Aula 03 de Resistência I - Esforços 2
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dydy y

elemento deformado

Às tensões tangenciais correspondem

deformações angulares

xyxy t 

yxt

xyt

elemento deformado

1

2

21  xy

dx

x

y

dy

elemento indeformado

Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos
Deformáveis

Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES

Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Relações entre Tensões e Deformações

Lei de Hooke:

xsxs

“As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite”

dx

x

y

dy

elemento indeformado

dxdx x

dydy y

elemento deformado

Constantes de Proporcionalidade:

E
x

x

s
 

E
x

zy

s 

E: Módulo de Young ou Módulo

de Deformação Longitudinal

: Coeficiente de Poisson

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Relações entre Tensões e Deformações

Lei de Hooke:

“As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite”

yxt

xyt

elemento deformado

1

2

21  xy

dx

x

y

dy

elemento indeformado

Constantes de Proporcionalidade:

G

xy

xy

t
 

G: Módulo de Deformação Transversal

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Relações entre Tensões e Deformações

Lei de Hooke:

Constantes de Proporcionalidade:

“As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite”

E e G são também chamados de Módulos de Elasticidade

Longitudinal e Transversal, respectivamente, porque a Lei de Hooke

só é válida no regime elástico.

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Relações entre Tensões e Deformações

Lei de Hooke:

Princípio da Superposição dos Efeitos (PSE):

“As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite”

“Se é válida a Lei de Hooke, os efeitos de um sistema de ações sobre

um corpo sólido correspondem às somas dos efeitos de cada ação se-

paradamente”

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Relações entre Tensões e Deformações

Lei Generalizada de Hooke:

xs

zs

ys

xyt

yxt

yzt

zyt

zxt

xzt

x

y

z
dx

dy

dz

 zyxx
EE

sss 

Utilizando o PSE,

as somas das defor-

mações decorrentes

de cada componen-

te de tensão, no ca-

so geral de Estado

de Tensão em um

ponto, serão:

 xz
y

y
EE

ss
s

 

 yxzz
EE

sss 

G

xy

xy

t
 

G

yz

yz

t
 

G
zx

zx

t
 

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Relações entre Tensões e Deformações

Lei Generalizada de Hooke:

xs

zs

ys

xyt

yxt

yzt

zyt

zxt

xzt

x

y

z
dx

dy

dz

 










 zy

x
x 

s
1

1

Resolvendo para obter as tensões :

xyxy Gt 

 










 xz

y

y 


s
1

1

 










 yx

z
z 

s
1

1

yzyz Gt 

zxzx Gt 

  


211 


E
 e G são as
Constantes de Lamé

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I.2.2. Esforços nas Estruturas

Relações entre Tensões e Deformações

Observações:

Estado Simples

de Tensão

xs

x

y

dx

dy

x

z

y

x

y

z
dx

dy

dz

Estado Triplo de

Deformação

A um estado simples de

tensão corresponde um

estado triplo de deformação

E

E

x
zy

x
x

s


s






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I.2.2. Esforços nas Estruturas

Relações entre Tensões e Deformações

Observações:

Estado Simples

de Deformação

x

x

y

dx

dy

xs

zs

ys

x

y

z
dx

dy

dz

Estado Triplo de

Tensão

A um estado simples de

deformação corresponde

um estado triplo de tensão

 


ss




s






1
x

zy

x
x

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Relações entre Tensões e Deformações

Energia Potencial de Deformação:

Os esforços externos provocam deslocamentos e, portanto, realizam

TRABALHO.

KUW 

onde W é o trabalho realizado pelos esforços,

 U é a energia potencial do corpo deformado e

 K é a energia cinética da velocidade da massa do corpo.

0K
Como os esforços são aplicados lentamente, e

.UW 

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Relações entre Tensões e Deformações

Energia Potencial de Deformação:

Seja dw a variação do deslocamento na direção z.

O trabalho realizado pelo esforço N é dUN = Ndw.

wkN z

2

2w
kwdwkU z

w
zN  

dw

dz

N N

O esforço N é proporcional ao deslocamento w.

2

Nw
UN 

wdwkdU zN 

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I.2.2. Esforços nas Estruturas

Relações entre Tensões e Deformações

Energia Potencial de Deformação:

Seja dw a variação do deslocamento na direção z.

O trabalho realizado pelo esforço N é dUN = Ndw.

dw

dz

N N

O esforço N é proporcional ao deslocamento w.

dwdNdU .
2

1


2

Nw
U N 

é a variação da energia que se acumula no corpo durante o processo

de deformação.

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Relações entre Tensões e Deformações

Energia Potencial de Deformação:

Seja dw a variação do deslocamento na direção z.

O trabalho realizado pelo esforço N é dU = Ndw.

dw

dz

N N

O esforço N é proporcional ao deslocamento w.

dwdNdU .
2

1


  dzdAdU zz s .
2

1
 zz

dV

dU s
2

1
 

xs

x

dV

dU

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I.2.2. Esforços nas Estruturas

Relações entre Tensões e Deformações

Energia Potencial de Deformação:

Como a energia é uma grandeza escalar,

 zxzxyzyzxyxyzzyyxx
dV

dU tttsss 
2

1

é a energia potencial de deformação acumulada em um elemento

de volume infinitesimal dV=dx.dy.dz.

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Relações entre Tensões e Deformações

Energia Potencial de Deformação:

Seja o estado de cisalhamento puro.

Em um plano inclinado de 45º, tem-se:

xyt

yxt

x

y

dx

dy

45s

45t

0
2

2

2

2
20 45 













 dAdAF xyn ts



xyts 45

0
2

2

2

2

2

2

2

2
0 45 



























 dAdAdAF xyxyt ttt  045 t

dA

2

2
dA

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Cap. I: Conceitos Preliminares

I.2.2. Esforços nas Estruturas

Relações entre Tensões e Deformações

Energia Potencial de Deformação:

Repetindo o raciocínio para um plano

perpendicular ao plano inclinado

considerado (-45º):

xyt

yxt

x

y

dx

dy

45s

45t

xyts 45
e

045 t

Logo, são equivalentes os

seguintes estados de tensão: