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Aula 03 de Resistência I - Esforços 2
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Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Aula 03 continuação Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.1. O que é a Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis I.2. Elementos Básicos I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas I.2.2. Esforços nas Estruturas I.2.3. Características Mecânicas dos Materiais I.3. Problemas e Métodos Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Tensão A F Reduzindo os esforços distribuídos ao longo de uma área elementar a um ponto qualquer desta área: Tensão Média: Tensão num Ponto: A F m dA dF A F A 0 lim :A área elementar força elementar :F :M momento elementar (desprezível) A unidade de tensão é, portanto, unidade de “força / comprimento2 ”: N/m2, kN/cm2, MPa, GPa, etc. Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas A tensão num ponto pode ser decomposta em: Tensão Normal sz, na direção normal z e Tensão de Cisalhamento tz, na direção tangencial (plano x-y, normal à direção z). A Tensão de Cisalhamento tz pode ser decomposta em duas componentes: tzx, na direção x, e tzy, na direção y. zs zt x y z Conceito de Tensão Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas A tensão de cisalhamento se opõe à força de atrito entre as moléculas do corpo, que impede a sua separação por deslizamento ou cisalhamento. A tensão normal se opõe à força de coesão entre as moléculas do corpo, que impede a sua separação por afastamento ou esmagamento. zs zt x y z Conceito de Tensão Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Por um ponto qualquer de um corpo pode-se passar infinitos planos. Logo, para cada ponto do corpo solicitado, existe um conjunto infinito de valores da tensão ou de suas componentes s e t. A este conjunto dá-se o nome de Estado de Tensão no Ponto. zs zt x y z Conceito de Tensão Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas O Estado de Tensão Num Ponto pode, no entanto, ser definido a partir do conhecimento das componentes s e t em apenas três planos ortogonais entre si que contenham o ponto. Se dx, dy e dz são as distâncias infinitesimais entre planos paralelos que isolem um ponto P, o paralelepípedo resultante da interseção destes planos entre si pode ser utilizado para representar este ponto. P x y z dx dz dy representação do ponto P Conceito de Tensão Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas As componentes de tensão nas facetas deste paralelepípedo elementar são: sx, txy, txz, sy, tyz, tyx, sz, tzx e tzy. As forças resultantes nes- tas facetas constituem um sistema em equilí- brio estático. xs zs ys xyt yxt yzt zyt zxt xzt Em um plano inclinado em relação aos planos das facetas do paralelepípedo agem as compo- nentes sn e tn. Este plano também contém o ponto. n t ns nt xs xyt xzt zxt zs zyt yzt yxt ys Conceito de Tensão Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas sn é a tensão normal e tn a tensão de cisalha- mento neste plano (n é o eixo normal ao plano e t é um eixo tangente). A partir das condições de equilíbrio estático, SFn = 0 e SFt = 0 obtém-se as componentes sn e tn em função de sx, txy, txz, sy, tyz, tyx, sz, tzx, tzy e dos cossenos diretores da normal n. n t ns nt xs xyt xzt zxt zs zyt yzt yxt ys xs zs ys xyt yxt yzt zyt zxt xzt Conceito de Tensão Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Assim, conhecendo-se as componentes de tensão em três planos arbitrários, ortogonais entre si, pode-se conhecer as componentes em qualquer outro plano que contenha o ponto, por meio de fórmulas de recorrência obtidas a partir das citadas condições de equilíbrio estático das forças elementares que atuam nas facetas do tetraedro infinitesimal indicado. n t ns nt xs xyt xzt zxt zs zyt yzt yxt ys xs zs ys xyt yxt yzt zyt zxt xzt Conceito de Tensão Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Desta forma, o Estado de Tensão Num Ponto pode ser representado, como dito, pelas com- ponentes em três planos ortogonais arbitrá- rios: sx, txy, txz, sy, tyz, tyx, sz, tzx e tzy. Da condição de equilíbrio de momentos em torno do eixo x indicado, tem-se: SMx = 0 a (tyzdxdz)dy – (tzydxdy)dz = 0 xs zs ys xyt yxt yzt zyt zxt xzt x y z dx dy dz Conceito de Tensão Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Logo, tyz = tzy . Analogamente, txy = tyx e tzx = txz. Teorema: “Em planos ortogonais, as tensões de cisalhamento são iguais e formam binários em sentidos opostos” xs zs ys xyt yxt yzt zyt zxt xzt x y z dx dy dz Assim, são seis as componentes que definem o Estado de Tensão Num Ponto: sx, sy, sz, txy, tyz, e tzx. x y xyt yxt xs ys Conceito de Tensão Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Logo, tyz = tzy . Analogamente, txy = tyx e tzx = txz. Teorema: “Em planos ortogonais, as tensões de cisalhamento são iguais e formam binários em sentidos opostos” xs zs ys xyt yxt yzt zyt zxt xzt x y z dx dy dz Convenção de Sinais: x y xyt yxt xs ys xs + xs _ xyt+ xyt _ Conceito de Tensão Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Se sz, tzx e tzy são as componentes de tensão num ponto qualquer do plano x-y, os esforços elementares correspondentes são: .dAdN zs,dAdV zxx t e dAdV zyy t zs zxt x y z zyt dN xdV x y z ydV Relações entre Esforços Internos e Tensões Conceito de Tensão Integrando estes esforços elementares: dAN A z s A zxx dAV t A zyy dAV t esforço cortante na direção x esforço normal esforço cortante na direção y Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas zs zxt x y z zyt dN xdV x y z ydV Os momentos elementares em torno dos eixos de referência são: y x x y dA dxdydA ,dAyydNdM zx s e dAxxdNdM zy s dAydAxydVxdVdMdTzxzyxyz tt Relações entre Esforços Internos e Tensões Conceito de Tensão Integrando estes momentos elementares: dAyM A zx s A zy dAxM s A zxzy dAyxT tt momentos fletores em torno de x e de y momento torsor dT xdM ydM dN xdV x y z ydV x y Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Conceito de Deformação Sejam AB e AC dois segmentos de reta defi- nindo um plano do corpo e formando um ân- gulo q entre si. A B C q plano indeformado A’ B’ C’ q’ plano deformado O corpo se deforma após a ação dos esforços e, consequentemente, os pontos A, B e C se deslocam para as posições A’, B’ e C’, respec- tivamente. Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas A B C q plano indeformado A’ B’ C’ q’ plano deformado Deformação Linear Média: ,C'A' e AC e B'A' e AB Se ttt sss t t AC ACCA s s AB ABBA ACAB mm e Conceito de Deformação Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas A B C q plano indeformado A’ B’ C’ q’ plano deformado Se x é o eixo orientado que define a direção do segmento AB e y o eixo orientado que define a direção do segmento AC, Deformação Linear de um Ponto: x y ABmAB x 0 lim e ACmAC y 0 lim O conceito de deformação linear de um ponto pressupõe a direção na qual é medida. Conceito de Deformação Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas A B C q plano indeformado A’ B’ C’ q’ plano deformado x é a deformação linear do ponto A na direção x e y é a deformação linear do ponto A na direção y. x y Deformação Linear é uma grandeza adimensional. Pode ser expressa em %. Conceito de Deformação Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas A B C q plano indeformado A’ B’ C’ q’ plano deformado Deformação Angular Média: ,C''AˆB' e CAˆB Se qqq q CAˆBCAˆB ABCm Conceito de Deformação Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas A B C q plano indeformado A’ B’ C’ q’ plano deformado Se x é o eixo orientado que define a direção do segmento AB e y o eixo orientado que define a direção do segmento AC, Deformação Angular de um Ponto: x y ABCm AC AB xy 0 0 lim O conceito de deformação angular de um ponto pressupõe o plano na qual é medida. Conceito de Deformação Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas A B C q plano indeformado A’ B’ C’ q’ plano deformado xy é a deformação angular do ponto A no plano xy. x y Deformação Angular é uma grandeza adimensional. Deve ser expressa em rd. Conceito de Deformação Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Por um ponto qualquer de um corpo pode-se passar infinitos planos. Logo, para cada ponto do corpo solicitado, existe um conjunto infini- to de valores das deformações e . A este conjunto dá-se o nome de Estado de Defor- mação no Ponto. A B C q plano indeformado A’ B’ C’ q’ plano deformado Conceito de Deformação Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Analogamente ao Estado de Tensão, o Estado de Deformação Num Ponto também pode ser definido a partir do conhecimento das deformações e em apenas três planos ortogonais entre si que contenham o ponto. Representado o ponto pelo paralelepípedo elementar, as deformações em suas facetas são: x, y, z, xy, yz e zx. x z y xy xy yz yz zx zx Conceito de Deformação Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas x: deformação linear na direção x, y: deformação linear na direção y, z: deformação linear na direção z, xy: deformação angular no plano x-y, yz : deformação angular no plano y-z, zx : deformação angular no plano z-x. x z y xy xy yz yz zx zx Conceito de Deformação Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas A A’ plano deformado Decompondo este deslocamento em direções x, y e z tri-ortogonaias arbitrárias: Seja o deslocamento do ponto A após a deformação do corpo solicitado. AA' u: deslocamento do ponto A na direção x v: deslocamento do ponto A na direção y w: deslocamento do ponto A na direção z A A’ z x y u v w Relações entre Deslocamentos e Deformações Conceito de Deformação Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Supondo um ponto B sobre o eixo x, após a deforma- ção, este ponto se deslocará para uma posição B’. A A’ z x y u v w : projeção do ponto A’ no plano x-y ' xyA ' xyB : projeção do ponto B’ no plano x-y A’xy A y B Bx ' xyB ' xyA u v By Bx x ' x A ' x B A A’ plano deformado Relações entre Deslocamentos e Deformações Conceito de Deformação Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas xB: coordenada do ponto B segundo o eixo x A A’ z x y u v w A’xy u: deslocamento do ponto A na direção x xB = u + u : deslocamento do ponto B na direção x A y B Bx ' xyB ' xyA u v By Bx x ' x A ' x B A A’ plano deformado Relações entre Deslocamentos e Deformações Conceito de Deformação Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Por definição, a deformação linear média do segmento AB é: A A’ z x y u v w A’xy B B B BBBxx m x ux x xuxx AB ABBA AB BB m x u x uuu AB uuxB A y B Bx ' xyB ' xyA u v By Bx x ' x A ' x B A A’ plano deformado Relações entre Deslocamentos e Deformações Conceito de Deformação Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Assim, a deformação linear do ponto A na direção x é: A A’ z x y u v w A’xy A y B Bx ' xyB ' xyA u v By Bx x ' x A ' x B x u x u B x m AB x B AB 00 limlim , x u x e y vy .z w z Logo, uuxB A A’ plano deformado Relações entre Deslocamentos e Deformações Conceito de Deformação Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas A A’ z x y u v w A’xy Supondo um ponto C sobre o eixo y, após a deforma- ção, este ponto se deslocará para uma posição C’. : projeção do ponto C’ no plano x-y ' xyC A y B Bx ' xyB ' xyA u v By Bx x ' x A ' x B uuxB ' xyC C ' yC C y C y xq yq ' yA C x A A’ plano deformado Relações entre Deslocamentos e Deformações Conceito de Deformação Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas A A’ z x y u v w A’xy A y B Bx ' xyB ' xyA u v By Bx x ' x A ' x B yC: coordenada do ponto C segundo o eixo y v: deslocamento do ponto A na direção y yC = v + v : deslocamento do ponto C na direção y uuxB ' xyC C ' yC C y C y xq yq ' yA C x A A’ plano deformado Relações entre Deslocamentos e Deformações Conceito de Deformação Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas A A’ z x y u v w A’xy uuxB Por definição, a deformação angular média do plano ABC é: yxxyxyxym CABCABABC qq ˆˆ vvyC A y B Bx ' xyB ' xyA u v By Bx x ' x A ' x B vy u ux v vyy ux uxx vy CBcC C BB B mABC ' xyC C ' yC C y C y xq yq ' yA C x A A’ plano deformado Relações entre Deslocamentos e Deformações Conceito de Deformação Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas A A’ z x y u v w A’xy uuxB vvyC A y B Bx ' xyB ' xyA u v By Bx x ' x A ' x B vy u ux v vyy ux uxx vy CBcC C BB B mABC ' xyC C ' yC C y C y xq yq ' yA C x ACAB ABC m C m B C C B B m yuxv yv yu xu xv 1111A A’ plano deformado Relações entre Deslocamentos e Deformações Conceito de Deformação Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas A A’ z x y u v w A’xy uuxB vvyC A y B Bx ' xyB ' xyA u v By Bx x ' x A ' x B ' xyC C ' yC C y C y xq yq ' yA C x ACAB ABC m C m B C C B B m yuxv yv yu xu xv 1111 ,111 Como ACAB mm CB m y u x v ABC A A’ plano deformado Relações entre Deslocamentos e Deformações Conceito de Deformação Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas A A’ z x y u v w A’xy uuxB vvyC A y B Bx ' xyB ' xyA u v By Bx x ' x A ' x B ' xyC C ' yC C y C y xq yq ' yA C x Assim, a deformação angular do ponto A no plano xy é: y u x v y u x v CB y x m AC AB xy C B ABC 0 0 0 0 limlim , y u x v xy Logo, e z v y w yz . x w z u zx A A’ plano deformado Relações entre Deslocamentos e Deformações Conceito de Deformação Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas A A’ z x y u v w A’xy Finalmente, as relações entre deslocamentos e deformações são: y u x v xy z v y w yz x w z u zx x u x y v y z w z deformações lineares deformações angulares A A’ plano deformado Relações entre Deslocamentos e Deformações Conceito de Deformação Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Estados de Tensão: xs zs ys x y z dx dy dz Estado Triplo ou Triaxial s s s x y z dx dy dz Estado Triaxial Uniforme ssss zyx Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Estados de Tensão: Estado Plano xs ys xyt yxt x y z dx dy dz xs ys xyt yxt x y dx dy notação alternativa Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Estados de Tensão: Estado Duplo ou Biaxial xs ys x y dx dy s s x y dx dy Estado Biaxial Uniforme sss yx Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Estados de Tensão: Estado Simples xs x y dx dy xyt yxt x y dx dy Estado de Cisalhamento Puro yxxy tt Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Estados de Deformação: x z y x y z dx dy dz Estado Triplo ou Triaxial x y z dx dy dz Estado Triaxial Uniforme zyx Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Estados de Deformação: Estado Plano x y xy yx x y z dx dy dz x y xy yx x y dx dy notação alternativa Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Estados de Deformação: Estado Duplo ou Biaxial x y x y dx dy x y dx dy Estado Biaxial Uniforme yx Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Estados de Deformação: Estado Simples x x y dx dy xy yx x y dx dy Estado de Cisalhamento Puro yxxy Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Lei de Hooke: Às tensões normais correspondem deformações lineares xsxs xx s xy s xz s “As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite” dx x y dy elemento indeformado dxdx xdydy y elemento deformado Às tensões tangenciais correspondem deformações angulares xyxy t yxt xyt elemento deformado 1 2 21 xy dx x y dy elemento indeformado Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Lei de Hooke: xsxs “As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite” dx x y dy elemento indeformado dxdx x dydy y elemento deformado Constantes de Proporcionalidade: E x x s E x zy s E: Módulo de Young ou Módulo de Deformação Longitudinal : Coeficiente de Poisson Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Lei de Hooke: “As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite” yxt xyt elemento deformado 1 2 21 xy dx x y dy elemento indeformado Constantes de Proporcionalidade: G xy xy t G: Módulo de Deformação Transversal Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Lei de Hooke: Constantes de Proporcionalidade: “As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite” E e G são também chamados de Módulos de Elasticidade Longitudinal e Transversal, respectivamente, porque a Lei de Hooke só é válida no regime elástico. Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Lei de Hooke: Princípio da Superposição dos Efeitos (PSE): “As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite” “Se é válida a Lei de Hooke, os efeitos de um sistema de ações sobre um corpo sólido correspondem às somas dos efeitos de cada ação se- paradamente” Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Lei Generalizada de Hooke: xs zs ys xyt yxt yzt zyt zxt xzt x y z dx dy dz zyxx EE sss Utilizando o PSE, as somas das defor- mações decorrentes de cada componen- te de tensão, no ca- so geral de Estado de Tensão em um ponto, serão: xz y y EE ss s yxzz EE sss G xy xy t G yz yz t G zx zx t Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Lei Generalizada de Hooke: xs zs ys xyt yxt yzt zyt zxt xzt x y z dx dy dz zy x x s 1 1 Resolvendo para obter as tensões : xyxy Gt xz y y s 1 1 yx z z s 1 1 yzyz Gt zxzx Gt 211 E e G são as Constantes de Lamé Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Observações: Estado Simples de Tensão xs x y dx dy x z y x y z dx dy dz Estado Triplo de Deformação A um estado simples de tensão corresponde um estado triplo de deformação E E x zy x x s s Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Observações: Estado Simples de Deformação x x y dx dy xs zs ys x y z dx dy dz Estado Triplo de Tensão A um estado simples de deformação corresponde um estado triplo de tensão ss s 1 x zy x x Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação: Os esforços externos provocam deslocamentos e, portanto, realizam TRABALHO. KUW onde W é o trabalho realizado pelos esforços, U é a energia potencial do corpo deformado e K é a energia cinética da velocidade da massa do corpo. 0K Como os esforços são aplicados lentamente, e .UW Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação: Seja dw a variação do deslocamento na direção z. O trabalho realizado pelo esforço N é dUN = Ndw. wkN z 2 2w kwdwkU z w zN dw dz N N O esforço N é proporcional ao deslocamento w. 2 Nw UN wdwkdU zN Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação: Seja dw a variação do deslocamento na direção z. O trabalho realizado pelo esforço N é dUN = Ndw. dw dz N N O esforço N é proporcional ao deslocamento w. dwdNdU . 2 1 2 Nw U N é a variação da energia que se acumula no corpo durante o processo de deformação. Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação: Seja dw a variação do deslocamento na direção z. O trabalho realizado pelo esforço N é dU = Ndw. dw dz N N O esforço N é proporcional ao deslocamento w. dwdNdU . 2 1 dzdAdU zz s . 2 1 zz dV dU s 2 1 xs x dV dU Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação: Como a energia é uma grandeza escalar, zxzxyzyzxyxyzzyyxx dV dU tttsss 2 1 é a energia potencial de deformação acumulada em um elemento de volume infinitesimal dV=dx.dy.dz. Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação: Seja o estado de cisalhamento puro. Em um plano inclinado de 45º, tem-se: xyt yxt x y dx dy 45s 45t 0 2 2 2 2 20 45 dAdAF xyn ts xyts 45 0 2 2 2 2 2 2 2 2 0 45 dAdAdAF xyxyt ttt 045 t dA 2 2 dA Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação: Repetindo o raciocínio para um plano perpendicular ao plano inclinado considerado (-45º): xyt yxt x y dx dy 45s 45t xyts 45 e 045 t Logo, são equivalentes os seguintes estados de tensão:xyts xyts 45º cisalhamento puro biaxial xyt yxt x y dx dy Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação: A energia potencial de deformação unitária para o estado de cisalhamento puro é: GdV dU xy xyxy 22 1 2t t Para o estado biaxial é: yxxyyyxx dV dU tss 22 1 tss 1 EEE xyyx x tss 1 EEE xyxy y Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação: A energia potencial de deformação unitária para o estado de cisalhamento puro é: GdV dU xy xyxy 22 1 2t t Para o estado biaxial é: yxxyyyxx dV dU tss 22 1 t 1 2 EdV dU xy Igualando as duas expressões: 12 E G Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. I: Conceitos Preliminares I.2.2. Esforços nas Estruturas Relações entre Tensões e Deformações Energia Potencial de Deformação: Em suma, as constantes de Lamé podem ser escritas em função do Módulo de Elasticidade e do Coeficiente de Poisson como: 211 E 12 E G e Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Fim da Aula 03
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