Aula 03 de Resistência I - Esforços 2
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Aula 03 de Resistência I - Esforços 2

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y




 .z

w
z






Logo,

uuxB 

A

A’

plano deformado

Relações entre Deslocamentos e Deformações

Conceito de Deformação

Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos
Deformáveis

Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

A

A’

z

x

y

u v

w

A’xy

Supondo um ponto C sobre o eixo y, após a deforma-

ção, este ponto se deslocará para uma posição C’.

 : projeção do ponto C’ no plano x-y
'
xyC

A

y

B

Bx

'
xyB

'
xyA

u

v

By

Bx

x

'

x
A '

x
B

uuxB 

'
xyC

C

'
yC

C
y

C
y

xq

yq

'
yA

C
x

A

A’

plano deformado

Relações entre Deslocamentos e Deformações

Conceito de Deformação

Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos
Deformáveis

Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

A

A’

z

x

y

u v

w

A’xy

A

y

B

Bx

'
xyB

'
xyA

u

v

By

Bx

x

'

x
A '

x
B

yC: coordenada do ponto C segundo o eixo y

v: deslocamento do ponto A na direção y

yC = v + v : deslocamento do ponto C na direção y

uuxB 

'
xyC

C

'
yC

C
y

C
y

xq

yq

'
yA

C
x

A

A’

plano deformado

Relações entre Deslocamentos e Deformações

Conceito de Deformação

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

A

A’

z

x

y

u v

w

A’xy

uuxB 

Por definição, a deformação angular média do plano ABC é:

yxxyxyxym CABCABABC qq  ˆˆ

vvyC 

A

y

B

Bx

'
xyB

'
xyA

u

v

By

Bx

x

'

x
A '

x
B

vy

u

ux

v

vyy

ux

uxx

vy

CBcC

C

BB

B
mABC 



















'
xyC

C

'
yC

C
y

C
y

xq

yq

'
yA

C
x

A

A’

plano deformado

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Conceito de Deformação

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

A

A’

z

x

y

u v

w

A’xy

uuxB 

vvyC 

A

y

B

Bx

'
xyB

'
xyA

u

v

By

Bx

x

'

x
A '

x
B

vy

u

ux

v

vyy

ux

uxx

vy

CBcC

C

BB

B
mABC 



















'
xyC

C

'
yC

C
y

C
y

xq

yq

'
yA

C
x

ACAB

ABC

m

C

m

B

C

C

B

B
m

yuxv

yv

yu

xu

xv

 


















1111A

A’

plano deformado

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

A

A’

z

x

y

u v

w

A’xy

uuxB 

vvyC 

A

y

B

Bx

'
xyB

'
xyA

u

v

By

Bx

x

'

x
A '

x
B

'
xyC

C

'
yC

C
y

C
y

xq

yq

'
yA

C
x

ACAB

ABC

m

C

m

B

C

C

B

B
m

yuxv

yv

yu

xu

xv

 


















1111

,111 Como 
ACAB mm


CB

m
y

u

x

v
ABC







A

A’

plano deformado

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

A

A’

z

x

y

u v

w

A’xy

uuxB 

vvyC 

A

y

B

Bx

'
xyB

'
xyA

u

v

By

Bx

x

'

x
A '

x
B

'
xyC

C

'
yC

C
y

C
y

xq

yq

'
yA

C
x

Assim, a deformação angular do ponto A no plano xy é:

y

u

x

v

y

u

x

v

CB
y
x

m

AC
AB

xy

C

B
ABC 

















 











0
0

0
0

limlim 

,
y

u

x

v
xy











Logo,
e

z

v

y

w
yz









 .

x

w

z

u
zx











A

A’

plano deformado

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Conceito de Deformação

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

A

A’

z

x

y

u v

w

A’xy

Finalmente, as relações entre

deslocamentos e deformações são:

y

u

x

v
xy











z

v

y

w
yz











x

w

z

u
zx











x

u
x






y

v
y






z

w
z






deformações lineares

deformações angulares

A

A’

plano deformado

Relações entre Deslocamentos e Deformações

Conceito de Deformação

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Estados de Tensão:

xs

zs

ys

x

y

z
dx

dy

dz

Estado Triplo ou Triaxial

s

s

s

x

y

z
dx

dy

dz

Estado Triaxial Uniforme

ssss  zyx

Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Estados de Tensão:

Estado Plano

xs

ys

xyt

yxt

x

y

z
dx

dy

dz

xs

ys

xyt

yxt

x

y

dx

dy

notação alternativa

Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Estados de Tensão:

Estado Duplo ou Biaxial

xs

ys

x

y

dx

dy

s

s

x

y

dx

dy

Estado Biaxial Uniforme

sss  yx

Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Estados de Tensão:

Estado Simples

xs

x

y

dx

dy

xyt

yxt

x

y

dx

dy

Estado de Cisalhamento Puro

yxxy tt 

Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Estados de Deformação:

x

z

y

x

y

z
dx

dy

dz

Estado Triplo ou Triaxial







x

y

z
dx

dy

dz

Estado Triaxial Uniforme

  zyx

Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Estados de Deformação:

Estado Plano

x

y

xy

yx

x

y

z
dx

dy

dz

x

y

xy

yx

x

y

dx

dy

notação alternativa

Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Estados de Deformação:

Estado Duplo ou Biaxial

x

y

x

y

dx

dy





x

y

dx

dy

Estado Biaxial Uniforme

  yx

Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Estados de Deformação:

Estado Simples

x

x

y

dx

dy

xy

yx

x

y

dx

dy

Estado de Cisalhamento Puro

yxxy  

Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Relações entre Tensões e Deformações

Lei de Hooke:

Às tensões normais correspondem

deformações lineares

xsxs

xx s 

xy s 

xz s 

“As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite”

dx

x

y

dy

elemento indeformado

dxdx x