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Lista 7 (2011.2)

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de Matema´tica
Departamento de Me´todos Matema´ticos
Lista 7- Teoremas de Gauss, Stokes e Campos Conservativos
Parte 1: Teorema de Gauss
1. (Exerc´ıcio do livro de Ca´lculo, Vol.2, Stewart, quinta edic¸a˜o, sec¸a˜o 16.9, nu´mero 7)
Calcule
∫
S
~F .d~S, para fora da superf´ıcie da caixa delimitada pelos planos x = 0,
x = 1, y = 0, y = 1, z = 0 e z = 2, se ~F = ex sen yi+ ex cos yj + yz2k.
2. (Exerc´ıcio do livro de Ca´lculo, Vol.2, Stewart, quinta edic¸a˜o, sec¸a˜o 16.9, nu´mero
9)Calcule
∫
S
~F .d~S, para fora do so´lido limitado pelo cilindro y2 + z2 = 1 e pelos
planos x = −1 e x = 2, se ~F = 3xy2i+ xezj + z3k.
3. (Exerc´ıcio do livro de Ca´lculo, Vol.2, Stewart, quinta edic¸a˜o, sec¸a˜o 16.9, nu´mero 13)
Calcule
∫
S
~F .d~S, para fora da superf´ıcie do so´lido limitado pelo parabolo´ide z = x2+y2
e pelo plano z = 4, se ~F = (cos z + xy2)i+ xe−zj + ( sen y + x2z)k.
4. (Exerc´ıcio do livro de Ca´lculo, Vol.2, Stewart, quinta edic¸a˜o, sec¸a˜o 16.9, nu´mero
16) Calcule
∫
S
~F .d~S, para fora da superf´ıcie do so´lido limitado pelos hemisfe´rios
z =
√
4− x2 − y2, z =
√
1− x2 − y2 e pelo plano z = 0, se ~F = (x3 + y sen z)i +
(y3 + z senx)j + 3zk.
5. (Exerc´ıcios do livro texto -da Caˆndida e Diomara, sec¸a˜o 7.12) nu´meros 1 a 7, 11 a
13.
Parte 2: Teorema de Stokes
1. ((Exerc´ıcio do livro de Ca´lculo, Vol.2, Stewart, quinta edic¸a˜o, sec¸a˜o 16.8, nu´mero 7)
Calcule
∫
C
~F .d~l, com C orientada no sentido anti-hora´rio quando visto de cima, sendo
C o triaˆngulo de ve´rtices (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1) e ~F = (x+ y2, y + z2, z + x2).
2. ((Exerc´ıcio do livro de Ca´lculo, Vol.2, Stewart, quinta edic¸a˜o, sec¸a˜o 16.8, nu´mero
9) Calcule
∫
C
~F .d~l, com C orientada no sentido anti-hora´rio quando visto de cima,
sendo C a circunfereˆncia x2 + y2 = 16, no plano z = 5 e ~F = (yz, 2xz, exy).
3. (Exerc´ıcios do livro texto -da Caˆndida e Diomara, sec¸a˜o 7.10) nu´meros 1 a 8
Parte 3: Teoremas de Gauss/Stokes
1. ((Exerc´ıcio do livro de Ca´lculo, Vol.2, Stewart, quinta edic¸a˜o, sec¸a˜o 16.8, nu´mero 2)
Calcule
∫
S
~
rot ~F . ~dS, sendo S a parte do parabolo´ide z = 9− x2 − y2, que esta´ acima
do plano z − 5, orientada para cima, e ~F = (yz, xz, xy)
2. ((Exerc´ıcio do livro de Ca´lculo, Vol.2, Stewart, quinta edic¸a˜o, sec¸a˜o 16.8, nu´mero 3)
Calcule
∫
S
~
rot ~F . ~dS, sendo S o hemisfe´rio x2 + y2 + z2 = 4, z ≥ 0, orientada para
cima, e ~F = (x2eyz, y2exz, z2exy)
3. ((Exerc´ıcio do livro de Ca´lculo, Vol.2, Stewart, quinta edic¸a˜o, sec¸a˜o 16.8, nu´mero 4)
Calcule
∫
S
~
rot ~F . ~dS, sendo S a parte do cone y2 = x2 + z2, que esta´ entre os planos
y = 0 e y = 3, orientada na direc¸a˜o positiva do eixo y, se ~F = (x2y3z, senxyz, xyz).
4. (Exerc´ıcios do livro texto da Caˆndida-Diomara, sec¸a˜o 7.10) nu´meros 9,10,11
5. (Exerc´ıcios do livro texto da Caˆndida-Diomara, sec¸a˜o 7.12) nu´meros 8,9,10
Parte 4: Integral de Linha Vetorial, Teorema de Stokes e Campos Conservativos
1. (Exerc´ıcio do livro Ca´lculo, Vol. 2, Stewart, quinta edic¸a˜o, sec¸a˜o 16.10, nu´mero 11)
Mostre que ~F = ((1 + xy)exy, ey + x2exy) e´ conservativo em IR2 e enta˜o determine
uma func¸a˜o potencial.
2. (Exerc´ıcio do livro Ca´lculo, Vol. 2, Stewart, quinta edic¸a˜o, sec¸a˜o 16.10, nu´mero 12)
Mostre que ~F = ( sen y, x cos y,− sen z) e´ conservativo em IR3 e enta˜o determine uma
func¸a˜o potencial.
3. (Exerc´ıcio do livro Ca´lculo, Vol. 2, Stewart, quinta edic¸a˜o, sec¸a˜o 16.10, nu´mero 13)
Mostre que ~F = (4x3y2 − 2xy3, 2x4y − 3x2y2 + 4y3) e´ conservativo em IR2 e use
para calcular intC ~F ~dl, onde C tem parametrizac¸a˜o σ(t) = (t + sen pit, 2t + cos pit),
0 ≤ t ≤ 1.
4. (Exerc´ıcio do livro Ca´lculo, Vol. 2, Stewart, quinta edic¸a˜o, sec¸a˜o 16.10, nu´mero 14)
Mostre que ~F = (ey, xey+ ez, yez) e´ conservativo em IR3 e use para calcular intC ~F ~dl,
onde C e´ a reta que liga os pontos (0, 2, 0) a (4, 0, 3).
5. (Exerc´ıcios do livro texto da Caˆndida-Diomara, sec¸a˜o 7.10) nu´meros 12 a 19.
Respostas da Parte 1:
1. 17/2
2. 11
12
− 4
e
3. 32pi/3
4. −178pi
5
Respostas da Parte 2:
1. −1
2. 80pi
Respostas da Parte 3:
1. 0
2. 0
3. −2187pi
4
Respostas da Parte 4:
1. U = ey + xexy
2. U = x sen y + cos z
3. 0
4. 2