Exercicios 09 Deflexao em Vigas - Solucao

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1 
 
DEFLEXÕES NAS VIGAS 
 
EXERCÍCIOS 
1. Determinar o deslocamento máximo da viga da figura. Dado Eaço = 210 GPa. 
vmax
L=4,2 m
q=1,21 (kN/m)
b=8cm
h=30cm
 
Solução 
12
3
bh
I = 
( ) 4
3
00018
12
308
cm
cmcm
I =
×
= 
2
00021210
cm
kN
GPaEaço == 
EI
qL
vmáx
384
5 4
= 
( )
cm
cm
cm
kN
cm
cm
kN
vmáx 013,0
0001800021384
4200121,05
4
2
4
=
××
××
= 
 
Resposta: vmáx = 0,013 cm. 
 
2. Qual deveria ser o diâmetro de uma viga cilíndrica do mesmo material da viga do 
exercício anterior, submetida ao mesmo carregamento e que tivesse o mesmo 
deslocamento máximo? 
Solução 
cmvmáx 013,0= → 
400018 cmI = ou 
EI
qL
vmáx
384
5 4
= → 
máxvE
qL
I
384
5 4
= 
( )
4
2
4
00018
013,000021384
4200121,05
cm
cm
cm
kN
cm
cm
kN
I =
××
××
= 
64
4
D
I
π
= → cm
cm
D 61,24
0001864
4
4
=
×
=
π
 
Resposta: d = 24,61cm. 
2 
 
3. Determinar a altura da viga da figura, sabendo-se que o deslocamento vertical 
máximo não deve ultrapassar 1 cm. Dado Emadeira = 14 500 MPa. 
b=10cm
vmax
2,5m 2,5m
P=7,25 kN
h=?
 
Solução 
EI
PL
vmáx
48
3
= → 
máxvE
PL
I
48
3
= 
12
3
bh
I = 
2
450150014
cm
kN
MPaEmadeira == 
máxvE
PLbh
4812
33
= → 3
3
48
12
máxvbE
PL
h = 
( )
cm
cmcm
cm
kN
cmkN
h 25
0,110450148
50025,712
3
2
3
=
×××
××
= 
Resposta: h = 25 cm. 
 
4. Determinar o deslocamento máximo da viga da figura. Dado Eaço = 210 GPa. 
P=16 kN
b=5cmL=3 m
vmax
h=25cm
 
Solução 
12
3
bh
I = 4
3
42,5106
12
255
cmI =
×
= 
2
00021210
cm
kN
GPaEaço == 
EI
PL
vmáx
3
3
= 
( )
cm
cm
cm
kN
cmkN
vmáx 05,1
42,5106000213
30016
4
2
3
=
××
×
= 
Resposta: v = 1,05 cm. 
 
3 
 
5. Determinar o deslocamento vertical máximo da viga da figura. Dados: 
E = 210 000 MPa e 
36
3
bh
I = 
vmax
L=3 m
q=1,5 (kN/m)
20cm
3
0
c
m
 
Solução 
36
3
bh
I = 
( ) 4
3
00015
36
3020
cm
cmcm
I =
×
= 
2
00021210
cm
kN
GPaE == 
EI
qL
vmáx
384
5 4
= 
( )
cm
cm
cm
kN
cm
cm
kN
vmáx 005,0
0001500021384
300015,05
4
2
4
=
××
××
= 
Resposta: v = 0,005 cm. 
 
6. Determinar o deslocamento vertical máximo da viga da figura. Dados: E = 210 GPa, 
I = 4 471,92 cm
4
. 
q=1,5 (kN/m)
vmax
L=3 m b=12cm
1cm
1cm
h=25cm
 
Solução 
2
00021210
cm
kN
GPaE == 
EI
qL
vmáx
384
5 4
= 
( )
cm
cm
cm
kN
cm
cm
kN
vmáx 0168,0
92,471400021384
300015,05
4
2
4
=
××
××
= 
Resposta: v = 0,0168 cm. 
 
4 
 
7. Considere a viga biapoiada da figura, com 8 m de vão, submetida a uma carga 
concentrada de 4 kN no meio do vão, módulo de elasticidade E = 409 600 MPa e seção 
transversal retangular com largura de 8 cm. 
P
L / 2 L / 2
b
h
 
Considerando que a tensão normal admissível na flexão é σ =15 MPa, a tensão 
admissível ao cisalhamento é τ = 0,17045 MPa e que o deslocamento vertical não deve 
ultrapassar 1 mm, determinar a altura da viga. 
OBS. Para determinar a altura da viga é necessário calcular inicialmente as alturas da viga 
correspondentes a cada restrição, ou seja, a flexão, o cisalhamento e o deslocamento máximo e, 
em seguida especificar a altura da viga que atenda todas as restrições. 
Solução 
a) Flexão 
4
LP
M máx = kNm
mkN
M máx 8
4
84
=
×
= 
2
5,115
cm
kN
MPa ==σ 
σ
σ
M
W
W
M
=⇒= 
σσσ ⋅
⋅
=⇒
⋅
⋅
=⇒=
⋅
b
M
h
b
M
h
Mhb
f
66
6
2
2
 
cm
cmkNcm
cmkN
h f 20
)/(5,1)(8
).(8006
2
=
×
×
= 
b) Cisalhamento 
2
P
Vmáx = kNVmáx 2
2
4
== 
2
017045,017045,0
cm
kN
MPa ==τ 
bh
V
5,1=τ → 
τb
V
hc 5,1= cm
cm
kN
cm
kN
hc 22
017045,00,8
0,2
5,1
2
=
×
= 
5 
 
c) Deslocamento vertical 
EI
PL
vmáx
48
3
= → 
máxvE
PL
I
48
3
= 
12
3
bh
I = 
2
96040600409
cm
kN
MPaE == 
máxvE
PLbh
4812
33
= → 3
3
48
12
máx
v
vbE
PL
h = 
( )
cm
cmcm
cm
kN
cmkN
hv 25
10,00,89604048
800412
3
2
3
=
×××
××
= 
 
 Há três alturas calculadas referentes à flexão, cisalhamento e deslocamento 
vertical, respectivamente. A altura que atende ao mesmo tempo todas as exigências é a 
maior altura. Portanto, neste exemplo, é a altura referente ao cálculo do deslocamento 
vertical hv = 25 cm. 
 





=
=
=
≥
cmh
cmh
cmh
h
v
c
f
25
22
20
 → cmh 25= 
Resposta: h = 25 cm.