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Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Aula 02 continuação Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.1. O que é a Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis I.2. Elementos Básicos I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas I.2.2. Esforços nas Estruturas I.2.3. Características Mecânicas dos Materiais I.3. Problemas e Métodos Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Translação e Rotação de Eixos Rotação: x1 x1 dx dy y1 dydxdA . x2 y2 q x2 y2 y1 qq sencos 112 yxx qq sencos 112 xyy Ax dAyS 22 Ax dAxyS qq sencos 112 qq sencos 112 yxx SSS Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Translação e Rotação de Eixos Rotação: x1 x1 dx dy y1 dydxdA . x2 y2 q x2 y2 y1 qq sencos 112 yxx qq sencos 112 xyy qq sencos 112 yxx SSS qq sencos 112 xyy SSS Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Translação e Rotação de Eixos Rotação: x1 x1 dx dy y1 dydxdA . x2 y2 q x2 y2 y1 Ax dAyI 2 22 Ax dAxyI 2 11 sencos2 qq qq qq cos.sen2 sencos 11 112 22 yx yxx I III qq sencos 112 yxx qq sencos 112 xyy Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Translação e Rotação de Eixos Rotação: x1 x1 dx dy y1 dydxdA . x2 y2 q x2 y2 y1 qqqq cossen2sencos 11112 22 yxyxx IIII qqqq cossen2sencos 11112 22 yxxyy IIII qqqq cossensencos 111122 22 yxyxyx IIII qq sencos 112 yxx qq sencos 112 xyy Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Translação e Rotação de Eixos Rotação: Ap dAI 2 qq sencos 112 yxx qq sencos 112 xyy 2 2 2 2 2 1 2 1 2 yxyx x1 x1 dx dy y1 dydxdA . x2 y2 q x2 y2 y1 2211 yxyxp IIIII Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Translação e Rotação de Eixos Rotação: x1 x1 dx dy y1 dydxdA . x2 y2 q x2 y2 y1 qqq cos.sen22sen qqq 22 sencos2cos 1cossen 22 qq 2 2cos1 sen2 qq 2 2cos1 cos2 qq Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Translação e Rotação de Eixos Rotação: x1 x1 dx dy y1 dydxdA . x2 y2 q x2 y2 y1 qq 2sen2cos 22 11 1111 2 yx yxyx x I IIII I qq 2sen 2 2cos 11 1122 yx yxyx II II qq 2sen2cos 22 11 1111 2 yx yxyx y I IIII I Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Translação e Rotação de Eixos Rotação: x1 x1 dx dy y1 dydxdA . x2 y2 q x2 y2 y1 2211 yxyx IIII Como os momentos de inércia são sempre positivos, haverá, para cada origem, uma posição dos eixos (x2,y2) tal que Ix2 =Imáx e Iy2 =Imin ou vice-versa. Estes são os Eixos Principais de Inércia para esta origem. Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Translação e Rotação de Eixos Determinação de Imáx e Imin: x1 x1 dx dy y1 dydxdA . x2 y2 q x2 y2 y1 02cos22sen 1111 qq yxyx III 11 11 2 2tan yx yx II I q 02 qd dIx direções dos eixos principais 11 11 2 arctan 2 1 yx yx p II I qq Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Translação e Rotação de Eixos Determinação de Imáx e Imin: x1 x1 dx dy y1 dydxdA . x2 y2 q x2 y2 y1 e 2 2tan 11 11 yx yx p II I q 22 1111 11 4 2 2sen yxyx yx p III I q 22 1111 11 4 2cos yxyx yx p III II q .12cos2sen 22 pp qq Logo: Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Translação e Rotação de Eixos Determinação de Imáx e Imin: x1 x1 dx dy y1 dydxdA . x2 y2 q x2 y2 y1 2 2 ,, 11 1111 22 22 yx yxyx minmáxyx I IIII II 0 22 yxI Substituindo sen2qp e cos2qp nas expressões dos momentos de inércia, tem-se: Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Translação e Rotação de Eixos Determinação de Ixy,máx e Ixy,min: x1 x1 dx dy y1 dydxdA . x2 y2 q x2 y2 y1 02cos2sen2 1111 qq yxyx III 11 11 2 2tan yx yx I II q 022 qd dI yx 11 11 2 arctan 2 1 yx yx c I II qq Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Translação e Rotação de Eixos Determinação de Ixy,máx e Ixy,min: x1 x1 dx dy y1 dydxdA . x2 y2 q x2 y2 y1 e 2 2tan 11 11 yx yx c I II q .12cos2sen 22 cc qq 22 1111 11 4 2sen yxyx yx c III II q 22 1111 11 4 2 2cos yxyx yx c III I q Logo: Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Translação e Rotação de Eixos Determinação de Ixy,máx e Ixy,min: x1 x1 dx dy y1 dydxdA . x2 y2 q x2 y2 y1 méd pyx yx I III I 22 11 22 , Substituindo sen2qc e cos2qc nas expressões dos momentos de inércia, tem-se: 2 2 11 11 22 2 yx yx xyyx I II II máx,min Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas Translação e Rotação de Eixos Círculo de Mohr: qq 2sen2cos 22 11 1111 2 yx yxyx x I IIII I qq 2sen 2 2cos 11 1122 yx yxyx II II qq 2sen2cos 22 11 1111 2 yx yxyx y I IIII I Se (x1,y1) são os eixos principais, Ix1y1= 0 e q = qp p minmáxminmáx x