Aula 03 de Resistência I - Esforços 2
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Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES 
Aula 03 
continuação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.1. O que é a Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
I.2. Elementos Básicos 
 I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
 I.2.2. Esforços nas Estruturas 
 I.2.3. Características Mecânicas dos Materiais 
I.3. Problemas e Métodos 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Conceito de Tensão 
A\uf044
F
\uf072
\uf044
Reduzindo os esforços distribuídos ao 
longo de uma área elementar a um ponto 
qualquer desta área: 
Tensão Média: 
Tensão num Ponto: 
A
F
m
\uf044
\uf044
\uf03d\uf072
dA
dF
A
F
A
\uf03d
\uf044
\uf044
\uf03d
\uf0ae\uf044 0
lim\uf072
 :A\uf044
área elementar 
força elementar 
 :F
\uf072
\uf044
:M
\uf072
\uf044
momento elementar 
(desprezível) 
A unidade de tensão é, portanto, unidade de 
\u201cforça / comprimento2 \u201d: N/m2, kN/cm2, MPa, 
GPa, etc. 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
A tensão num ponto pode ser decomposta em: 
Tensão Normal sz, na direção normal z e 
Tensão de Cisalhamento tz, na direção 
tangencial (plano x-y, normal à direção z). 
\uf072
A Tensão de Cisalhamento tz pode ser 
decomposta em duas componentes: 
tzx, na direção x, e tzy, na direção y. 
zs
zt
x
y
z
Conceito de Tensão 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
A tensão de cisalhamento se opõe à força de 
atrito entre as moléculas do corpo, que 
impede a sua separação por deslizamento ou 
cisalhamento. 
A tensão normal se opõe à força de coesão 
entre as moléculas do corpo, que impede a sua 
separação por afastamento ou esmagamento. 
\uf072
zs
zt
x
y
z
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Por um ponto qualquer de um corpo pode-se 
passar infinitos planos. Logo, para cada ponto 
do corpo solicitado, existe um conjunto 
infinito de valores da tensão \uf072 ou de suas 
componentes s e t. A este conjunto dá-se o 
nome de Estado de Tensão no Ponto. 
\uf072
zs
zt
x
y
z
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
O Estado de Tensão Num Ponto pode, no 
entanto, ser definido a partir do conhecimento 
das componentes s e t em apenas três planos 
ortogonais entre si que contenham o ponto. 
Se dx, dy e dz são as distâncias infinitesimais 
entre planos paralelos que isolem um ponto P, 
o paralelepípedo resultante da interseção 
destes planos entre si pode ser utilizado para 
representar este ponto. 
P
x
y
z
dx
dz
dy
representação 
do ponto P 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
As componentes de tensão nas facetas deste 
paralelepípedo elementar são: sx, txy, txz, sy, 
tyz, tyx, sz, tzx e tzy. As forças resultantes nes-
tas facetas constituem um sistema em equilí-
brio estático. 
xs
zs
ys
xyt
yxt
yzt
zyt
zxt
xzt
Em um plano inclinado em relação aos planos 
das facetas do paralelepípedo agem as compo-
nentes sn e tn. Este plano também contém o 
ponto. 
n
t
ns
nt
xs
xyt
xzt
zxt
zs
zyt
yzt
yxt
ys
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I.2.2. Esforços nas Estruturas 
sn é a tensão normal e tn a tensão de cisalha-
mento neste plano (n é o eixo normal ao plano 
e t é um eixo tangente). 
A partir das condições de equilíbrio estático, 
 SFn = 0 e SFt = 0 
obtém-se as componentes sn e tn em função 
de sx, txy, txz, sy, tyz, tyx, sz, tzx, tzy e dos 
cossenos diretores da normal n. 
n
t
ns
nt
xs
xyt
xzt
zxt
zs
zyt
yzt
yxt
ys
xs
zs
ys
xyt
yxt
yzt
zyt
zxt
xzt
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Assim, conhecendo-se as componentes de 
tensão em três planos arbitrários, ortogonais 
entre si, pode-se conhecer as componentes em 
qualquer outro plano que contenha o ponto, 
por meio de fórmulas de recorrência obtidas a 
partir das citadas condições de equilíbrio 
estático das forças elementares que atuam nas 
facetas do tetraedro infinitesimal indicado. 
n
t
ns
nt
xs
xyt
xzt
zxt
zs
zyt
yzt
yxt
ys
xs
zs
ys
xyt
yxt
yzt
zyt
zxt
xzt
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I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Desta forma, o Estado de Tensão Num Ponto 
pode ser representado, como dito, pelas com-
ponentes em três planos ortogonais arbitrá-
rios: sx, txy, txz, sy, tyz, tyx, sz, tzx e tzy. 
Da condição de equilíbrio de momentos em 
torno do eixo x indicado, tem-se: 
SMx = 0 a (tyzdxdz)dy \u2013 (tzydxdy)dz = 0 
xs
zs
ys
xyt
yxt
yzt
zyt
zxt
xzt
x
y
z
dx
dy
dz
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I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Logo, tyz = tzy . 
Analogamente, 
txy = tyx e tzx = txz. 
Teorema: \u201cEm planos ortogonais, as tensões de cisalhamento são 
iguais e formam binários em sentidos opostos\u201d 
xs
zs
ys
xyt
yxt
yzt
zyt
zxt
xzt
x
y
z
dx
dy
dz
Assim, são seis as componentes que definem o Estado de Tensão 
Num Ponto: sx, sy, sz, txy, tyz, e tzx. 
x
y
xyt
yxt
xs
ys
Conceito de Tensão 
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I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Logo, tyz = tzy . 
Analogamente, 
txy = tyx e tzx = txz. 
Teorema: \u201cEm planos ortogonais, as tensões de cisalhamento são 
iguais e formam binários em sentidos opostos\u201d 
xs
zs
ys
xyt
yxt
yzt
zyt
zxt
xzt
x
y
z
dx
dy
dz
Convenção 
de Sinais: 
x
y
xyt
yxt
xs
ys
xs
+ 
xs
_ 
xyt+ xyt
_ 
Conceito de Tensão 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Se sz, tzx e tzy são as componentes de tensão 
num ponto qualquer do plano x-y, os 
esforços elementares correspondentes são: 
.dAdN zs\uf03d,dAdV zxx t\uf03d
e dAdV zyy t\uf03d
zs
zxt
x
y
z
zyt
dN
xdV
x
y
z
ydV
Relações entre Esforços Internos e Tensões 
Conceito de Tensão 
Integrando estes esforços elementares: 
dAN
A
z\uf0f2\uf03d s\uf0f2\uf03d A zxx dAV t \uf0f2\uf03d A zyy dAV t
esforço cortante 
na direção x 
esforço normal esforço cortante 
na direção y 
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I.2.2. Esforços nas Estruturas 
zs
zxt
x
y
z
zyt
dN
xdV
x
y
z
ydV
Os momentos elementares em torno 
dos eixos de referência são: 
y
x
x
y
dA
dxdydA \uf03d
,dAyydNdM zx s\uf03d\uf03d e dAxxdNdM zy s\uf02d\uf03d\uf02d\uf03d
dAydAxydVxdVdMdT