Aula 03 de Resistência I - Esforços 2
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Aula 03 de Resistência I - Esforços 2

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Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos
Deformáveis

Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES

Aula 03

continuação

Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos
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Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.1. O que é a Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis

I.2. Elementos Básicos

 I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas

 I.2.2. Esforços nas Estruturas

 I.2.3. Características Mecânicas dos Materiais

I.3. Problemas e Métodos

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Conceito de Tensão

A

F




Reduzindo os esforços distribuídos ao

longo de uma área elementar a um ponto

qualquer desta área:

Tensão Média:

Tensão num Ponto:

A

F
m






dA

dF

A

F

A







 0
lim

 :A

área elementar

força elementar
 :F




:M




momento elementar
(desprezível)

A unidade de tensão é, portanto, unidade de

“força / comprimento2 ”: N/m2, kN/cm2, MPa,

GPa, etc.

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

A tensão num ponto pode ser decomposta em:

Tensão Normal sz, na direção normal z e
Tensão de Cisalhamento tz, na direção
tangencial (plano x-y, normal à direção z).



A Tensão de Cisalhamento tz pode ser
decomposta em duas componentes:

tzx, na direção x, e tzy, na direção y.
zs

zt

x

y

z

Conceito de Tensão

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

A tensão de cisalhamento se opõe à força de

atrito entre as moléculas do corpo, que

impede a sua separação por deslizamento ou

cisalhamento.

A tensão normal se opõe à força de coesão

entre as moléculas do corpo, que impede a sua

separação por afastamento ou esmagamento.



zs

zt

x

y

z

Conceito de Tensão

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Por um ponto qualquer de um corpo pode-se

passar infinitos planos. Logo, para cada ponto

do corpo solicitado, existe um conjunto

infinito de valores da tensão  ou de suas
componentes s e t. A este conjunto dá-se o
nome de Estado de Tensão no Ponto.



zs

zt

x

y

z

Conceito de Tensão

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

O Estado de Tensão Num Ponto pode, no

entanto, ser definido a partir do conhecimento

das componentes s e t em apenas três planos
ortogonais entre si que contenham o ponto.

Se dx, dy e dz são as distâncias infinitesimais

entre planos paralelos que isolem um ponto P,

o paralelepípedo resultante da interseção

destes planos entre si pode ser utilizado para

representar este ponto.

P

x

y

z

dx

dz

dy

representação

do ponto P

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

As componentes de tensão nas facetas deste

paralelepípedo elementar são: sx, txy, txz, sy,

tyz, tyx, sz, tzx e tzy. As forças resultantes nes-

tas facetas constituem um sistema em equilí-

brio estático.

xs

zs

ys

xyt

yxt

yzt

zyt

zxt

xzt

Em um plano inclinado em relação aos planos

das facetas do paralelepípedo agem as compo-

nentes sn e tn. Este plano também contém o

ponto.

n

t

ns

nt

xs

xyt

xzt

zxt

zs

zyt

yzt

yxt

ys

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

sn é a tensão normal e tn a tensão de cisalha-

mento neste plano (n é o eixo normal ao plano

e t é um eixo tangente).

A partir das condições de equilíbrio estático,

 SFn = 0 e SFt = 0

obtém-se as componentes sn e tn em função

de sx, txy, txz, sy, tyz, tyx, sz, tzx, tzy e dos

cossenos diretores da normal n.

n

t

ns

nt

xs

xyt

xzt

zxt

zs

zyt

yzt

yxt

ys

xs

zs

ys

xyt

yxt

yzt

zyt

zxt

xzt

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Assim, conhecendo-se as componentes de

tensão em três planos arbitrários, ortogonais

entre si, pode-se conhecer as componentes em

qualquer outro plano que contenha o ponto,

por meio de fórmulas de recorrência obtidas a

partir das citadas condições de equilíbrio

estático das forças elementares que atuam nas

facetas do tetraedro infinitesimal indicado.

n

t

ns

nt

xs

xyt

xzt

zxt

zs

zyt

yzt

yxt

ys

xs

zs

ys

xyt

yxt

yzt

zyt

zxt

xzt

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Desta forma, o Estado de Tensão Num Ponto

pode ser representado, como dito, pelas com-

ponentes em três planos ortogonais arbitrá-

rios: sx, txy, txz, sy, tyz, tyx, sz, tzx e tzy.

Da condição de equilíbrio de momentos em

torno do eixo x indicado, tem-se:

SMx = 0 a (tyzdxdz)dy – (tzydxdy)dz = 0

xs

zs

ys

xyt

yxt

yzt

zyt

zxt

xzt

x

y

z
dx

dy

dz

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Logo, tyz = tzy .

Analogamente,

txy = tyx e tzx = txz.

Teorema: “Em planos ortogonais, as tensões de cisalhamento são

iguais e formam binários em sentidos opostos”

xs

zs

ys

xyt

yxt

yzt

zyt

zxt

xzt

x

y

z
dx

dy

dz

Assim, são seis as componentes que definem o Estado de Tensão

Num Ponto: sx, sy, sz, txy, tyz, e tzx.

x

y

xyt

yxt

xs

ys

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Logo, tyz = tzy .

Analogamente,

txy = tyx e tzx = txz.

Teorema: “Em planos ortogonais, as tensões de cisalhamento são

iguais e formam binários em sentidos opostos”

xs

zs

ys

xyt

yxt

yzt

zyt

zxt

xzt

x

y

z
dx

dy

dz

Convenção

de Sinais:

x

y

xyt

yxt

xs

ys

xs
+

xs

_
xyt+ xyt

_

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Se sz, tzx e tzy são as componentes de tensão
num ponto qualquer do plano x-y, os

esforços elementares correspondentes são:

.dAdN zs,dAdV zxx t
e dAdV zyy t

zs

zxt

x

y

z

zyt

dN

xdV

x

y

z

ydV

Relações entre Esforços Internos e Tensões

Conceito de Tensão

Integrando estes esforços elementares:

dAN
A

z s A zxx dAV t  A zyy dAV t

esforço cortante

na direção x

esforço normal esforço cortante

na direção y

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

zs

zxt

x

y

z

zyt

dN

xdV

x

y

z

ydV

Os momentos elementares em torno

dos eixos de referência são:

y

x

x

y

dA

dxdydA 

,dAyydNdM zx s e dAxxdNdM zy s

dAydAxydVxdVdMdT