apostila mmq
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Téc. Lab. Física Capítulo II
Método dos Mínimos Quadrados

Nesta unidade será apresentado o Método dos Mínimos Quadrados (MMQ)
que é uma ferramenta matemática bastante utilizada

 no tratamento gráfico de dados experimentais

Ajuste de retas

A melhor reta que se ajusta a um conjunto de pontos experimentais do tipo: { (X1,
Y1), (X2, Y2),..., (Xn, Yn)} é dada por:
Y* = a0 + a1.X, onde Y* é o valor esperado da função, a1 é o coeficiente angular e a0 é o
coeficiente linear, ajustado para a reta.

Os coeficientes a0 e a1 são obtidos a partir das expressões:

a0 =
∑ Y .∑ X 2 − ∑ X .∑ XY

Δ

a1 =
Ψ
Δ

onde,
Ψ = N .∑ XY − ∑ X .∑ Y

Δ = N . ∑ X 2 − ∑ X 2

Δ' = N . ∑Y 2 − ∑Y 2

Uma maneira de quantificarmos o grau de ajuste, pelo método dos mínimos
quadrados, é calcularmos o chamado coeficiente de correlação ( r ) entre as variáveis
dependente e independente, que é dado por:

r = Ψ
Δ . Δ'

Esse valor pode variar desde -1 até 1 passando por 0. Quanto mais próximo estiver
o módulo de r de 1, mais correlacionadas, linearmente, estarão as variáveis X e Ye, como
conseqüência, melhor será o ajuste.

O cálculo dos erros, δa0 e δa1, para os coeficientes angular e linear da reta ajustada
pelo MMQ é feito através das fórmulas que se seguem:

Téc. Lab. Física Capítulo II
δa 0 =  ∑ X 2Δ . σ' e δa 1 =   NΔ . σ'

onde σ' é o desvio padrão, dado por:

σ'=∑ Y−Y ajust 2N−1
Calculando os coeficientes

Para calcularmos os coeficientes a0, a1, Ψ, Δ, δa0, δa1 , deveremos utilizar a tabela
a seguir:

X Y XY X² Y² (Yajust) Y - Yajust (Y -Yajust)2

ΣX = ΣY = ΣXY = ΣX² = ΣY² = Σ(Y -Yajust)2

Observações muito importantes

• Não arredonde os valores de XY, X², Y² e suas respectivas somatórias.
• Não arredonde os resultados de Δ, Ψ e σ', pois serão utilizados para os cálculos

de a0, a1, δa0 e δa1.
• Os resultados de a0, a1, Yajust , Y - Yajust, tem o mesmo número de casas decimais

de Y.
• δa0, δa1, são arredondados no primeiro nº diferente de zero após a vírgula.

Exemplos: 0,003456 = 0,003;
0,5623 = 0,6;
0,0257 = 0,03.