Aula 03 de Resistência I - Esforços 2
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zxzyxyz tt \uf02d\uf03d\uf02d\uf03d\uf03d
Relações entre Esforços Internos e Tensões 
Conceito de Tensão 
Integrando estes momentos elementares: 
dAyM
A
zx \uf0f2\uf03d s \uf0f2\uf02d\uf03d A zy dAxM s
\uf028 \uf029\uf0f2 \uf02d\uf03d A zxzy dAyxT tt
momentos 
fletores em 
torno de x e de y 
momento 
torsor 
dT
xdM
ydM
dN
xdV
x
y
z
ydV
x
y
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Conceito de Deformação 
Sejam AB e AC dois segmentos de reta defi-
nindo um plano do corpo e formando um ân-
gulo q entre si. 
A 
B 
C 
q 
plano indeformado 
A\u2019 
B\u2019 
C\u2019 
q\u2019 
plano deformado 
O corpo se deforma após a ação dos esforços 
e, consequentemente, os pontos A, B e C se 
deslocam para as posições A\u2019, B\u2019 e C\u2019, respec-
tivamente. 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
A 
B 
C 
q 
plano indeformado 
A\u2019 
B\u2019 
C\u2019 
q\u2019 
plano deformado 
Deformação Linear Média: 
,C'A' e AC e
B'A' e AB Se
ttt
sss
\uf044\uf02b\uf03d\uf03d
\uf044\uf02b\uf03d\uf03d
t
t
AC
ACCA
s
s
AB
ABBA
ACAB mm
\uf044
\uf03d
\uf02d\uf0a2\uf0a2
\uf03d
\uf044
\uf03d
\uf02d\uf0a2\uf0a2
\uf03d \uf065\uf065 e 
Conceito de Deformação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
A 
B 
C 
q 
plano indeformado 
A\u2019 
B\u2019 
C\u2019 
q\u2019 
plano deformado 
Se x é o eixo orientado que define a direção 
do segmento AB e y o eixo orientado que 
define a direção do segmento AC, 
Deformação Linear de um Ponto: 
x
y
ABmAB
\uf065\uf065x
0
lim
\uf0ae
\uf03d
e 
ACmAC
\uf065\uf065y
0
lim
\uf0ae
\uf03d
O conceito de deformação linear de um ponto 
pressupõe a direção na qual é medida. 
Conceito de Deformação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
A 
B 
C 
q 
plano indeformado 
A\u2019 
B\u2019 
C\u2019 
q\u2019 
plano deformado 
\uf065x é a deformação linear do ponto A na direção x e 
\uf065y é a deformação linear do ponto A na direção y. 
x
y
Deformação Linear é uma grandeza adimensional. 
Pode ser expressa em %. 
Conceito de Deformação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
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Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
A 
B 
C 
q 
plano indeformado 
A\u2019 
B\u2019 
C\u2019 
q\u2019 
plano deformado 
Deformação Angular Média: 
,C''A\u2c6B' e CA\u2c6B Se qqq \uf044\uf02b\uf03d\uf03d
q\uf067 \uf044\uf03d\uf02d\uf0a2\uf0a2\uf0a2\uf03d CA\u2c6BCA\u2c6B
ABCm
Conceito de Deformação 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
A 
B 
C 
q 
plano indeformado 
A\u2019 
B\u2019 
C\u2019 
q\u2019 
plano deformado 
Se x é o eixo orientado que define a direção 
do segmento AB e y o eixo orientado que 
define a direção do segmento AC, 
Deformação Angular de um Ponto: 
x
y
ABCm
AC
AB
\uf067\uf067 xy
0
0
lim
\uf0ae
\uf0ae
\uf03d
O conceito de deformação angular de um 
ponto pressupõe o plano na qual é medida. 
Conceito de Deformação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
A 
B 
C 
q 
plano indeformado 
A\u2019 
B\u2019 
C\u2019 
q\u2019 
plano deformado 
\uf067xy é a deformação angular do ponto A no plano x\uf02dy. 
x
y
Deformação Angular é uma grandeza adimensional. 
Deve ser expressa em rd. 
Conceito de Deformação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Por um ponto qualquer de um corpo pode-se 
passar infinitos planos. Logo, para cada ponto 
do corpo solicitado, existe um conjunto infini-
to de valores das deformações \uf065 e \uf067. A este 
conjunto dá-se o nome de Estado de Defor-
mação no Ponto. 
A 
B 
C 
q 
plano indeformado 
A\u2019 
B\u2019 
C\u2019 
q\u2019 
plano deformado 
Conceito de Deformação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Analogamente ao Estado de Tensão, o Estado 
de Deformação Num Ponto também pode 
ser definido a partir do conhecimento das 
deformações \uf065 e \uf067 em apenas três planos 
ortogonais entre si que contenham o ponto. 
Representado o ponto pelo paralelepípedo 
elementar, as deformações em suas facetas 
são: \uf065x, \uf065y, \uf065z, \uf067xy, \uf067yz e \uf067zx. 
x\uf065
z\uf065
y\uf065
xy\uf067
xy\uf067
yz\uf067
yz\uf067
zx\uf067
zx\uf067
Conceito de Deformação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
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Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
\uf065x: deformação linear na direção x, 
\uf065y: deformação linear na direção y, 
\uf065z: deformação linear na direção z, 
\uf067xy: deformação angular no plano x-y, 
\uf067yz : deformação angular no plano y-z, 
\uf067zx : deformação angular no plano z-x. 
x\uf065
z\uf065
y\uf065
xy\uf067
xy\uf067
yz\uf067
yz\uf067
zx\uf067
zx\uf067
Conceito de Deformação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
A 
A\u2019 
plano deformado 
Decompondo este deslocamento em direções x, y e z 
tri-ortogonaias arbitrárias: 
Seja o deslocamento do ponto A após a 
deformação do corpo solicitado. 
AA'
u: deslocamento do ponto A na direção x 
v: deslocamento do ponto A na direção y 
w: deslocamento do ponto A na direção z A 
A\u2019 
z 
x 
y 
u v 
w 
Relações entre Deslocamentos e Deformações 
Conceito de Deformação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Supondo um ponto B sobre o eixo x, após a deforma-
ção, este ponto se deslocará para uma posição B\u2019. 
A 
A\u2019 
z 
x 
y 
u v 
w 
 : projeção do ponto A\u2019 no plano x-y 
'
xyA
'
xyB
 : projeção do ponto B\u2019 no plano x-y 
A\u2019xy 
A
y
B
Bx
'
xyB
'
xyA
u
v
By\uf044
Bx\uf044
x
'
x
A '
x
B
A 
A\u2019 
plano deformado 
Relações entre Deslocamentos e Deformações 
Conceito de Deformação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
xB: coordenada do ponto B segundo o eixo x 
A 
A\u2019 
z 
x 
y 
u v 
w 
A\u2019xy 
u: deslocamento do ponto A na direção x 
\uf044xB = u + \uf044u : deslocamento do ponto B na direção x 
A
y
B
Bx
'
xyB
'
xyA
u
v
By\uf044
Bx\uf044
x
'
x
A '
x
B
A 
A\u2019 
plano deformado 
Relações entre Deslocamentos e Deformações 
Conceito de Deformação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Por definição, a deformação linear média do segmento AB é: 
A 
A\u2019 
z 
x 
y 
u v 
w 
A\u2019xy 
\uf028 \uf029
B
B
B
BBBxx
m
x
ux
x
xuxx
AB
ABBA
AB
\uf02d\uf044
\uf03d
\uf02d\uf02d\uf044\uf02b
\uf03d
\uf02d\uf0a2\uf0a2
\uf03d\uf065
BB
m
x
u
x
uuu
AB
\uf044
\uf03d
\uf02d\uf044\uf02b
\uf03d\uf065
uuxB \uf044\uf02b\uf03d\uf044
A
y
B
Bx
'
xyB
'
xyA
u
v
By\uf044
Bx\uf044
x
'
x
A '
x
B
A 
A\u2019 
plano deformado 
Relações entre Deslocamentos e Deformações 
Conceito de Deformação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Assim, a deformação linear do ponto A na direção x é: 
A 
A\u2019 
z 
x 
y 
u v 
w 
A\u2019xy 
A
y
B
Bx
'
xyB
'
xyA
u
v
By\uf044
Bx\uf044
x
'
x
A '
x
B
x
u
x
u
B
x
m
AB
x
B
AB \uf0b6
\uf0b6
\uf03d
\uf044
\uf03d\uf03d
\uf0ae\uf0ae 00
limlim \uf065\uf065
,
x
u
x
\uf0b6
\uf0b6
\uf03d\uf065 e 
y
v