([
2
1
, 
que é a fórmula para cálculo de áreas de regiões em coordenadas polares. 
 
 
 
Exercícios 
 
(1) Encontrar a área da região limitada pelo gráfico de \u3b8\u3c1 cos22 += 
 
(2) Calcular a área limitada pela cardióide )cos1(3 \u3b8\u3c1 \u2212= 
 
(3) Encontre a área da região interior à circunferência \u3b8\u3c1 sen3= e exterior à 
limaçon \u3b8\u3c1 sen\u2212= 2 
 
(4) Calcular o comprimento de uma circunferência de raio r > 0 dada na 
forma paramétrica. 
(5) Calcular o comprimento da hipociclóide 
tseny
tx
3
3cos
=
=
 para pi20 \u2264\u2264 t 
(6) Dadas as equações paramétricas do movimento de uma partícula no 
plano 
tseny
sentx
2
=
=
 para ],0[ pi\u2208t 
Pergunta-se: 
 
(a) Quais as posições da partícula nos instantes t = 0, t = 
2
pi
 e t = pi ? 
(b) Qual a trajetória descrita pela partícula? 
(c) Qual a distância percorrida pela partícula entre os instantes t = 0 e 
t = pi ? 
 
 
Comprimento de Curvas em Coordenadas Polares 
 
 
Considere )(\u3b8\u3c1 f= a equação do arco de uma curva C em coordenadas 
polares, com f contínua em \u3b2\u3b8\u3b1 \u2264\u2264 . 
 
Queremos calcular o comprimento s da curva de A (\u3b1, f(\u3b1)) até B(\u3b2, f(\u3b2)). 
 
As equações que nos permitem passar das coordenadas polares às coordenadas 
cartesianas são 
\u3b8\u3c1
\u3b8\u3c1
seny
x
=
= cos
 ou 
\u3b8\u3b8
\u3b8\u3b8
senfy
fx
)(
cos)(
=
=
. Podemos considerar essas 
equações como equações paramétricas da curva C. Assim, 
 
\u222b
=
=
+=
\u3b2\u3b8
\u3b1\u3b8
\u3b8\u3b8\u3b8\u3b8\u3b8 dsenffs .)´]).([()´]cos).([( 22 . Com alguns cálculos simples 
(Exercício) podemos reduzir essa expressão do comprimento da curva C à 
 
\u222b +=
\u3b2
\u3b1
\u3b8\u3b8\u3b8 dffs .)]([)]´([ 22 ou, ainda mais simplesmente, \u222b +=
\u3b2
\u3b1
\u3b8\u3c1\u3c1 ds 22´)( 
 
 
Exemplos e exercícios 
 
(a) Calcular o comprimento da cardióide )cos1(2 \u3b8\u3c1 \u2212= 
(b) Calcule o comprimento da curva \u3b8\u3c1 sen= , pi\u3b8 \u2264\u22640 em coordenadas 
polares. 
(c) Calcule o comprimento da cissóide \u3b8\u3b8\u3c1 senatg2= desde 0=\u3b8 a 
3
pi\u3b8 = 
(d) Sejam a=1\u3c1 e )cos1(2 \u3b8\u3c1 \u2212= a , com a > 0. Calcular o comprimento do 
arco de 2\u3c1 interior à região limitada por 1\u3c1 .