Aula 02 de Resistência I - Prop Geom 2

Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES 
Aula 02 
continuação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.1. O que é a Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
I.2. Elementos Básicos 
 I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
 I.2.2. Esforços nas Estruturas 
 I.2.3. Características Mecânicas dos Materiais 
I.3. Problemas e Métodos 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
Rotação: 
x1 
x1 dx 
dy 
y1 
dydxdA .\uf03d
\uf072
x2 
y2 
q 
x2 
y2 
y1 
qq sencos 112 yxx \uf02b\uf03d
qq sencos 112 xyy \uf02d\uf03d
\uf0f2\uf03d Ax dAyS 22
\uf028 \uf029\uf0f2 \uf02d\uf03d Ax dAxyS qq sencos 112
qq sencos
112 yxx
SSS \uf02d\uf03d
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
Rotação: 
x1 
x1 dx 
dy 
y1 
dydxdA .\uf03d
\uf072
x2 
y2 
q 
x2 
y2 
y1 
qq sencos 112 yxx \uf02b\uf03d
qq sencos 112 xyy \uf02d\uf03d
qq sencos
112 yxx
SSS \uf02d\uf03d
qq sencos
112 xyy
SSS \uf02b\uf03d
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
Rotação: 
x1 
x1 dx 
dy 
y1 
dydxdA .\uf03d
\uf072
x2 
y2 
q 
x2 
y2 
y1 
\uf0f2\uf03d Ax dAyI
2
22
\uf028 \uf029\uf0f2 \uf02d\uf03d Ax dAxyI
2
11 sencos2 qq
qq
qq
cos.sen2
sencos
11
112
22
yx
yxx
I
III
\uf02d
\uf02d\uf02b\uf03d
qq sencos 112 yxx \uf02b\uf03d
qq sencos 112 xyy \uf02d\uf03d
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
Rotação: 
x1 
x1 dx 
dy 
y1 
dydxdA .\uf03d
\uf072
x2 
y2 
q 
x2 
y2 
y1 
qqqq cossen2sencos
11112
22
yxyxx IIII \uf02d\uf02b\uf03d
qqqq cossen2sencos
11112
22
yxxyy IIII \uf02b\uf02b\uf03d
\uf028 \uf029 \uf028 \uf029 qqqq cossensencos
111122
22
yxyxyx IIII \uf02d\uf02b\uf02d\uf03d
qq sencos 112 yxx \uf02b\uf03d
qq sencos 112 xyy \uf02d\uf03d
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
Rotação: 
\uf0f2\uf03d Ap dAI
2\uf072
qq sencos 112 yxx \uf02b\uf03d
qq sencos 112 xyy \uf02d\uf03d
2
2
2
2
2
1
2
1
2 yxyx \uf02b\uf03d\uf02b\uf03d\uf072
x1 
x1 dx 
dy 
y1 
dydxdA .\uf03d
\uf072
x2 
y2 
q 
x2 
y2 
y1 
2211 yxyxp
IIIII \uf02b\uf03d\uf02b\uf03d
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
Rotação: 
x1 
x1 dx 
dy 
y1 
dydxdA .\uf03d
\uf072
x2 
y2 
q 
x2 
y2 
y1 
qqq cos.sen22sen \uf03d
qqq 22 sencos2cos \uf02d\uf03d
1cossen 22 \uf03d\uf02b qq
2
2cos1
sen2
qq \uf02d\uf03d
2
2cos1
cos2
qq \uf02b\uf03d
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
Rotação: 
x1 
x1 dx 
dy 
y1 
dydxdA .\uf03d
\uf072
x2 
y2 
q 
x2 
y2 
y1 
qq 2sen2cos
22 11
1111
2 yx
yxyx
x I
IIII
I \uf02d\uf0f7\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6 \uf02d
\uf02b
\uf02b
\uf03d
qq 2sen
2
2cos 11
1122 \uf0f7\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6 \uf02d
\uf02b\uf03d
yx
yxyx
II
II
qq 2sen2cos
22 11
1111
2 yx
yxyx
y I
IIII
I \uf02b\uf0f7\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6 \uf02d
\uf02d
\uf02b
\uf03d
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
Rotação: 
x1 
x1 dx 
dy 
y1 
dydxdA .\uf03d
\uf072
x2 
y2 
q 
x2 
y2 
y1 
2211 yxyx
IIII \uf02b\uf03d\uf02b
Como os momentos de inércia são 
sempre positivos, haverá, para 
cada origem, uma posição dos 
eixos (x2,y2) tal que Ix2
=Imáx e 
Iy2
=Imin ou vice-versa. 
Estes são os Eixos Principais de 
Inércia para esta origem. 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
Determinação de Imáx e Imin: 
x1 
x1 dx 
dy 
y1 
dydxdA .\uf03d
\uf072
x2 
y2 
q 
x2 
y2 
y1 
\uf028 \uf029 02cos22sen
1111
\uf03d\uf02d\uf02d\uf02d qq yxyx III
11
11
2
2tan
yx
yx
II
I
\uf02d
\uf02d
\uf03dq
02 \uf03d
qd
dIx
direções 
dos eixos 
principais \uf0f7
\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6
\uf02d
\uf02d
\uf03d\uf03d
11
11
2
arctan
2
1
yx
yx
p
II
I
qq
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
Determinação de Imáx e Imin: 
x1 
x1 dx 
dy 
y1 
dydxdA .\uf03d
\uf072
x2 
y2 
q 
x2 
y2 
y1 
e 
2
2tan
11
11
yx
yx
p
II
I
\uf02d
\uf02d
\uf03dq
\uf028 \uf029 22
1111
11
4
2
2sen
yxyx
yx
p
III
I
\uf02b\uf02d
\uf0b1
\uf03dq
\uf028 \uf029
\uf028 \uf029 22
1111
11
4
2cos
yxyx
yx
p
III
II
\uf02b\uf02d
\uf02d
\uf03d
\uf06d
q
.12cos2sen 22 \uf03d\uf02b pp qq
Logo: 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
Determinação de Imáx e Imin: 
x1 
x1 dx 
dy 
y1 
dydxdA .\uf03d
\uf072
x2 
y2 
q 
x2 
y2 
y1 
2
2
,,
11
1111
22
22
yx
yxyx
minmáxyx
I
IIII
II
\uf02b\uf0f7\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6 \uf02d
\uf0b1
\uf02b
\uf03d
\uf03d\uf03d
0
22
\uf03dyxI
Substituindo sen2qp e cos2qp nas 
expressões dos momentos de 
inércia, tem-se: 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
Determinação de Ixy,máx e Ixy,min: 
x1 
x1 dx 
dy 
y1 
dydxdA .\uf03d
\uf072
x2 
y2 
q 
x2 
y2 
y1 
\uf028 \uf029 02cos2sen2
1111
\uf03d\uf02d\uf02b\uf02d qq yxyx III
11
11
2
2tan
yx
yx
I
II \uf02d
\uf03dq
022 \uf03d
qd
dI yx
\uf0f7
\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6 \uf02d
\uf03d\uf03d
11
11
2
arctan
2
1
yx
yx
c
I
II
qq
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
Determinação de Ixy,máx e Ixy,min: 
x1 
x1 dx 
dy 
y1 
dydxdA .\uf03d
\uf072
x2 
y2 
q 
x2 
y2 
y1 
e 
2
2tan
11
11
yx
yx
c
I
II \uf02d
\uf03dq
.12cos2sen 22 \uf03d\uf02b cc qq
\uf028 \uf029
\uf028 \uf029 22
1111
11
4
2sen
yxyx
yx
c
III
II
\uf02b\uf02d
\uf02d\uf0b1
\uf03dq
\uf028 \uf029 22
1111
11
4
2
2cos
yxyx
yx
c
III
I
\uf02b\uf02d
\uf0b1
\uf03dq
Logo: 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
Determinação de Ixy,máx e Ixy,min: 
x1 
x1 dx 
dy 
y1 
dydxdA .\uf03d
\uf072
x2 
y2 
q 
x2 
y2 
y1 
méd
pyx
yx I
III
I \uf03d\uf03d
\uf02b
\uf03d
22
11
22 ,
Substituindo sen2qc e cos2qc nas 
expressões dos momentos de 
inércia, tem-se: 
2
2
11
11
22 2
yx
yx
xyyx I
II
II
máx,min
\uf02b\uf0f7\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6 \uf02d
\uf0b1\uf03d\uf03d
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
Círculo de Mohr: 
qq 2sen2cos
22 11
1111
2 yx
yxyx
x I
IIII
I \uf02d\uf0f7\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6 \uf02d
\uf02b
\uf02b
\uf03d
qq 2sen
2
2cos 11
1122 \uf0f7\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6 \uf02d
\uf02b\uf03d
yx
yxyx
II
II
qq 2sen2cos
22 11
1111
2 yx
yxyx
y I
IIII
I \uf02b\uf0f7\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6 \uf02d
\uf02d
\uf02b
\uf03d
Se (x1,y1) são os eixos principais, Ix1y1= 0 e q = \uf02dqp 
p
minmáxminmáx
x