baricentro
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Unisanta - Mecânica Geral - Prof. Damin - Aula n.º_____ - Data ___/____/______

Página nº 43

CENTRO DE MASSA - CENTRÓIDE.
Beer e Johnston, 1995

Consideremos, como na figura abaixo, uma placa horizontal. Podemos dividir
essa placa em i pequenos elementos. As coordenadas do primeiro elemento são denominadas x1
e y1, as do segundo elemento x2 e y2 etc.

Sobre cada elemento age a ação da gravidade, obtemos assim as forças peso
∆P1, ∆P2 e ∆Pi, respectivamente.

Essas forças estão orientadas em direção ao centro da terra; porém, para todas
finalidades práticas, elas podem ser consideradas paralelas. Sua resultante é uma única força
na mesma direção. O módulo P dessa força é obtido pela adição dos módulos dos pesos
elementares.

ΣFz → P = ∆P1+∆P2+...∆Pi ou seja:

ΣΣFz →→ P = ∫∫dp
PPZ

X

Y

GG

x

yo

PiPiZ

X

Y

xi

yio

Momento Axial no eixo Y: ΣΣMy = x.P = ΣΣxi.∆∆Pi

Momento Axial no eixo X: ΣΣMx = y.P = ΣΣyi.∆∆Pi

Para obtermos as coordenadas do ponto G (baricentro), onde a força P
deve ser aplicada, temos:

ΣΣMy = xg.P = x1.∆∆P1 + x2.∆∆P2 + xi.∆∆Pi

ΣΣMx = yg.P = y1.∆∆P1 + y2.∆∆P2 + yi.∆∆Pi

Logo G, tem as coordenadas xg e yg, que são obtidas da forma:

G = (xg ; yg )
xg = ∫∫xdp/∫∫dp yg = ∫∫ydp/∫∫dp

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Exemplo 13:
Uma laje de 5 x 7,5 m suporta cinco colunas que exercem sobre ela as
forças indicadas na figura abaixo. Determine o módulo e o ponto de
aplicação da única força equivalente às forças dadas

1 m

4 m 2 m

2,5 m

0,5 m
1,5 m

0,5 m

4 N

3 N
7,5 N

6 N

3,5 N

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Baricentro - Centro De Gravidade de Figuras Planas:
Analogamente podemos usar o mesmo raciocínio para superfícies planas.

Trocando a força aplicada pela área, temos:
(Murat, S.D.)

Nomenclatura utilizada: (A.B.N.T.)
Baricentro ou centro de gravidade = G.
Eixos baricêntricos = XG e YG.
Momentos Estáticos = Msx e Msy.
Pontos do baricentro = xg e yg.

Área da Figura Plana = A
Admitindo a figura plana (acima) posicionada em relação a um par de eixos de referência (X e
Y), pode-se definir seu baricentro, de coordenadas (x ; y), como sendo o único ponto da figura
plana, que obedece simultaneamente a duas condições:

xg = Msy/A

yg = Msx/A
Da definição acima, pode-se concluir, qualquer que seja a figura plana:

Msy = xg.A

Msx = yg.A
Se a figura plana for composta por diversas figuras básicas, o resultado dos momentos
estáticos são a soma algébrica dos momentos das figuras componentes, bem como, a área total
da figura composta é a soma das áreas das figuras componentes.

yg = yg1.A1+ yg2.A2+ ygi.Ai+ /A1+ A2+ Ai

xg = xg1.A1+ xg2.A2+ xgi.Ai+ /A1+ A2+ Ai
Nessas condições, qualquer que seja a figura plana, o cálculo de G = (xg ; yg), será:

yg = ΣΣMsx(i)/ΣΣA(i)
xg = ΣΣMsy(i)/ΣΣA(i)

A
dx

dy
dA=dx.dyxgi

ygi

Y

XO

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Demonstração, pela definição, do Cálculo do Baricentro:

Para um Triângulo:
Seja o triângulo retângulo, representado na figura ao lado
Calcularemos sua área e momento estático, bem como,

seu baricentro.

A variação da figura em relação aos eixos serão:

0 < X < b - b.y/a
0 < Y < a

Cálculo da Área:
Área = ∫∫∫∫dx.dy = ∫∫dx. ∫∫dy = ∫∫(b - b.y/a)dy = b.∫∫dy - ∫∫b.y.dy/a = b.y(0 →→ a) - b.y2/2.a(0 →→ a)
Área = b.a - b.a/2 =
Área = b.a/2

Da definição de Momento Estático temos: Msy = ∫∫( A) x.dA Msx= ∫∫( A) y.dA
Logo, os pontos de baricentro serão: G = (xg , yg).
xg = Msy/A = (2/b.a)∫∫x.dx.dy = (2/b.a)∫x.dx.∫dy = (2/b.a)∫ (b-b.y/a)2/2.dy
xg = (2/b.a)∫ (b2-2.b2.y/a +(b.y/2)2)/2.dy = (b2.a - b2.a + b2.a/3)/b.a = b2.a/3.b.a =
xg = b/3
yg = Msx/A = (2/b.a)∫∫y.dy.dx = (2/b.a)∫dx.∫y.dy = (2/b.a)∫(b.y - b.y2/a).dy
yg = (2/b.a).[(b.y2/2) - (b.y3/3.a)]0→a = (2/b.a).[(b.a2/2) - (b.a3/3.a)] =
yg = (2.b.a2/2.b.a) - (b.a2.2/3.b.a) = a - 2.a/3
yg = a/3

Y

b

a

dx

dy

X

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BARICENTROS DE ALGUMAS FIGURAS BÁSICAS

Figuras Áreas Baricentros
Retângulo

A = B.H G = (B/2 ; H/2)

Triângulo Retângulo

A = (B.H)/2 G = (B/3 ; H/3)

Quarto de Círculo

A = (pipi.R2)/4 G = (4.R/3.pipi ; 4.R/3.pipi)

Semi Círculo

A = (pipi.R2)/2 G = (0 ; 4.R/3.pipi)

Círculo

A = pipi.R2 G = (0 ; 0)

(Miranda,2000)

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Determinar o Baricentro das seguintes Figuras Compostas: (Almeida, 1993).

Exemplo 14: (Resolvido)

Baricentro:

Área da figura composta = 28,27 +(13,5).2 =
55,27 cm2 ou 55,27 x 10-4 m2.

G da figura composta:
xg = 28,27.(-8/pi) + (13,5).(3).2/ 55,27 = 0,16
cm ou 0,16 x 10-2 m

yg = 28,27.(8/pi) + 13,5.(4) + 13,5.(2)/ 55,27
= 2,77 x 10-2 m ou 2,77 cm

Preliminares:
Separar a figura principal (composta) em
figuras planas simples.
Calcular as áreas e posição dos baricentros de
cada figuras em relação aos eixos de
referência X e Y da figura principal.

Quarto de Círculo:
Área = pi.R2/4 = 28,27 x 10-4 m2
ou 28,27 cm2
xg = -4.R/3.pi = -8/pi
yg = 4.R/3.pi = 8/pi

Triângulo Superior:
Área = B.H/2 = 9.3/2 = 13,5 cm2
xg = B/3 = 3 x 10-2 m ou 3 cm
yg = (H/3) + 3 = (3/3) + 3 = 4 cm.

Triângulo Inferior:
Área = 13,5 cm2 ou 13,5 x 10-4 m2
xg = 3 cm
yg = 2.H/3 = 2.3/3 = 2 cm 0u 2 x 10-2 m

Exercício 13: (Resolver em Aula)

Baricentro:

Preliminares:

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Exercícios Propostos: (Para estudo).
Calcular, para as figuras planas compostas abaixo, o baricentro posicionando os eixos nas
figuras:

Exercício 14:
Resposta: G = (-0,69; 1,37) x 10-2 m
Exercício 15:
Resposta: G = (1,5; -1,91) cm
Exercício 16:
Resposta: G = (-0,137; -1,137) cm
Exercício 17:
Resposta: G = (1,53; 1,24) x 10-2 m

Exercício 14:: Exercício 15: (Almeida, 1993)

Exercício 16: Exercício 17: (Murat, S.D.)