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aleatórios são devidos a flutuações casuais de condições ambientais (temperatura, tensão da rede elétrica, ventos, etc.), a erros de estimativa (pequeno erro de paralaxe de leituras, resolução da escala de leitura) e a deficiências do próprio instrumento. Este tipo de erro é reduzido através da reiteração das medidas, pois decrescem, em geral, proporcionalmente a , onde N é o número de amostras. Postulado de Gauss 4 - Tratamento estatístico dos erros experimentais Devido à natureza do erro aleatório, necessitaremos de ferramentas matemáticas especiais para tratá-los convenientemente. Como é grande a variabilidade nas medidas afetadas por erros aleatórios, fica impossível dizer qual o melhor valor dessa grandeza. Assim, será necessário o conhecimento de seu valor médio, bem como a dispersão em torno desse valor. X¯ ' 1 N ΣXi X¯ ' X1 % X2 % ... % Xn N X¯ ' p1.X1 % p2.X2 % ... % pn.Xn p1 % p2 % ... % pn X¯ Tec.Lab.Física Capítulo I Recorreremos, portanto, a alguns conceitos da estatística para o tratamento desses dados experimentais. 4.1 - Valor Médio A média é um valor peculiar a um conjunto de dados experimentais. Há várias maneiras de se calcular o valor médio de uma grandeza ( ), que depende de cada situação analisada. Em geral utiliza- se com maior freqüência as médias aritmética e ponderada. 4.1.1 - Média Aritmética Seja um conjunto discreto de dados experimentais, representado por x , x ,...,x , correspondendo1 2 n cada um a valores numéricos de certa grandeza, conseguidos em condições "idênticas", ou seja, mesmo operador, mesma precisão, mesmas condições ambientais, etc. Dessa forma, o valor mais próximo do verdadeiro é dado por: ou seja: que é a média aritmética dos valores obtidos (quarto postulado de Gauss). Onde N é o número de medidas realizadas. 4.1.2 - Média Ponderada Quando algumas das medidas não merecem a mesma confiança que as demais, o que ocorre quando utilizou-se instrumento de menor precisão para efetua-las, não é possível empregar a média aritmética como valor mais provável da grandeza avaliada. Neste caso a expressão do valor mais provável deve ser tal que as medidas obtidas com maior precisão influam mais no cálculo que as demais. Assim, a média ponderada é dada por: Os pesos p , p , ..., p serão calculados após conhecermos um modo de calcularmos a dispersão dos1 2 n dados experimentais. 4.2 - Dispersão dos Dados Experimentais di ' xi & x¯ σ ' Σdi 2 (N & 1) ε ' Σdi 2 N (N & 1) Σdi ' 0, ( ε ) Tec.Lab.Física Capítulo I Devido aos erros experimentais, os dados obtido num experimento, resultado de N medidas da mesma grandeza, tendem a se afastarem ou se aproximarem do valor mais provável desta grandeza (que, como vimos, pode ser considerada a média aritmética). A isto denominamos dispersão. A dispersão pode ser avaliada em termos do desvio aparente (também chamado resíduo), desvio padrão ou ainda em termos do erro da média. 4.2.1 - Desvio Aparente (resíduo) Indica o afastamento de cada dado experimental em relação ao valor médio calculado para a grandeza, sendo expresso por: Se indicará que a experiência parece razoável. 4.2.2 - Desvio Padrão (F) Também chamado Desvio Médio Quadrático, estima o afastamento médio de cada valor medido em relação ao valor médio calculado (espalhamento das medidas). Nos casos em que poucas observações são feitas e experimentadas, o desvio padrão, representado pela letra grega sigma minúsculo (σ) é dado por: 4.2.3 - Erro da média Também chamado desvio padrão da média ou erro médio da média, expressa o erro que afeta o valor da grandeza, isto é, o erro que afeta o valor médio da grandeza. É dado por: 4.2.4 - Desvio Avaliado É devido, essencialmente, aos instrumentos de medida e é expresso como sendo a metade da resolução instrumental, quando se trata de instrumentos com escalas gravadas, ou seja, a metade da menor leitura fornecida por um instrumento, sendo representado por δx, onde x é o símbolo da grandeza medida. ∆v ' vf & v0 x¯ ( ε ) x¯ ± ε E ' δx x X ' x¯ ± ε E ' ε x¯ E ' δx x × 100 E ' ε x¯ × 100 Tec.Lab.Física Capítulo I Observações: C A letra grega delta maiúscula ( ∆ ) será utilizada para representar diferenças entre valores de uma mesma grandeza física. A variação de velocidade ( v ) de um carro, por exemplo, é representada por: , onde v é sua velocidade final e v , sua velocidade inicial.f 0 C A letra grega delta minúscula ( δ ) será utilizada para representar o erro na medida de uma grandeza física. O erro na determinação do comprimento ( R ) de uma haste de alumínio será representado como δR. 4.2.5 - Erro limite ou erro tolerável O erro limite é o erro igual a TRÊS vezes o erro médio quadrático (desvio padrão); toda medida afetada de erro maior que o tolerável deve ser rejeitada. 4.2.6 - Valor Experimental Corrigido ( VEC ) Para uma grandeza x determinada, numa única tomada de dados (tomou-se uma única medida), com um instrumento cuja resolução é R, podemos dizer, baseado no exposto acima, que o erro que acompanha x é δx = R/2. O VEC da medida x pode ser escrito com: x ± δx. No caso de termos obtido N medidas da grandeza x, diremos agora que há um valor mais provável de x, representado pela média aritmética dos N valores de x: (caso esses valores tenham sido obtidos com instrumento de medida operando na mesma escala). O erro, conforme vimos é tomado como o erro médio da média . Assim, o VEC da medida x pode ser escrito como: . 4.2.7 - Erro relativo e erro relativo percentual Quando consideramos uma única medida de uma dada grandeza X = x ± δx. O erro relativo ( E ) é dado por: . Se, contudo, realizarmos N medidas da grandeza X, teremos: . O erro relativo, desse modo será calculado como: . Expressos em percentagem, são: (%) e (%), que são o que denominamos de erro relativo percentual ou, simplesmente, erro percentual. Exemplo: Na seção 4.1.2 vimos que para calcularmos os pesos da média ponderada seria necessário saber um modo de calcularmos a dispersão dos dados experimentais. O exemplo a seguir ilustra como proceder para obtermos o valor médio de uma grandeza quando utilizamos instrumentos, ou escalas, diferentes nas tomadas de dados experimentais. X¯ ' p1.X1 % p2.X2 % ... % pn.Xn p1 % p2 % ... % pn pn ' 1 εn 2 Xpond. ' kA . X¯ % kB . Y¯ kA % kB εn 2 X¯ σA Y¯ σB kA ' n σA 2 e kB ' m σB 2 Tec.Lab.Física Capítulo I Espessura (mm) 3,05±0,05 3,08±0,02 3,02±0,02 3,00±0,05 3,10±0,05 3,04±0,02 3,06±0,02 Considere o conjunto de dados {X , X , X , X , Y ,Y ,Y } onde X , X , X e X foram obtidos1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 4 com instrumento de precisão a, enquanto Y1, Y2 e Y3, foram obtidos com instrumento de precisão b. Como se tratam de medidas realizadas com instrumentos de precisões diferentes, tomemos a média ponderada, dada por: Os coeficientes p , p ,...,p devem ser tomados como:1 2 n Onde representa o quadrado do erro da média. Assim, uma expressão para a média ponderada pode ser obtida dividindo o conjunto de dados em dois: conjunto A e conjunto B. O conjunto A possui n elementos, sua média é e seu desvio padrão é bem como o conjunto B possui m elementos, sua média é e seu desvio padrão é . Logo, considerando estes conjuntos temos: Onde: 1 - Deduza as expressões acima. 2 - Os dados ilustrados na tabela ao lado foram obtidos a partir da medida da espessura de uma placa de zinco. Calcule o valor mais provável da grandeza medida. 5 - Representação Gráfica dos Dados Amostrais - Histograma - Tec.Lab.Física Capítulo I O histograma é um gráfico de barras onde são apresentados o número de eventos por intervalo de valor em uma série de medidas. Exemplo: A tabela abaixo ilustra vinte tomadas de tempo, em segundos, que uma esfera demora para percorrer uma calha inclinada, abandonada sempre da mesma posição inicial: Medida Nº Tempo (s) 1 28,1 2 27,9 3 28,1 4 28,2 5 28,3 6 28,1 7 27,8 8 28,0 9 27,9 10 28,1 11 28,1 12 28,1 13 27,9 14 28,0 15 28,2 16 28,0 17 28,1 18 28,0 19 28,1 20 28,0 Assim, para cada