apostila de erros parte1

aleatórios são devidos a flutuações casuais de condições ambientais (temperatura,
tensão da rede elétrica, ventos, etc.), a erros de estimativa (pequeno erro de paralaxe de leituras,
resolução da escala de leitura) e a deficiências do próprio instrumento.
Este tipo de erro é reduzido através da reiteração das medidas, pois decrescem, em geral,
proporcionalmente a , onde N é o número de amostras.
Postulado de Gauss
4 - Tratamento estatístico dos erros experimentais
Devido à natureza do erro aleatório, necessitaremos de ferramentas matemáticas especiais para
tratá-los convenientemente. 
Como é grande a variabilidade nas medidas afetadas por erros aleatórios, fica impossível dizer
qual o melhor valor dessa grandeza. Assim, será necessário o conhecimento de seu valor médio, bem
como a dispersão em torno desse valor.
X¯ ' 1
N
ΣXi
X¯ ' X1 % X2 % ... % Xn
N
X¯ ' p1.X1 % p2.X2 % ... % pn.Xn
p1 % p2 % ... % pn
X¯
Tec.Lab.Física Capítulo I
Recorreremos, portanto, a alguns conceitos da estatística para o tratamento desses dados
experimentais.
4.1 - Valor Médio
A média é um valor peculiar a um conjunto de dados experimentais. Há várias maneiras de se
calcular o valor médio de uma grandeza ( ), que depende de cada situação analisada. Em geral utiliza-
se com maior freqüência as médias aritmética e ponderada.
4.1.1 - Média Aritmética
Seja um conjunto discreto de dados experimentais, representado por x , x ,...,x , correspondendo1 2 n
cada um a valores numéricos de certa grandeza, conseguidos em condições "idênticas", ou seja, mesmo
operador, mesma precisão, mesmas condições ambientais, etc. Dessa forma, o valor mais próximo do
verdadeiro é dado por:
ou seja:
que é a média aritmética dos valores obtidos (quarto postulado de Gauss). Onde N é o número de
medidas realizadas. 
4.1.2 - Média Ponderada 
Quando algumas das medidas não merecem a mesma confiança que as demais, o que ocorre
quando utilizou-se instrumento de menor precisão para efetua-las, não é possível empregar a média
aritmética como valor mais provável da grandeza avaliada. Neste caso a expressão do valor mais
provável deve ser tal que as medidas obtidas com maior precisão influam mais no cálculo que as
demais. Assim, a média ponderada é dada por:
Os pesos p , p , ..., p serão calculados após conhecermos um modo de calcularmos a dispersão dos1 2 n
dados experimentais.
4.2 - Dispersão dos Dados Experimentais
di ' xi & x¯
σ ' Σdi
2
(N & 1)
ε ' Σdi
2
N (N & 1)
Σdi ' 0,
( ε )
Tec.Lab.Física Capítulo I
Devido aos erros experimentais, os dados obtido num experimento, resultado de N medidas da
mesma grandeza, tendem a se afastarem ou se aproximarem do valor mais provável desta grandeza
(que, como vimos, pode ser considerada a média aritmética). A isto denominamos dispersão.
A dispersão pode ser avaliada em termos do desvio aparente (também chamado resíduo), desvio
padrão ou ainda em termos do erro da média.
4.2.1 - Desvio Aparente (resíduo)
Indica o afastamento de cada dado experimental em relação ao valor médio calculado para a
grandeza, sendo expresso por:
 Se indicará que a experiência parece razoável.
4.2.2 - Desvio Padrão (F) 
Também chamado Desvio Médio Quadrático, estima o afastamento médio de cada valor
medido em relação ao valor médio calculado (espalhamento das medidas). Nos casos em que poucas
observações são feitas e experimentadas, o desvio padrão, representado pela letra grega sigma
minúsculo (σ) é dado por:
4.2.3 - Erro da média 
Também chamado desvio padrão da média ou erro médio da média, expressa o erro que afeta
o valor da grandeza, isto é, o erro que afeta o valor médio da grandeza. É dado por:
4.2.4 - Desvio Avaliado
É devido, essencialmente, aos instrumentos de medida e é expresso como sendo a metade da
resolução instrumental, quando se trata de instrumentos com escalas gravadas, ou seja, a metade da
menor leitura fornecida por um instrumento, sendo representado por δx, onde x é o símbolo da grandeza
medida.
∆v ' vf & v0
x¯
( ε ) x¯ ± ε
E ' δx
x
X ' x¯ ± ε
E ' ε
x¯
E ' δx
x
× 100 E ' ε
x¯
× 100
Tec.Lab.Física Capítulo I
Observações:
C A letra grega delta maiúscula ( ∆ ) será utilizada para representar diferenças entre valores de
uma mesma grandeza física. A variação de velocidade ( v ) de um carro, por exemplo, é
representada por: , onde v é sua velocidade final e v , sua velocidade inicial.f 0
C A letra grega delta minúscula ( δ ) será utilizada para representar o erro na medida de uma
grandeza física. O erro na determinação do comprimento ( R ) de uma haste de alumínio será
representado como δR.
4.2.5 - Erro limite ou erro tolerável 
O erro limite é o erro igual a TRÊS vezes o erro médio quadrático (desvio padrão); toda medida
afetada de erro maior que o tolerável deve ser rejeitada.
4.2.6 - Valor Experimental Corrigido ( VEC )
Para uma grandeza x determinada, numa única tomada de dados (tomou-se uma única medida),
com um instrumento cuja resolução é R, podemos dizer, baseado no exposto acima, que o erro que
acompanha x é δx = R/2. 
O VEC da medida x pode ser escrito com: x ± δx.
No caso de termos obtido N medidas da grandeza x, diremos agora que há um valor mais
provável de x, representado pela média aritmética dos N valores de x: (caso esses valores tenham
sido obtidos com instrumento de medida operando na mesma escala). O erro, conforme vimos é tomado
como o erro médio da média . Assim, o VEC da medida x pode ser escrito como: .
4.2.7 - Erro relativo e erro relativo percentual 
Quando consideramos uma única medida de uma dada grandeza X = x ± δx. O erro relativo
( E ) é dado por: .
Se, contudo, realizarmos N medidas da grandeza X, teremos: . O erro relativo, desse
modo será calculado como: .
Expressos em percentagem, são: (%) e (%), que são o que
denominamos de erro relativo percentual ou, simplesmente, erro percentual.
Exemplo: 
Na seção 4.1.2 vimos que para calcularmos os pesos da média ponderada seria necessário saber
um modo de calcularmos a dispersão dos dados experimentais. O exemplo a seguir ilustra como
proceder para obtermos o valor médio de uma grandeza quando utilizamos instrumentos, ou escalas,
diferentes nas tomadas de dados experimentais.
X¯ ' p1.X1 % p2.X2 % ... % pn.Xn
p1 % p2 % ... % pn
pn '
1
εn
2
Xpond. '
kA . X¯ % kB . Y¯
kA % kB
εn
2
X¯ σA
Y¯ σB
kA '
n
σA
2
e kB '
m
σB
2
Tec.Lab.Física Capítulo I
Espessura (mm)
3,05±0,05
3,08±0,02
3,02±0,02
3,00±0,05
3,10±0,05
3,04±0,02
3,06±0,02
Considere o conjunto de dados {X , X , X , X , Y ,Y ,Y } onde X , X , X e X foram obtidos1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 4
com instrumento de precisão a, enquanto Y1, Y2 e Y3, foram obtidos com instrumento de precisão b.
Como se tratam de medidas realizadas com instrumentos de precisões diferentes, tomemos a
média ponderada, dada por:
Os coeficientes p , p ,...,p devem ser tomados como:1 2 n
Onde representa o quadrado do erro da média. Assim, uma expressão para a média ponderada pode
ser obtida dividindo o conjunto de dados em dois: conjunto A e conjunto B. O conjunto A possui n
elementos, sua média é e seu desvio padrão é bem como o conjunto B possui m elementos, sua
média é e seu desvio padrão é .
Logo, considerando estes conjuntos temos:
Onde: 
1 - Deduza as expressões acima.
2 - Os dados ilustrados na tabela ao lado foram obtidos a partir da medida
da espessura de uma placa de zinco. Calcule o valor mais provável da
grandeza medida.
5 - Representação Gráfica dos Dados
Amostrais - Histograma -
Tec.Lab.Física Capítulo I
O histograma é um gráfico de barras onde são apresentados o número de eventos por intervalo
de valor em uma série de medidas.
Exemplo:
A tabela abaixo ilustra vinte tomadas de tempo, em segundos, que uma esfera demora para
percorrer uma calha inclinada, abandonada sempre da mesma posição inicial:
Medida Nº Tempo (s)
1 28,1
2 27,9
3 28,1
4 28,2
5 28,3
6 28,1
7 27,8
8 28,0
9 27,9
10 28,1
11 28,1
12 28,1
13 27,9
14 28,0
15 28,2
16 28,0
17 28,1
18 28,0
19 28,1
20 28,0
Assim, para cada