apostila mmq
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Téc. Lab. Física Capítulo II
Método dos Mínimos Quadrados
Nesta unidade será apresentado o Método dos Mínimos Quadrados (MMQ) 
que é uma ferramenta matemática bastante utilizada
 no tratamento gráfico de dados experimentais
Ajuste de retas
A melhor reta que se ajusta a um conjunto de pontos experimentais do tipo: { (X1, 
Y1), (X2, Y2),..., (Xn, Yn)} é dada por:
Y* = a0 + a1.X, onde Y* é o valor esperado da função, a1 é o coeficiente angular e a0 é o 
coeficiente linear, ajustado para a reta.
Os coeficientes a0 e a1 são obtidos a partir das expressões:
a0 =
\u2211 Y .\u2211 X 2 \u2212 \u2211 X .\u2211 XY
\u394
a1 =
\u3a8
\u394
onde,
\u3a8 = N .\u2211 XY \u2212 \u2211 X .\u2211 Y
\u394 = N . \u2211 X 2 \u2212 \ue09e\u2211 X \ue09f2
\u394' = N . \u2211Y 2 \u2212 \ue09e\u2211Y \ue09f2
Uma maneira de quantificarmos o grau de ajuste, pelo método dos mínimos 
quadrados, é calcularmos o chamado coeficiente de correlação ( r ) entre as variáveis 
dependente e independente, que é dado por:
r = \u3a8
\ue08d\u394 . \u394'
Esse valor pode variar desde -1 até 1 passando por 0. Quanto mais próximo estiver 
o módulo de r de 1, mais correlacionadas, linearmente, estarão as variáveis X e Ye, como 
conseqüência, melhor será o ajuste.
O cálculo dos erros, \u3b4a0 e \u3b4a1, para os coeficientes angular e linear da reta ajustada 
pelo MMQ é feito através das fórmulas que se seguem:
Téc. Lab. Física Capítulo II
\u3b4a 0 = \ue09e \ue08d\u2211 X 2\u394 \ue09f. \u3c3' e \u3b4a 1 = \ue09e \ue08d N\u394 \ue09f. \u3c3'
onde \u3c3' é o desvio padrão, dado por:
 
\u3c3'=\ue08d\u2211 \ue09eY\u2212Y ajust \ue09f2N\u22121
Calculando os coeficientes
Para calcularmos os coeficientes a0, a1, \u3a8, \u394, \u3b4a0, \u3b4a1 , deveremos utilizar a tabela 
a seguir:
X Y XY X² Y² (Yajust) Y - Yajust (Y -Yajust)2
\u3a3X = \u3a3Y = \u3a3XY = \u3a3X² = \u3a3Y² = \u3a3(Y -Yajust)2
Observações muito importantes
\u2022 Não arredonde os valores de XY, X², Y² e suas respectivas somatórias.
\u2022 Não arredonde os resultados de \u394, \u3a8 e \u3c3', pois serão utilizados para os cálculos 
de a0, a1, \u3b4a0 e \u3b4a1.
\u2022 Os resultados de a0, a1, Yajust , Y - Yajust, tem o mesmo número de casas decimais 
de Y.
\u2022 \u3b4a0, \u3b4a1, são arredondados no primeiro nº diferente de zero após a vírgula. 
Exemplos: 0,003456 = 0,003; 
0,5623 = 0,6;
0,0257 = 0,03.