Aula 02 de Resistência I - Prop Geom 2

Prévia do material em texto

Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Aula 02 
continuação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.1. O que é a Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
I.2. Elementos Básicos 
 I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
 I.2.2. Esforços nas Estruturas 
 I.2.3. Características Mecânicas dos Materiais 
I.3. Problemas e Métodos 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
Rotação: 
x1 
x1 dx 
dy 
y1 
dydxdA .

x2 
y2 
q 
x2 
y2 
y1 
qq sencos 112 yxx 
qq sencos 112 xyy 
 Ax dAyS 22
   Ax dAxyS qq sencos 112
qq sencos
112 yxx
SSS 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
Rotação: 
x1 
x1 dx 
dy 
y1 
dydxdA .

x2 
y2 
q 
x2 
y2 
y1 
qq sencos 112 yxx 
qq sencos 112 xyy 
qq sencos
112 yxx
SSS 
qq sencos
112 xyy
SSS 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
Rotação: 
x1 
x1 dx 
dy 
y1 
dydxdA .

x2 
y2 
q 
x2 
y2 
y1 
 Ax dAyI
2
22
   Ax dAxyI
2
11 sencos2 qq
qq
qq
cos.sen2
sencos
11
112
22
yx
yxx
I
III


qq sencos 112 yxx 
qq sencos 112 xyy 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
Rotação: 
x1 
x1 dx 
dy 
y1 
dydxdA .

x2 
y2 
q 
x2 
y2 
y1 
qqqq cossen2sencos
11112
22
yxyxx IIII 
qqqq cossen2sencos
11112
22
yxxyy IIII 
    qqqq cossensencos
111122
22
yxyxyx IIII 
qq sencos 112 yxx 
qq sencos 112 xyy 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
Rotação: 
 Ap dAI
2
qq sencos 112 yxx 
qq sencos 112 xyy 
2
2
2
2
2
1
2
1
2 yxyx 
x1 
x1 dx 
dy 
y1 
dydxdA .

x2 
y2 
q 
x2 
y2 
y1 
2211 yxyxp
IIIII 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
Rotação: 
x1 
x1 dx 
dy 
y1 
dydxdA .

x2 
y2 
q 
x2 
y2 
y1 
qqq cos.sen22sen 
qqq 22 sencos2cos 
1cossen 22  qq
2
2cos1
sen2
qq 
2
2cos1
cos2
qq 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
Rotação: 
x1 
x1 dx 
dy 
y1 
dydxdA .

x2 
y2 
q 
x2 
y2 
y1 
qq 2sen2cos
22 11
1111
2 yx
yxyx
x I
IIII
I 




 



qq 2sen
2
2cos 11
1122 




 

yx
yxyx
II
II
qq 2sen2cos
22 11
1111
2 yx
yxyx
y I
IIII
I 




 



Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
Rotação: 
x1 
x1 dx 
dy 
y1 
dydxdA .

x2 
y2 
q 
x2 
y2 
y1 
2211 yxyx
IIII 
Como os momentos de inércia são 
sempre positivos, haverá, para 
cada origem, uma posição dos 
eixos (x2,y2) tal que Ix2
=Imáx e 
Iy2
=Imin ou vice-versa. 
Estes são os Eixos Principais de 
Inércia para esta origem. 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
Determinação de Imáx e Imin: 
x1 
x1 dx 
dy 
y1 
dydxdA .

x2 
y2 
q 
x2 
y2 
y1 
  02cos22sen
1111
 qq yxyx III
11
11
2
2tan
yx
yx
II
I


q
02 
qd
dIx
direções 
dos eixos 
principais 










11
11
2
arctan
2
1
yx
yx
p
II
I
qq
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
Determinação de Imáx e Imin: 
x1 
x1 dx 
dy 
y1 
dydxdA .

x2 
y2 
q 
x2 
y2 
y1 
e 
2
2tan
11
11
yx
yx
p
II
I


q
  22
1111
11
4
2
2sen
yxyx
yx
p
III
I


q
 
  22
1111
11
4
2cos
yxyx
yx
p
III
II




q
.12cos2sen 22  pp qq
Logo: 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
Determinação de Imáx e Imin: 
x1 
x1 dx 
dy 
y1 
dydxdA .

x2 
y2 
q 
x2 
y2 
y1 
2
2
,,
11
1111
22
22
yx
yxyx
minmáxyx
I
IIII
II





 




0
22
yxI
Substituindo sen2qp e cos2qp nas 
expressões dos momentos de 
inércia, tem-se: 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
Determinação de Ixy,máx e Ixy,min: 
x1 
x1 dx 
dy 
y1 
dydxdA .

x2 
y2 
q 
x2 
y2 
y1 
  02cos2sen2
1111
 qq yxyx III
11
11
2
2tan
yx
yx
I
II 
q
022 
qd
dI yx







 

11
11
2
arctan
2
1
yx
yx
c
I
II
qq
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
Determinação de Ixy,máx e Ixy,min: 
x1 
x1 dx 
dy 
y1 
dydxdA .

x2 
y2 
q 
x2 
y2 
y1 
e 
2
2tan
11
11
yx
yx
c
I
II 
q
.12cos2sen 22  cc qq
 
  22
1111
11
4
2sen
yxyx
yx
c
III
II


q
  22
1111
11
4
2
2cos
yxyx
yx
c
III
I


q
Logo: 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
Determinação de Ixy,máx e Ixy,min: 
x1 
x1 dx 
dy 
y1 
dydxdA .

x2 
y2 
q 
x2 
y2 
y1 
méd
pyx
yx I
III
I 


22
11
22 ,
Substituindo sen2qc e cos2qc nas 
expressões dos momentos de 
inércia, tem-se: 
2
2
11
11
22 2
yx
yx
xyyx I
II
II
máx,min





 

Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
Círculo de Mohr: 
qq 2sen2cos
22 11
1111
2 yx
yxyx
x I
IIII
I 




 



qq 2sen
2
2cos 11
1122 




 

yx
yxyx
II
II
qq 2sen2cos
22 11
1111
2 yx
yxyx
y I
IIII
I 




 



Se (x1,y1) são os eixos principais, Ix1y1= 0 e q = qp 
p
minmáxminmáx
xIIII
I q2cos
22





 



p
minmáxminmáx
y
IIII
I q2cos
22





 



p
minmáx
xy
II
I q2sen
2





 

onde (x,y) são eixos quaisquer 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
p
minmáx
médyx
II
II q2cos
2
, 




 

 
2
22
,
2





 
 minmáxxymédyx
II
III
p
minmáx
xy
II
I q2sen
2





 

p
minmáxminmáx
x
IIII
I q2cos
22





 



p
minmáxminmáx
y
IIII
I q2cos
22





 



p
minmáx
xy
II
I q2sen
2





 

Círculo de Mohr: 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
Equação de uma circunferência 
onde x = Ix,y e y = Ixy, de centro em 
(Iméd,0) e raio igual a (Imáx- Imin)/2 
p
minmáx
médyx
II
II q2cos
2
, 




 

 
2
22
,
2





 
 minmáxxymédyx
II
III
p
minmáx
xy
II
I q2sen
2





 

yx II ,
xyI
médI
minI
máxI
máxxyI ,
minxyI ,
Círculo de Mohr: 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
2
2
,
22
xy
yxyx
minmáx I
IIII
I 




 



2
2
2
xy
yx
xy I
II
I
máx,min





 

yx
xy
p
II
I



2
2tan q
xy
yx
c
I
II
2
2tan

q
yx II ,
xyI
yI
xyIR
xI
  2yx II    2yx II 
pq2
cq2
xyI
Círculo de Mohr: 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
RIméd 
R
2
2
,
22
xy
yxyx
minmáx I
IIII
I 




 



2
2
2
xy
yx
xy I
II
I
máx,min





 

yx
xy
p
II
I



2
2tan q
xy
yx
c
I
II
2
2tan

q
yx II ,
xyI
yI
xyIR
xI
  2yx II    2yx II 
pq2
cq2
xyI
Círculo de Mohr: 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Translação e Rotação de Eixos 
Eixos Centrais Principais: Se a origem dos eixos principais 
for o CG, estes eixos são ditos 
centrais principais. 
0xyI
0 yx SS
eixos centrais 
eixos principais 
x 
y 
CG 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Momentos Principais de Inércia – Exemplos 
Momentos Axiais em relação aos eixos centrais principais: 
12
3bh
I x 
12
3hb
I y 
 
12
22 hbbh
I p


x
y
2d 2d
64
4d
II yx


32
4d
I p


2b 2b
2h
2h
x
y
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Momentos Principais de Inércia – Exemplos 
Momentos Axiais em relação aos eixos centrais principais: 
1212
3''3 hbbh
I x 
1212
3''3 bhhb
I y 
   
12
2'2'''22 hbhbhbbh
I p


 
64
44
ie
yx
dd
II



 
32
44
ie
p
dd
I



2b 2b
2h
2h
x
y
2'h
2'h
2'b 2'b
x
y
2ed 2ed
2id 2id
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Momentos Principais de Inércia – Exemplos 
Momentos Axiais em relação aos eixos centrais principais: 
seções compostas 
por retângulos 
1x
2x
1y
2y
1 
Rx
Ry
1y
2y
1x
2x
2 
2211 AyAyS Rx 
2211 AxAxS Ry 
21 AAA 
(xR,yR): eixos arbitrários de referência 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Momentos Principais de Inércia – Exemplos 
Momentos Axiais em relação aos eixos centrais principais: 
seções compostas 
por retângulos 
CGx
CGy
y
x
1 
CG
Rx
Ry
2 
A
S
x R
y

A
S
y R
x

(xR,yR): eixos arbitrários de referência 
2211 AyAyS Rx 
2211 AxAxS Ry 
21 AAA 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Momentos Principais de Inércia – Exemplos 
Momentos Axiais em relação aos eixos centrais principais: 
11
 e yx II
:momentos de inércia em relação 
aos eixos centrais principais do 
retângulo 1 
22
 e yx II
:momentos de inércia em relação 
aos eixos centrais principais do 
retângulo 2 
seções compostas 
por retângulos 
1x
2x
1y
2y
1 
Rx
Ry
1y
2y
1x
2x
2 
(xR,yR): eixos arbitrários de referência 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Momentos Principais de Inércia – Exemplos 
Momentos Axiais em relação aos eixos centrais principais: 
seções compostas 
por retângulos 
1x
2x
1y
2y
1 
1y
2y
1x
2x
2 
CGx
CGy
CG
2
2
21
2
1 21
AyIAyII xxxCG 
2
2
21
2
1 21
AxIAxII yyyCG 
222111
222111
 
2211
AyxAyx
AyxIAyxII yxyxyx CGCG


Usando a translação de eixos: 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Momentos Principais de Inércia – Exemplos 
Momentos Axiais em relação aos eixos centrais principais: 
seções compostas 
por retângulos 
1x
2x
1y
2y
1 
1y
2y
1x
2x
2 
CGx
CGy
CG
xCG e yCG são eixos centrais, porém não 
necessariamente principais 
  
i
iixx AyII iCG
2
  
i
iiyy AxII iCG
2
 
i
iiiyx AyxI CGCG
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
Momentos Principais de Inércia – Exemplos 
Momentos Axiais em relação aos eixos centrais principais: 
2
2
,
22 CGCG
CGCGCGCG
yx
yxyx
yx I
IIII
I 




 














CGCG
CGCG
yx
yx
p
II
I2
arctan
2
1q
Ix e Iy são os momentos principais de 
inércia em relação aos eixos centrais 
seções compostas 
por retângulos 
x
1 
2 
CGx
CGy
y
pq
CG
(x,y): eixos 
centrais principais 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Fim da Aula 02