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Aula 03 de Resistência I - Esforços 2

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Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Aula 03 
continuação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.1. O que é a Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
I.2. Elementos Básicos 
 I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas 
 I.2.2. Esforços nas Estruturas 
 I.2.3. Características Mecânicas dos Materiais 
I.3. Problemas e Métodos 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Conceito de Tensão 
A
F


Reduzindo os esforços distribuídos ao 
longo de uma área elementar a um ponto 
qualquer desta área: 
Tensão Média: 
Tensão num Ponto: 
A
F
m



dA
dF
A
F
A




 0
lim
 :A
área elementar 
força elementar 
 :F


:M


momento elementar 
(desprezível) 
A unidade de tensão é, portanto, unidade de 
“força / comprimento2 ”: N/m2, kN/cm2, MPa, 
GPa, etc. 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
A tensão num ponto pode ser decomposta em: 
Tensão Normal sz, na direção normal z e 
Tensão de Cisalhamento tz, na direção 
tangencial (plano x-y, normal à direção z). 

A Tensão de Cisalhamento tz pode ser 
decomposta em duas componentes: 
tzx, na direção x, e tzy, na direção y. 
zs
zt
x
y
z
Conceito de Tensão 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
A tensão de cisalhamento se opõe à força de 
atrito entre as moléculas do corpo, que 
impede a sua separação por deslizamento ou 
cisalhamento. 
A tensão normal se opõe à força de coesão 
entre as moléculas do corpo, que impede a sua 
separação por afastamento ou esmagamento. 

zs
zt
x
y
z
Conceito de Tensão 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Por um ponto qualquer de um corpo pode-se 
passar infinitos planos. Logo, para cada ponto 
do corpo solicitado, existe um conjunto 
infinito de valores da tensão  ou de suas 
componentes s e t. A este conjunto dá-se o 
nome de Estado de Tensão no Ponto. 

zs
zt
x
y
z
Conceito de Tensão 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
O Estado de Tensão Num Ponto pode, no 
entanto, ser definido a partir do conhecimento 
das componentes s e t em apenas três planos 
ortogonais entre si que contenham o ponto. 
Se dx, dy e dz são as distâncias infinitesimais 
entre planos paralelos que isolem um ponto P, 
o paralelepípedo resultante da interseção 
destes planos entre si pode ser utilizado para 
representar este ponto. 
P
x
y
z
dx
dz
dy
representação 
do ponto P 
Conceito de Tensão 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
As componentes de tensão nas facetas deste 
paralelepípedo elementar são: sx, txy, txz, sy, 
tyz, tyx, sz, tzx e tzy. As forças resultantes nes-
tas facetas constituem um sistema em equilí-
brio estático. 
xs
zs
ys
xyt
yxt
yzt
zyt
zxt
xzt
Em um plano inclinado em relação aos planos 
das facetas do paralelepípedo agem as compo-
nentes sn e tn. Este plano também contém o 
ponto. 
n
t
ns
nt
xs
xyt
xzt
zxt
zs
zyt
yzt
yxt
ys
Conceito de Tensão 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
sn é a tensão normal e tn a tensão de cisalha-
mento neste plano (n é o eixo normal ao plano 
e t é um eixo tangente). 
A partir das condições de equilíbrio estático, 
 SFn = 0 e SFt = 0 
obtém-se as componentes sn e tn em função 
de sx, txy, txz, sy, tyz, tyx, sz, tzx, tzy e dos 
cossenos diretores da normal n. 
n
t
ns
nt
xs
xyt
xzt
zxt
zs
zyt
yzt
yxt
ys
xs
zs
ys
xyt
yxt
yzt
zyt
zxt
xzt
Conceito de Tensão 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Assim, conhecendo-se as componentes de 
tensão em três planos arbitrários, ortogonais 
entre si, pode-se conhecer as componentes em 
qualquer outro plano que contenha o ponto, 
por meio de fórmulas de recorrência obtidas a 
partir das citadas condições de equilíbrio 
estático das forças elementares que atuam nas 
facetas do tetraedro infinitesimal indicado. 
n
t
ns
nt
xs
xyt
xzt
zxt
zs
zyt
yzt
yxt
ys
xs
zs
ys
xyt
yxt
yzt
zyt
zxt
xzt
Conceito de Tensão 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Desta forma, o Estado de Tensão Num Ponto 
pode ser representado, como dito, pelas com-
ponentes em três planos ortogonais arbitrá-
rios: sx, txy, txz, sy, tyz, tyx, sz, tzx e tzy. 
Da condição de equilíbrio de momentos em 
torno do eixo x indicado, tem-se: 
SMx = 0 a (tyzdxdz)dy – (tzydxdy)dz = 0 
xs
zs
ys
xyt
yxt
yzt
zyt
zxt
xzt
x
y
z
dx
dy
dz
Conceito de Tensão 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Logo, tyz = tzy . 
Analogamente, 
txy = tyx e tzx = txz. 
Teorema: “Em planos ortogonais, as tensões de cisalhamento são 
iguais e formam binários em sentidos opostos” 
xs
zs
ys
xyt
yxt
yzt
zyt
zxt
xzt
x
y
z
dx
dy
dz
Assim, são seis as componentes que definem o Estado de Tensão 
Num Ponto: sx, sy, sz, txy, tyz, e tzx. 
x
y
xyt
yxt
xs
ys
Conceito de Tensão 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Logo, tyz = tzy . 
Analogamente, 
txy = tyx e tzx = txz. 
Teorema: “Em planos ortogonais, as tensões de cisalhamento são 
iguais e formam binários em sentidos opostos” 
xs
zs
ys
xyt
yxt
yzt
zyt
zxt
xzt
x
y
z
dx
dy
dz
Convenção 
de Sinais: 
x
y
xyt
yxt
xs
ys
xs
+ 
xs
_ 
xyt+ xyt
_ 
Conceito de Tensão 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Se sz, tzx e tzy são as componentes de tensão 
num ponto qualquer do plano x-y, os 
esforços elementares correspondentes são: 
.dAdN zs,dAdV zxx t
e dAdV zyy t
zs
zxt
x
y
z
zyt
dN
xdV
x
y
z
ydV
Relações entre Esforços Internos e Tensões 
Conceito de Tensão 
Integrando estes esforços elementares: 
dAN
A
z s A zxx dAV t  A zyy dAV t
esforço cortante 
na direção x 
esforço normal esforço cortante 
na direção y 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
zs
zxt
x
y
z
zyt
dN
xdV
x
y
z
ydV
Os momentos elementares em torno 
dos eixos de referência são: 
y
x
x
y
dA
dxdydA 
,dAyydNdM zx s e dAxxdNdM zy s
dAydAxydVxdVdMdTzxzyxyz tt 
Relações entre Esforços Internos e Tensões 
Conceito de Tensão 
Integrando estes momentos elementares: 
dAyM
A
zx  s  A zy dAxM s
   A zxzy dAyxT tt
momentos 
fletores em 
torno de x e de y 
momento 
torsor 
dT
xdM
ydM
dN
xdV
x
y
z
ydV
x
y
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Conceito de Deformação 
Sejam AB e AC dois segmentos de reta defi-
nindo um plano do corpo e formando um ân-
gulo q entre si. 
A 
B 
C 
q 
plano indeformado 
A’ 
B’ 
C’ 
q’ 
plano deformado 
O corpo se deforma após a ação dos esforços 
e, consequentemente, os pontos A, B e C se 
deslocam para as posições A’, B’ e C’, respec-
tivamente. 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
A 
B 
C 
q 
plano indeformado 
A’ 
B’ 
C’ 
q’ 
plano deformado 
Deformação Linear Média: 
,C'A' e AC e
B'A' e AB Se
ttt
sss


t
t
AC
ACCA
s
s
AB
ABBA
ACAB mm







  e 
Conceito de Deformação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
A 
B 
C 
q 
plano indeformado 
A’ 
B’ 
C’ 
q’ 
plano deformado 
Se x é o eixo orientado que define a direção 
do segmento AB e y o eixo orientado que 
define a direção do segmento AC, 
Deformação Linear de um Ponto: 
x
y
ABmAB
x
0
lim


e 
ACmAC
y
0
lim


O conceito de deformação linear de um ponto 
pressupõe a direção na qual é medida. 
Conceito de Deformação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
A 
B 
C 
q 
plano indeformado 
A’ 
B’ 
C’ 
q’ 
plano deformado 
x é a deformação linear do ponto A na direção x e 
y é a deformação linear do ponto A na direção y. 
x
y
Deformação Linear é uma grandeza adimensional. 
Pode ser expressa em %. 
Conceito de Deformação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
A 
B 
C 
q 
plano indeformado 
A’ 
B’ 
C’ 
q’ 
plano deformado 
Deformação Angular Média: 
,C''AˆB' e CAˆB Se qqq 
q  CAˆBCAˆB
ABCm
Conceito de Deformação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
A 
B 
C 
q 
plano indeformado 
A’ 
B’ 
C’ 
q’ 
plano deformado 
Se x é o eixo orientado que define a direção 
do segmento AB e y o eixo orientado que 
define a direção do segmento AC, 
Deformação Angular de um Ponto: 
x
y
ABCm
AC
AB
 xy
0
0
lim



O conceito de deformação angular de um 
ponto pressupõe o plano na qual é medida. 
Conceito de Deformação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
A 
B 
C 
q 
plano indeformado 
A’ 
B’ 
C’ 
q’ 
plano deformado 
xy é a deformação angular do ponto A no plano xy. 
x
y
Deformação Angular é uma grandeza adimensional. 
Deve ser expressa em rd. 
Conceito de Deformação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
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Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Por um ponto qualquer de um corpo pode-se 
passar infinitos planos. Logo, para cada ponto 
do corpo solicitado, existe um conjunto infini-
to de valores das deformações  e . A este 
conjunto dá-se o nome de Estado de Defor-
mação no Ponto. 
A 
B 
C 
q 
plano indeformado 
A’ 
B’ 
C’ 
q’ 
plano deformado 
Conceito de Deformação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Analogamente ao Estado de Tensão, o Estado 
de Deformação Num Ponto também pode 
ser definido a partir do conhecimento das 
deformações  e  em apenas três planos 
ortogonais entre si que contenham o ponto. 
Representado o ponto pelo paralelepípedo 
elementar, as deformações em suas facetas 
são: x, y, z, xy, yz e zx. 
x
z
y
xy
xy
yz
yz
zx
zx
Conceito de Deformação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
x: deformação linear na direção x, 
y: deformação linear na direção y, 
z: deformação linear na direção z, 
xy: deformação angular no plano x-y, 
yz : deformação angular no plano y-z, 
zx : deformação angular no plano z-x. 
x
z
y
xy
xy
yz
yz
zx
zx
Conceito de Deformação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
A 
A’ 
plano deformado 
Decompondo este deslocamento em direções x, y e z 
tri-ortogonaias arbitrárias: 
Seja o deslocamento do ponto A após a 
deformação do corpo solicitado. 
AA'
u: deslocamento do ponto A na direção x 
v: deslocamento do ponto A na direção y 
w: deslocamento do ponto A na direção z A 
A’ 
z 
x 
y 
u v 
w 
Relações entre Deslocamentos e Deformações 
Conceito de Deformação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Supondo um ponto B sobre o eixo x, após a deforma-
ção, este ponto se deslocará para uma posição B’. 
A 
A’ 
z 
x 
y 
u v 
w 
 : projeção do ponto A’ no plano x-y 
'
xyA
'
xyB
 : projeção do ponto B’ no plano x-y 
A’xy 
A
y
B
Bx
'
xyB
'
xyA
u
v
By
Bx
x
'
x
A '
x
B
A 
A’ 
plano deformado 
Relações entre Deslocamentos e Deformações 
Conceito de Deformação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
xB: coordenada do ponto B segundo o eixo x 
A 
A’ 
z 
x 
y 
u v 
w 
A’xy 
u: deslocamento do ponto A na direção x 
xB = u + u : deslocamento do ponto B na direção x 
A
y
B
Bx
'
xyB
'
xyA
u
v
By
Bx
x
'
x
A '
x
B
A 
A’ 
plano deformado 
Relações entre Deslocamentos e Deformações 
Conceito de Deformação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Por definição, a deformação linear média do segmento AB é: 
A 
A’ 
z 
x 
y 
u v 
w 
A’xy 
 
B
B
B
BBBxx
m
x
ux
x
xuxx
AB
ABBA
AB






BB
m
x
u
x
uuu
AB




uuxB 
A
y
B
Bx
'
xyB
'
xyA
u
v
By
Bx
x
'
x
A '
x
B
A 
A’ 
plano deformado 
Relações entre Deslocamentos e Deformações 
Conceito de Deformação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Assim, a deformação linear do ponto A na direção x é: 
A 
A’ 
z 
x 
y 
u v 
w 
A’xy 
A
y
B
Bx
'
xyB
'
xyA
u
v
By
Bx
x
'
x
A '
x
B
x
u
x
u
B
x
m
AB
x
B
AB 




 00
limlim 
,
x
u
x


 e 
y
vy


 .z
w
z



Logo, 
uuxB 
A 
A’ 
plano deformado 
Relações entre Deslocamentos e Deformações 
Conceito de Deformação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
A 
A’ 
z 
x 
y 
u v 
w 
A’xy 
Supondo um ponto C sobre o eixo y, após a deforma-
ção, este ponto se deslocará para uma posição C’. 
 : projeção do ponto C’ no plano x-y 
'
xyC
A
y
B
Bx
'
xyB
'
xyA
u
v
By
Bx
x
'
x
A '
x
B
uuxB 
'
xyC
C
'
yC
C
y
C
y
xq
yq
'
yA
C
x
A 
A’ 
plano deformado 
Relações entre Deslocamentos e Deformações 
Conceito de Deformação 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
A 
A’ 
z 
x 
y 
u v 
w 
A’xy 
A
y
B
Bx
'
xyB
'
xyA
u
v
By
Bx
x
'
x
A '
x
B
yC: coordenada do ponto C segundo o eixo y 
v: deslocamento do ponto A na direção y 
yC = v + v : deslocamento do ponto C na direção y 
uuxB 
'
xyC
C
'
yC
C
y
C
y
xq
yq
'
yA
C
x
A 
A’ 
plano deformado 
Relações entre Deslocamentos e Deformações 
Conceito de Deformação 
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Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
A 
A’ 
z 
x 
y 
u v 
w 
A’xy 
uuxB 
Por definição, a deformação angular média do plano ABC é: 
yxxyxyxym CABCABABC qq  ˆˆ
vvyC 
A
y
B
Bx
'
xyB
'
xyA
u
v
By
Bx
x
'
x
A '
x
B
vy
u
ux
v
vyy
ux
uxx
vy
CBcC
C
BB
B
mABC 











'
xyC
C
'
yC
C
y
C
y
xq
yq
'
yA
C
x
A 
A’ 
plano deformado 
Relações entre Deslocamentos e Deformações 
Conceito de Deformação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
A 
A’ 
z 
x 
y 
u v 
w 
A’xy 
uuxB 
vvyC 
A
y
B
Bx
'
xyB
'
xyA
u
v
By
Bx
x
'
x
A '
x
B
vy
u
ux
v
vyy
ux
uxx
vy
CBcC
C
BB
B
mABC 











'
xyC
C
'
yC
C
y
C
y
xq
yq
'
yA
C
x
ACAB
ABC
m
C
m
B
C
C
B
B
m
yuxv
yv
yu
xu
xv
 











1111A 
A’ 
plano deformado 
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Conceito de Deformação 
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Deformáveis 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
A 
A’ 
z 
x 
y 
u v 
w 
A’xy 
uuxB 
vvyC 
A
y
B
Bx
'
xyB
'
xyA
u
v
By
Bx
x
'
x
A '
x
B
'
xyC
C
'
yC
C
y
C
y
xq
yq
'
yA
C
x
ACAB
ABC
m
C
m
B
C
C
B
B
m
yuxv
yv
yu
xu
xv
 











1111
,111 Como 
ACAB mm

CB
m
y
u
x
v
ABC




A 
A’ 
plano deformado 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
A 
A’ 
z 
x 
y 
u v 
w 
A’xy 
uuxB 
vvyC 
A
y
B
Bx
'
xyB
'
xyA
u
v
By
Bx
x
'
x
A '
x
B
'
xyC
C
'
yC
C
y
C
y
xq
yq
'
yA
C
x
Assim, a deformação angular do ponto A no plano xy é: 
y
u
x
v
y
u
x
v
CB
y
x
m
AC
AB
xy
C
B
ABC 











 







0
0
0
0
limlim 
,
y
u
x
v
xy






Logo, 
e 
z
v
y
w
yz





 .
x
w
z
u
zx






A 
A’ 
plano deformado 
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Conceito de Deformação 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
A 
A’ 
z 
x 
y 
u v 
w 
A’xy 
Finalmente, as relações entre 
deslocamentos e deformações são: 
y
u
x
v
xy






z
v
y
w
yz






x
w
z
u
zx






x
u
x



y
v
y



z
w
z



deformações lineares 
deformações angulares 
A 
A’ 
plano deformado 
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Conceito de Deformação 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Estados de Tensão: 
xs
zs
ys
x
y
z
dx
dy
dz
Estado Triplo ou Triaxial 
s
s
s
x
y
z
dx
dy
dz
Estado Triaxial Uniforme 
ssss  zyx
Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Estados de Tensão: 
Estado Plano 
xs
ys
xyt
yxt
x
y
z
dx
dy
dz
xs
ys
xyt
yxt
x
y
dx
dy
notação alternativa 
Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Estados de Tensão: 
Estado Duplo ou Biaxial 
xs
ys
x
y
dx
dy
s
s
x
y
dx
dy
Estado Biaxial Uniforme 
sss  yx
Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Estados de Tensão: 
Estado Simples 
xs
x
y
dx
dy
xyt
yxt
x
y
dx
dy
Estado de Cisalhamento Puro 
yxxy tt 
Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Estados de Deformação: 
x
z
y
x
y
z
dx
dy
dz
Estado Triplo ou Triaxial 



x
y
z
dx
dy
dz
Estado Triaxial Uniforme 
  zyx
Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Estados de Deformação: 
Estado Plano 
x
y
xy
yx
x
y
z
dx
dy
dz
x
y
xy
yx
x
y
dx
dy
notação alternativa 
Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Estados de Deformação: 
Estado Duplo ou Biaxial 
x
y
x
y
dx
dy


x
y
dx
dy
Estado Biaxial Uniforme 
  yx
Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Estados de Deformação: 
Estado Simples 
x
x
y
dx
dy
xy
yx
x
y
dx
dy
Estado de Cisalhamento Puro 
yxxy  
Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação 
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I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Relações entre Tensões e Deformações 
Lei de Hooke: 
Às tensões normais correspondem 
deformações lineares 
xsxs
xx s 
xy s 
xz s 
“As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite” 
dx
x
y
dy
elemento indeformado 
dxdx xdydy y
elemento deformado 
Às tensões tangenciais correspondem 
deformações angulares 
xyxy t 
yxt
xyt
elemento deformado 
1
2
21  xy
dx
x
y
dy
elemento indeformado 
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I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Relações entre Tensões e Deformações 
Lei de Hooke: 
xsxs
“As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite” 
dx
x
y
dy
elemento indeformado 
dxdx x
dydy y
elemento deformado 
Constantes de Proporcionalidade: 
E
x
x
s
 
E
x
zy
s 
E: Módulo de Young ou Módulo 
de Deformação Longitudinal 
: Coeficiente de Poisson 
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I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Relações entre Tensões e Deformações 
Lei de Hooke: 
“As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite” 
yxt
xyt
elemento deformado 
1
2
21  xy
dx
x
y
dy
elemento indeformado 
Constantes de Proporcionalidade: 
G
xy
xy
t
 
G: Módulo de Deformação Transversal 
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I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Relações entre Tensões e Deformações 
Lei de Hooke: 
Constantes de Proporcionalidade: 
“As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite” 
E e G são também chamados de Módulos de Elasticidade 
Longitudinal e Transversal, respectivamente, porque a Lei de Hooke 
só é válida no regime elástico. 
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I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Relações entre Tensões e Deformações 
Lei de Hooke: 
Princípio da Superposição dos Efeitos (PSE): 
“As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite” 
“Se é válida a Lei de Hooke, os efeitos de um sistema de ações sobre 
um corpo sólido correspondem às somas dos efeitos de cada ação se-
paradamente” 
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I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Relações entre Tensões e Deformações 
Lei Generalizada de Hooke: 
xs
zs
ys
xyt
yxt
yzt
zyt
zxt
xzt
x
y
z
dx
dy
dz
 zyxx
EE
sss 
Utilizando o PSE, 
as somas das defor-
mações decorrentes 
de cada componen-
te de tensão, no ca-
so geral de Estado 
de Tensão em um 
ponto, serão: 
 xz
y
y
EE
ss
s
 
 yxzz
EE
sss 
G
xy
xy
t
 
G
yz
yz
t
 
G
zx
zx
t
 
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I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Relações entre Tensões e Deformações 
Lei Generalizada de Hooke: 
xs
zs
ys
xyt
yxt
yzt
zyt
zxt
xzt
x
y
z
dx
dy
dz
 







 zy
x
x 
s
1
1
Resolvendo para obter as tensões : 
xyxy Gt 
 







 xz
y
y 

s
1
1
 







 yx
z
z 
s
1
1
yzyz Gt 
zxzx Gt 
  

211 

E
 e G são as 
Constantes de Lamé 
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I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Relações entre Tensões e Deformações 
Observações: 
Estado Simples 
de Tensão 
xs
x
y
dx
dy
x
z
y
x
y
z
dx
dy
dz
Estado Triplo de 
Deformação 
A um estado simples de 
tensão corresponde um 
estado triplo de deformação 
E
E
x
zy
x
x
s

s



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I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Relações entre Tensões e Deformações 
Observações: 
Estado Simples 
de Deformação 
x
x
y
dx
dy
xs
zs
ys
x
y
z
dx
dy
dz
Estado Triplo de 
Tensão 
A um estado simples de 
deformação corresponde 
um estado triplo de tensão 
 

ss


s



1
x
zy
x
x
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I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Relações entre Tensões e Deformações 
Energia Potencial de Deformação: 
Os esforços externos provocam deslocamentos e, portanto, realizam 
TRABALHO. 
KUW 
onde W é o trabalho realizado pelos esforços, 
 U é a energia potencial do corpo deformado e 
 K é a energia cinética da velocidade da massa do corpo. 
0K
Como os esforços são aplicados lentamente, e 
.UW 
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I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Relações entre Tensões e Deformações 
Energia Potencial de Deformação: 
Seja dw a variação do deslocamento na direção z. 
O trabalho realizado pelo esforço N é dUN = Ndw. 
wkN z
2
2w
kwdwkU z
w
zN  
dw
dz
N N
O esforço N é proporcional ao deslocamento w. 
2
Nw
UN 
wdwkdU zN 
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I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Relações entre Tensões e Deformações 
Energia Potencial de Deformação: 
Seja dw a variação do deslocamento na direção z. 
O trabalho realizado pelo esforço N é dUN = Ndw. 
dw
dz
N N
O esforço N é proporcional ao deslocamento w. 
dwdNdU .
2
1

2
Nw
U N 
é a variação da energia que se acumula no corpo durante o processo 
de deformação. 
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I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Relações entre Tensões e Deformações 
Energia Potencial de Deformação: 
Seja dw a variação do deslocamento na direção z. 
O trabalho realizado pelo esforço N é dU = Ndw. 
dw
dz
N N
O esforço N é proporcional ao deslocamento w. 
dwdNdU .
2
1

  dzdAdU zz s .
2
1
 zz
dV
dU s
2
1
 
xs
x
dV
dU
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Relações entre Tensões e Deformações 
Energia Potencial de Deformação: 
Como a energia é uma grandeza escalar, 
 zxzxyzyzxyxyzzyyxx
dV
dU tttsss 
2
1
é a energia potencial de deformação acumulada em um elemento 
de volume infinitesimal dV=dx.dy.dz. 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Relações entre Tensões e Deformações 
Energia Potencial de Deformação: 
Seja o estado de cisalhamento puro. 
Em um plano inclinado de 45º, tem-se: 
xyt
yxt
x
y
dx
dy
45s
45t
0
2
2
2
2
20 45 







 dAdAF xyn ts

xyts 45
0
2
2
2
2
2
2
2
2
0 45 















 dAdAdAF xyxyt ttt  045 t
dA
2
2
dA
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Relações entre Tensões e Deformações 
Energia Potencial de Deformação: 
Repetindo o raciocínio para um plano 
perpendicular ao plano inclinado 
considerado (-45º): 
xyt
yxt
x
y
dx
dy
45s
45t
xyts 45
e 
045 t
Logo, são equivalentes os 
seguintes estados de tensão:xyts xyts 
45º 
cisalhamento puro biaxial 
xyt
yxt
x
y
dx
dy
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I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Relações entre Tensões e Deformações 
Energia Potencial de Deformação: 
A energia potencial de 
deformação unitária para o 
estado de cisalhamento puro é: 
GdV
dU xy
xyxy
22
1
2t
t 
Para o estado biaxial é: 
   yxxyyyxx
dV
dU tss 
22
1
 tss  1
EEE
xyyx
x
 tss  1
EEE
xyxy
y
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Relações entre Tensões e Deformações 
Energia Potencial de Deformação: 
A energia potencial de 
deformação unitária para o 
estado de cisalhamento puro é: 
GdV
dU xy
xyxy
22
1
2t
t 
Para o estado biaxial é: 
   yxxyyyxx
dV
dU tss 
22
1
 
t
 1
2
EdV
dU xy
Igualando as duas expressões: 
 

12
E
G
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I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Relações entre Tensões e Deformações 
Energia Potencial de Deformação: 
Em suma, as constantes de Lamé podem ser escritas em função 
do Módulo de Elasticidade e do Coeficiente de Poisson como: 
  

211 

E
 

12
E
G
e 
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Fim da Aula 03

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