baricentro
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Unisanta - Mecânica Geral - Prof. Damin - Aula n.º_____ - Data ___/____/______
Página nº 43
CENTRO DE MASSA - CENTRÓIDE.
Beer e Johnston, 1995
Consideremos, como na figura abaixo, uma placa horizontal. Podemos dividir
essa placa em i pequenos elementos. As coordenadas do primeiro elemento são denominadas x1
e y1, as do segundo elemento x2 e y2 etc.
Sobre cada elemento age a ação da gravidade, obtemos assim as forças peso
\u2206P1, \u2206P2 e \u2206Pi, respectivamente.
Essas forças estão orientadas em direção ao centro da terra; porém, para todas
finalidades práticas, elas podem ser consideradas paralelas. Sua resultante é uma única força
na mesma direção. O módulo P dessa força é obtido pela adição dos módulos dos pesos
elementares.
\u3a3Fz \u2192 P = \u2206P1+\u2206P2+...\u2206Pi ou seja:
\u3a3\u3a3Fz \u2192\u2192 P = \u222b\u222bdp
PPZ
X
Y
GG
x
yo
PiPiZ
X
Y
xi
yio
Momento Axial no eixo Y: \u3a3\u3a3My = x.P = \u3a3\u3a3xi.\u2206\u2206Pi
Momento Axial no eixo X: \u3a3\u3a3Mx = y.P = \u3a3\u3a3yi.\u2206\u2206Pi
Para obtermos as coordenadas do ponto G (baricentro), onde a força P
deve ser aplicada, temos:
\u3a3\u3a3My = xg.P = x1.\u2206\u2206P1 + x2.\u2206\u2206P2 + xi.\u2206\u2206Pi
\u3a3\u3a3Mx = yg.P = y1.\u2206\u2206P1 + y2.\u2206\u2206P2 + yi.\u2206\u2206Pi
Logo G, tem as coordenadas xg e yg, que são obtidas da forma:
G = (xg ; yg )
xg = \u222b\u222bxdp/\u222b\u222bdp yg = \u222b\u222bydp/\u222b\u222bdp
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Exemplo 13:
Uma laje de 5 x 7,5 m suporta cinco colunas que exercem sobre ela as
forças indicadas na figura abaixo. Determine o módulo e o ponto de
aplicação da única força equivalente às forças dadas
1 m
4 m 2 m
2,5 m
0,5 m
1,5 m
0,5 m
4 N
3 N
7,5 N
6 N
3,5 N
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Baricentro - Centro De Gravidade de Figuras Planas:
Analogamente podemos usar o mesmo raciocínio para superfícies planas.
Trocando a força aplicada pela área, temos:
(Murat, S.D.)
Nomenclatura utilizada: (A.B.N.T.)
Baricentro ou centro de gravidade = G.
Eixos baricêntricos = XG e YG.
Momentos Estáticos = Msx e Msy.
Pontos do baricentro = xg e yg.
Área da Figura Plana = A
Admitindo a figura plana (acima) posicionada em relação a um par de eixos de referência (X e
Y), pode-se definir seu baricentro, de coordenadas (x ; y), como sendo o único ponto da figura
plana, que obedece simultaneamente a duas condições:
xg = Msy/A
yg = Msx/A
Da definição acima, pode-se concluir, qualquer que seja a figura plana:
Msy = xg.A
Msx = yg.A
Se a figura plana for composta por diversas figuras básicas, o resultado dos momentos
estáticos são a soma algébrica dos momentos das figuras componentes, bem como, a área total
da figura composta é a soma das áreas das figuras componentes.
yg = yg1.A1+ yg2.A2+ ygi.Ai+ /A1+ A2+ Ai
xg = xg1.A1+ xg2.A2+ xgi.Ai+ /A1+ A2+ Ai
Nessas condições, qualquer que seja a figura plana, o cálculo de G = (xg ; yg), será:
yg = \u3a3\u3a3Msx(i)/\u3a3\u3a3A(i)
xg = \u3a3\u3a3Msy(i)/\u3a3\u3a3A(i)
A
dx
dy
dA=dx.dyxgi
ygi
Y
XO
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Demonstração, pela definição, do Cálculo do Baricentro:
Para um Triângulo:
Seja o triângulo retângulo, representado na figura ao lado
Calcularemos sua área e momento estático, bem como,
seu baricentro.
A variação da figura em relação aos eixos serão:
0 < X < b - b.y/a
0 < Y < a
Cálculo da Área:
Área = \u222b\u222b\u222b\u222bdx.dy = \u222b\u222bdx. \u222b\u222bdy = \u222b\u222b(b - b.y/a)dy = b.\u222b\u222bdy - \u222b\u222bb.y.dy/a = b.y(0 \u2192\u2192 a) - b.y2/2.a(0 \u2192\u2192 a)
Área = b.a - b.a/2 =
Área = b.a/2
Da definição de Momento Estático temos: Msy = \u222b\u222b( A) x.dA Msx= \u222b\u222b( A) y.dA
Logo, os pontos de baricentro serão: G = (xg , yg).
xg = Msy/A = (2/b.a)\u222b\u222bx.dx.dy = (2/b.a)\u222bx.dx.\u222bdy = (2/b.a)\u222b (b-b.y/a)2/2.dy
xg = (2/b.a)\u222b (b2-2.b2.y/a +(b.y/2)2)/2.dy = (b2.a - b2.a + b2.a/3)/b.a = b2.a/3.b.a =
xg = b/3
yg = Msx/A = (2/b.a)\u222b\u222by.dy.dx = (2/b.a)\u222bdx.\u222by.dy = (2/b.a)\u222b(b.y - b.y2/a).dy
yg = (2/b.a).[(b.y2/2) - (b.y3/3.a)]0\u2192a = (2/b.a).[(b.a2/2) - (b.a3/3.a)] =
yg = (2.b.a2/2.b.a) - (b.a2.2/3.b.a) = a - 2.a/3
yg = a/3
Y
b
a
dx
dy
X
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BARICENTROS DE ALGUMAS FIGURAS BÁSICAS
Figuras Áreas Baricentros
Retângulo
A = B.H G = (B/2 ; H/2)
Triângulo Retângulo
A = (B.H)/2 G = (B/3 ; H/3)
Quarto de Círculo
A = (pipi.R2)/4 G = (4.R/3.pipi ; 4.R/3.pipi)
Semi Círculo
A = (pipi.R2)/2 G = (0 ; 4.R/3.pipi)
Círculo
A = pipi.R2 G = (0 ; 0)
(Miranda,2000)
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Determinar o Baricentro das seguintes Figuras Compostas: (Almeida, 1993).
Exemplo 14: (Resolvido)
Baricentro:
Área da figura composta = 28,27 +(13,5).2 =
55,27 cm2 ou 55,27 x 10-4 m2.
G da figura composta:
xg = 28,27.(-8/pi) + (13,5).(3).2/ 55,27 = 0,16
cm ou 0,16 x 10-2 m
yg = 28,27.(8/pi) + 13,5.(4) + 13,5.(2)/ 55,27
= 2,77 x 10-2 m ou 2,77 cm
Preliminares:
Separar a figura principal (composta) em
figuras planas simples.
Calcular as áreas e posição dos baricentros de
cada figuras em relação aos eixos de
referência X e Y da figura principal.
Quarto de Círculo:
Área = pi.R2/4 = 28,27 x 10-4 m2
ou 28,27 cm2
xg = -4.R/3.pi = -8/pi
yg = 4.R/3.pi = 8/pi
Triângulo Superior:
Área = B.H/2 = 9.3/2 = 13,5 cm2
xg = B/3 = 3 x 10-2 m ou 3 cm
yg = (H/3) + 3 = (3/3) + 3 = 4 cm.
Triângulo Inferior:
Área = 13,5 cm2 ou 13,5 x 10-4 m2
xg = 3 cm
yg = 2.H/3 = 2.3/3 = 2 cm 0u 2 x 10-2 m
Exercício 13: (Resolver em Aula)
Baricentro:
Preliminares:
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Exercícios Propostos: (Para estudo).
Calcular, para as figuras planas compostas abaixo, o baricentro posicionando os eixos nas
figuras:
Exercício 14:
Resposta: G = (-0,69; 1,37) x 10-2 m
Exercício 15:
Resposta: G = (1,5; -1,91) cm
Exercício 16:
Resposta: G = (-0,137; -1,137) cm
Exercício 17:
Resposta: G = (1,53; 1,24) x 10-2 m
Exercício 14:: Exercício 15: (Almeida, 1993)
Exercício 16: Exercício 17: (Murat, S.D.)