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Aula 02 de Resistência I - Prop Geom 2

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Aula 02 de Resistência I - Prop Geom 2

Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Aula 02 
continuação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.1. O que é a Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
I.2. Elementos Básicos 
 I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
 I.2.2. Esforços nas Estruturas 
 I.2.3. Características Mecânicas dos Materiais 
I.3. Problemas e Métodos 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
Rotação: 
x1 
x1 dx 
dy 
y1 
dydxdA .

x2 
y2 
q 
x2 
y2 
y1 
qq sencos 112 yxx 
qq sencos 112 xyy 
 Ax dAyS 22
   Ax dAxyS qq sencos 112
qq sencos
112 yxx
SSS 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
Rotação: 
x1 
x1 dx 
dy 
y1 
dydxdA .

x2 
y2 
q 
x2 
y2 
y1 
qq sencos 112 yxx 
qq sencos 112 xyy 
qq sencos
112 yxx
SSS 
qq sencos
112 xyy
SSS 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
Rotação: 
x1 
x1 dx 
dy 
y1 
dydxdA .

x2 
y2 
q 
x2 
y2 
y1 
 Ax dAyI
2
22
   Ax dAxyI
2
11 sencos2 qq
qq
qq
cos.sen2
sencos
11
112
22
yx
yxx
I
III


qq sencos 112 yxx 
qq sencos 112 xyy 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
Rotação: 
x1 
x1 dx 
dy 
y1 
dydxdA .

x2 
y2 
q 
x2 
y2 
y1 
qqqq cossen2sencos
11112
22
yxyxx IIII 
qqqq cossen2sencos
11112
22
yxxyy IIII 
    qqqq cossensencos
111122
22
yxyxyx IIII 
qq sencos 112 yxx 
qq sencos 112 xyy 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
Rotação: 
 Ap dAI
2
qq sencos 112 yxx 
qq sencos 112 xyy 
2
2
2
2
2
1
2
1
2 yxyx 
x1 
x1 dx 
dy 
y1 
dydxdA .

x2 
y2 
q 
x2 
y2 
y1 
2211 yxyxp
IIIII 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
Rotação: 
x1 
x1 dx 
dy 
y1 
dydxdA .

x2 
y2 
q 
x2 
y2 
y1 
qqq cos.sen22sen 
qqq 22 sencos2cos 
1cossen 22  qq
2
2cos1
sen2
qq 
2
2cos1
cos2
qq 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
Rotação: 
x1 
x1 dx 
dy 
y1 
dydxdA .

x2 
y2 
q 
x2 
y2 
y1 
qq 2sen2cos
22 11
1111
2 yx
yxyx
x I
IIII
I 




 



qq 2sen
2
2cos 11
1122 




 

yx
yxyx
II
II
qq 2sen2cos
22 11
1111
2 yx
yxyx
y I
IIII
I 




 



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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
Rotação: 
x1 
x1 dx 
dy 
y1 
dydxdA .

x2 
y2 
q 
x2 
y2 
y1 
2211 yxyx
IIII 
Como os momentos de inércia são 
sempre positivos, haverá, para 
cada origem, uma posição dos 
eixos (x2,y2) tal que Ix2
=Imáx e 
Iy2
=Imin ou vice-versa. 
Estes são os Eixos Principais de 
Inércia para esta origem. 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
Determinação de Imáx e Imin: 
x1 
x1 dx 
dy 
y1 
dydxdA .

x2 
y2 
q 
x2 
y2 
y1 
  02cos22sen
1111
 qq yxyx III
11
11
2
2tan
yx
yx
II
I


q
02 
qd
dIx
direções 
dos eixos 
principais 










11
11
2
arctan
2
1
yx
yx
p
II
I
qq
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
Determinação de Imáx e Imin: 
x1 
x1 dx 
dy 
y1 
dydxdA .

x2 
y2 
q 
x2 
y2 
y1 
e 
2
2tan
11
11
yx
yx
p
II
I


q
  22
1111
11
4
2
2sen
yxyx
yx
p
III
I


q
 
  22
1111
11
4
2cos
yxyx
yx
p
III
II




q
.12cos2sen 22  pp qq
Logo: 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
Determinação de Imáx e Imin: 
x1 
x1 dx 
dy 
y1 
dydxdA .

x2 
y2 
q 
x2 
y2 
y1 
2
2
,,
11
1111
22
22
yx
yxyx
minmáxyx
I
IIII
II





 




0
22
yxI
Substituindo sen2qp e cos2qp nas 
expressões dos momentos de 
inércia, tem-se: 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
Determinação de Ixy,máx e Ixy,min: 
x1 
x1 dx 
dy 
y1 
dydxdA .

x2 
y2 
q 
x2 
y2 
y1 
  02cos2sen2
1111
 qq yxyx III
11
11
2
2tan
yx
yx
I
II 
q
022 
qd
dI yx







 

11
11
2
arctan
2
1
yx
yx
c
I
II
qq
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
Determinação de Ixy,máx e Ixy,min: 
x1 
x1 dx 
dy 
y1 
dydxdA .

x2 
y2 
q 
x2 
y2 
y1 
e 
2
2tan
11
11
yx
yx
c
I
II 
q
.12cos2sen 22  cc qq
 
  22
1111
11
4
2sen
yxyx
yx
c
III
II


q
  22
1111
11
4
2
2cos
yxyx
yx
c
III
I


q
Logo: 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
Determinação de Ixy,máx e Ixy,min: 
x1 
x1 dx 
dy 
y1 
dydxdA .

x2 
y2 
q 
x2 
y2 
y1 
méd
pyx
yx I
III
I 


22
11
22 ,
Substituindo sen2qc e cos2qc nas 
expressões dos momentos de 
inércia, tem-se: 
2
2
11
11
22 2
yx
yx
xyyx I
II
II
máx,min





 

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I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
Círculo de Mohr: 
qq 2sen2cos
22 11
1111
2 yx
yxyx
x I
IIII
I 




 



qq 2sen
2
2cos 11
1122 




 

yx
yxyx
II
II
qq 2sen2cos
22 11
1111
2 yx
yxyx
y I
IIII
I 




 



Se (x1,y1) são os eixos principais, Ix1y1= 0 e q = qp 
p
minmáxminmáx
x