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Aula 03 de Resistência I - Esforços 2

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zxzyxyz tt 
Relações entre Esforços Internos e Tensões 
Conceito de Tensão 
Integrando estes momentos elementares: 
dAyM
A
zx  s  A zy dAxM s
   A zxzy dAyxT tt
momentos 
fletores em 
torno de x e de y 
momento 
torsor 
dT
xdM
ydM
dN
xdV
x
y
z
ydV
x
y
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Conceito de Deformação 
Sejam AB e AC dois segmentos de reta defi-
nindo um plano do corpo e formando um ân-
gulo q entre si. 
A 
B 
C 
q 
plano indeformado 
A’ 
B’ 
C’ 
q’ 
plano deformado 
O corpo se deforma após a ação dos esforços 
e, consequentemente, os pontos A, B e C se 
deslocam para as posições A’, B’ e C’, respec-
tivamente. 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
A 
B 
C 
q 
plano indeformado 
A’ 
B’ 
C’ 
q’ 
plano deformado 
Deformação Linear Média: 
,C'A' e AC e
B'A' e AB Se
ttt
sss


t
t
AC
ACCA
s
s
AB
ABBA
ACAB mm







  e 
Conceito de Deformação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
A 
B 
C 
q 
plano indeformado 
A’ 
B’ 
C’ 
q’ 
plano deformado 
Se x é o eixo orientado que define a direção 
do segmento AB e y o eixo orientado que 
define a direção do segmento AC, 
Deformação Linear de um Ponto: 
x
y
ABmAB
x
0
lim


e 
ACmAC
y
0
lim


O conceito de deformação linear de um ponto 
pressupõe a direção na qual é medida. 
Conceito de Deformação 
Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos 
Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
A 
B 
C 
q 
plano indeformado 
A’ 
B’ 
C’ 
q’ 
plano deformado 
x é a deformação linear do ponto A na direção x e 
y é a deformação linear do ponto A na direção y. 
x
y
Deformação Linear é uma grandeza adimensional. 
Pode ser expressa em %. 
Conceito de Deformação 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
A 
B 
C 
q 
plano indeformado 
A’ 
B’ 
C’ 
q’ 
plano deformado 
Deformação Angular Média: 
,C''AˆB' e CAˆB Se qqq 
q  CAˆBCAˆB
ABCm
Conceito de Deformação 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
A 
B 
C 
q 
plano indeformado 
A’ 
B’ 
C’ 
q’ 
plano deformado 
Se x é o eixo orientado que define a direção 
do segmento AB e y o eixo orientado que 
define a direção do segmento AC, 
Deformação Angular de um Ponto: 
x
y
ABCm
AC
AB
 xy
0
0
lim



O conceito de deformação angular de um 
ponto pressupõe o plano na qual é medida. 
Conceito de Deformação 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
A 
B 
C 
q 
plano indeformado 
A’ 
B’ 
C’ 
q’ 
plano deformado 
xy é a deformação angular do ponto A no plano xy. 
x
y
Deformação Angular é uma grandeza adimensional. 
Deve ser expressa em rd. 
Conceito de Deformação 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Por um ponto qualquer de um corpo pode-se 
passar infinitos planos. Logo, para cada ponto 
do corpo solicitado, existe um conjunto infini-
to de valores das deformações  e . A este 
conjunto dá-se o nome de Estado de Defor-
mação no Ponto. 
A 
B 
C 
q 
plano indeformado 
A’ 
B’ 
C’ 
q’ 
plano deformado 
Conceito de Deformação 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Analogamente ao Estado de Tensão, o Estado 
de Deformação Num Ponto também pode 
ser definido a partir do conhecimento das 
deformações  e  em apenas três planos 
ortogonais entre si que contenham o ponto. 
Representado o ponto pelo paralelepípedo 
elementar, as deformações em suas facetas 
são: x, y, z, xy, yz e zx. 
x
z
y
xy
xy
yz
yz
zx
zx
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
x: deformação linear na direção x, 
y: deformação linear na direção y, 
z: deformação linear na direção z, 
xy: deformação angular no plano x-y, 
yz : deformação angular no plano y-z, 
zx : deformação angular no plano z-x. 
x
z
y
xy
xy
yz
yz
zx
zx
Conceito de Deformação 
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Deformáveis 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
A 
A’ 
plano deformado 
Decompondo este deslocamento em direções x, y e z 
tri-ortogonaias arbitrárias: 
Seja o deslocamento do ponto A após a 
deformação do corpo solicitado. 
AA'
u: deslocamento do ponto A na direção x 
v: deslocamento do ponto A na direção y 
w: deslocamento do ponto A na direção z A 
A’ 
z 
x 
y 
u v 
w 
Relações entre Deslocamentos e Deformações 
Conceito de Deformação 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Supondo um ponto B sobre o eixo x, após a deforma-
ção, este ponto se deslocará para uma posição B’. 
A 
A’ 
z 
x 
y 
u v 
w 
 : projeção do ponto A’ no plano x-y 
'
xyA
'
xyB
 : projeção do ponto B’ no plano x-y 
A’xy 
A
y
B
Bx
'
xyB
'
xyA
u
v
By
Bx
x
'
x
A '
x
B
A 
A’ 
plano deformado 
Relações entre Deslocamentos e Deformações 
Conceito de Deformação 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
xB: coordenada do ponto B segundo o eixo x 
A 
A’ 
z 
x 
y 
u v 
w 
A’xy 
u: deslocamento do ponto A na direção x 
xB = u + u : deslocamento do ponto B na direção x 
A
y
B
Bx
'
xyB
'
xyA
u
v
By
Bx
x
'
x
A '
x
B
A 
A’ 
plano deformado 
Relações entre Deslocamentos e Deformações 
Conceito de Deformação 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Por definição, a deformação linear média do segmento AB é: 
A 
A’ 
z 
x 
y 
u v 
w 
A’xy 
 
B
B
B
BBBxx
m
x
ux
x
xuxx
AB
ABBA
AB






BB
m
x
u
x
uuu
AB




uuxB 
A
y
B
Bx
'
xyB
'
xyA
u
v
By
Bx
x
'
x
A '
x
B
A 
A’ 
plano deformado 
Relações entre Deslocamentos e Deformações 
Conceito de Deformação 
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Cap. I: Conceitos Preliminares 
I.2.2. Esforços nas Estruturas 
Assim, a deformação linear do ponto A na direção x é: 
A 
A’ 
z 
x 
y 
u v 
w 
A’xy 
A
y
B
Bx
'
xyB
'
xyA
u
v
By
Bx
x
'
x
A '
x
B
x
u
x
u
B
x
m
AB
x
B
AB 




 00
limlim 
,
x
u
x


 e 
y
v