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Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Aula 03 continuação Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.1. O que é a Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis I.2. Elementos Básicos I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas I.2.2. Esforços nas Estruturas I.2.3. Características Mecânicas dos Materiais I.3. Problemas e Métodos Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão A F Reduzindo os esforços distribuídos ao longo de uma área elementar a um ponto qualquer desta área: Tensão Média: Tensão num Ponto: A F m dA dF A F A 0 lim :A área elementar força elementar :F :M momento elementar (desprezível) A unidade de tensão é, portanto, unidade de “força / comprimento2 ”: N/m2, kN/cm2, MPa, GPa, etc. Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas A tensão num ponto pode ser decomposta em: Tensão Normal sz, na direção normal z e Tensão de Cisalhamento tz, na direção tangencial (plano x-y, normal à direção z). A Tensão de Cisalhamento tz pode ser decomposta em duas componentes: tzx, na direção x, e tzy, na direção y. zs zt x y z Conceito de Tensão Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas A tensão de cisalhamento se opõe à força de atrito entre as moléculas do corpo, que impede a sua separação por deslizamento ou cisalhamento. A tensão normal se opõe à força de coesão entre as moléculas do corpo, que impede a sua separação por afastamento ou esmagamento. zs zt x y z Conceito de Tensão Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Por um ponto qualquer de um corpo pode-se passar infinitos planos. Logo, para cada ponto do corpo solicitado, existe um conjunto infinito de valores da tensão ou de suas componentes s e t. A este conjunto dá-se o nome de Estado de Tensão no Ponto. zs zt x y z Conceito de Tensão Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas O Estado de Tensão Num Ponto pode, no entanto, ser definido a partir do conhecimento das componentes s e t em apenas três planos ortogonais entre si que contenham o ponto. Se dx, dy e dz são as distâncias infinitesimais entre planos paralelos que isolem um ponto P, o paralelepípedo resultante da interseção destes planos entre si pode ser utilizado para representar este ponto. P x y z dx dz dy representação do ponto P Conceito de Tensão Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas As componentes de tensão nas facetas deste paralelepípedo elementar são: sx, txy, txz, sy, tyz, tyx, sz, tzx e tzy. As forças resultantes nes- tas facetas constituem um sistema em equilí- brio estático. xs zs ys xyt yxt yzt zyt zxt xzt Em um plano inclinado em relação aos planos das facetas do paralelepípedo agem as compo- nentes sn e tn. Este plano também contém o ponto. n t ns nt xs xyt xzt zxt zs zyt yzt yxt ys Conceito de Tensão Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas sn é a tensão normal e tn a tensão de cisalha- mento neste plano (n é o eixo normal ao plano e t é um eixo tangente). A partir das condições de equilíbrio estático, SFn = 0 e SFt = 0 obtém-se as componentes sn e tn em função de sx, txy, txz, sy, tyz, tyx, sz, tzx, tzy e dos cossenos diretores da normal n. n t ns nt xs xyt xzt zxt zs zyt yzt yxt ys xs zs ys xyt yxt yzt zyt zxt xzt Conceito de Tensão Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Assim, conhecendo-se as componentes de tensão em três planos arbitrários, ortogonais entre si, pode-se conhecer as componentes em qualquer outro plano que contenha o ponto, por meio de fórmulas de recorrência obtidas a partir das citadas condições de equilíbrio estático das forças elementares que atuam nas facetas do tetraedro infinitesimal indicado. n t ns nt xs xyt xzt zxt zs zyt yzt yxt ys xs zs ys xyt yxt yzt zyt zxt xzt Conceito de Tensão Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Desta forma, o Estado de Tensão Num Ponto pode ser representado, como dito, pelas com- ponentes em três planos ortogonais arbitrá- rios: sx, txy, txz, sy, tyz, tyx, sz, tzx e tzy. Da condição de equilíbrio de momentos em torno do eixo x indicado, tem-se: SMx = 0 a (tyzdxdz)dy – (tzydxdy)dz = 0 xs zs ys xyt yxt yzt zyt zxt xzt x y z dx dy dz Conceito de Tensão Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Logo, tyz = tzy . Analogamente, txy = tyx e tzx = txz. Teorema: “Em planos ortogonais, as tensões de cisalhamento são iguais e formam binários em sentidos opostos” xs zs ys xyt yxt yzt zyt zxt xzt x y z dx dy dz Assim, são seis as componentes que definem o Estado de Tensão Num Ponto: sx, sy, sz, txy, tyz, e tzx. x y xyt yxt xs ys Conceito de Tensão Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Logo, tyz = tzy . Analogamente, txy = tyx e tzx = txz. Teorema: “Em planos ortogonais, as tensões de cisalhamento são iguais e formam binários em sentidos opostos” xs zs ys xyt yxt yzt zyt zxt xzt x y z dx dy dz Convenção de Sinais: x y xyt yxt xs ys xs + xs _ xyt+ xyt _ Conceito de Tensão Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Se sz, tzx e tzy são as componentes de tensão num ponto qualquer do plano x-y, os esforços elementares correspondentes são: .dAdN zs,dAdV zxx t e dAdV zyy t zs zxt x y z zyt dN xdV x y z ydV Relações entre Esforços Internos e Tensões Conceito de Tensão Integrando estes esforços elementares: dAN A z s A zxx dAV t A zyy dAV t esforço cortante na direção x esforço normal esforço cortante na direção y Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas zs zxt x y z zyt dN xdV x y z ydV Os momentos elementares em torno dos eixos de referência são: y x x y dA dxdydA ,dAyydNdM zx s e dAxxdNdM zy s dAydAxydVxdVdMdT