Aula 03 de Resistência I - Esforços 2
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zxzyxyz tt 

Relações entre Esforços Internos e Tensões

Conceito de Tensão

Integrando estes momentos elementares:

dAyM
A

zx  s  A zy dAxM s

   A zxzy dAyxT tt

momentos

fletores em

torno de x e de y

momento

torsor

dT

xdM

ydM

dN

xdV

x

y

z

ydV

x

y

Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos
Deformáveis

Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Conceito de Deformação

Sejam AB e AC dois segmentos de reta defi-

nindo um plano do corpo e formando um ân-

gulo q entre si.
A

B

C

q

plano indeformado

A’

B’

C’

q’

plano deformado

O corpo se deforma após a ação dos esforços

e, consequentemente, os pontos A, B e C se

deslocam para as posições A’, B’ e C’, respec-

tivamente.

Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos
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Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

A

B

C

q

plano indeformado

A’

B’

C’

q’

plano deformado

Deformação Linear Média:

,C'A' e AC e

B'A' e AB Se

ttt

sss





t

t

AC

ACCA

s

s

AB

ABBA
ACAB mm











  e

Conceito de Deformação

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

A

B

C

q

plano indeformado

A’

B’

C’

q’

plano deformado

Se x é o eixo orientado que define a direção
do segmento AB e y o eixo orientado que
define a direção do segmento AC,

Deformação Linear de um Ponto:

x

y

ABmAB
x

0
lim




e
ACmAC

y
0

lim




O conceito de deformação linear de um ponto

pressupõe a direção na qual é medida.

Conceito de Deformação

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

A

B

C

q

plano indeformado

A’

B’

C’

q’

plano deformado

x é a deformação linear do ponto A na direção x e
y é a deformação linear do ponto A na direção y.

x

y

Deformação Linear é uma grandeza adimensional.

Pode ser expressa em %.

Conceito de Deformação

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

A

B

C

q

plano indeformado

A’

B’

C’

q’

plano deformado

Deformação Angular Média:

,C''AˆB' e CAˆB Se qqq 

q  CAˆBCAˆB
ABCm

Conceito de Deformação

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

A

B

C

q

plano indeformado

A’

B’

C’

q’

plano deformado

Se x é o eixo orientado que define a direção
do segmento AB e y o eixo orientado que
define a direção do segmento AC,

Deformação Angular de um Ponto:

x

y

ABCm

AC
AB

 xy
0
0

lim






O conceito de deformação angular de um

ponto pressupõe o plano na qual é medida.

Conceito de Deformação

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

A

B

C

q

plano indeformado

A’

B’

C’

q’

plano deformado

xy é a deformação angular do ponto A no plano xy.

x

y

Deformação Angular é uma grandeza adimensional.

Deve ser expressa em rd.

Conceito de Deformação

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Por um ponto qualquer de um corpo pode-se

passar infinitos planos. Logo, para cada ponto

do corpo solicitado, existe um conjunto infini-

to de valores das deformações  e . A este
conjunto dá-se o nome de Estado de Defor-

mação no Ponto.

A

B

C

q

plano indeformado

A’

B’

C’

q’

plano deformado

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Analogamente ao Estado de Tensão, o Estado

de Deformação Num Ponto também pode

ser definido a partir do conhecimento das

deformações  e  em apenas três planos
ortogonais entre si que contenham o ponto.

Representado o ponto pelo paralelepípedo

elementar, as deformações em suas facetas

são: x, y, z, xy, yz e zx.

x

z

y

xy

xy

yz

yz

zx

zx

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

x: deformação linear na direção x,

y: deformação linear na direção y,

z: deformação linear na direção z,

xy: deformação angular no plano x-y,

yz : deformação angular no plano y-z,

zx : deformação angular no plano z-x.

x

z

y

xy

xy

yz

yz

zx

zx

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

A

A’

plano deformado
Decompondo este deslocamento em direções x, y e z

tri-ortogonaias arbitrárias:

Seja o deslocamento do ponto A após a

deformação do corpo solicitado.
AA'

u: deslocamento do ponto A na direção x

v: deslocamento do ponto A na direção y

w: deslocamento do ponto A na direção z A

A’

z

x

y

u v

w

Relações entre Deslocamentos e Deformações

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Supondo um ponto B sobre o eixo x, após a deforma-

ção, este ponto se deslocará para uma posição B’.

A

A’

z

x

y

u v

w

 : projeção do ponto A’ no plano x-y
'
xyA

'
xyB

 : projeção do ponto B’ no plano x-y

A’xy

A

y

B

Bx

'
xyB

'
xyA

u

v

By

Bx

x

'

x
A '

x
B

A

A’

plano deformado

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

xB: coordenada do ponto B segundo o eixo x

A

A’

z

x

y

u v

w

A’xy

u: deslocamento do ponto A na direção x

xB = u + u : deslocamento do ponto B na direção x

A

y

B

Bx

'
xyB

'
xyA

u

v

By

Bx

x

'

x
A '

x
B

A

A’

plano deformado

Relações entre Deslocamentos e Deformações

Conceito de Deformação

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Por definição, a deformação linear média do segmento AB é:

A

A’

z

x

y

u v

w

A’xy

 

B

B

B

BBBxx
m

x

ux

x

xuxx

AB

ABBA
AB










BB
m

x

u

x

uuu
AB







uuxB 

A

y

B

Bx

'
xyB

'
xyA

u

v

By

Bx

x

'

x
A '

x
B

A

A’

plano deformado

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Assim, a deformação linear do ponto A na direção x é:

A

A’

z

x

y

u v

w

A’xy

A

y

B

Bx

'
xyB

'
xyA

u

v

By

Bx

x

'

x
A '

x
B

x

u

x

u

B
x

m
AB

x
B

AB 







 00
limlim 

,
x

u
x




 e

y

v