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Aula 07 de Resistência I - Flexão Pura

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Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Aula 07 
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
II.1. Introdução 
II.2. Tração e Compressão de Barras 
II.3. Flexão Pura de Barras 
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
II.3. Flexão Pura de Barras 
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
xddz  
ydzdw z com varia:
dwdzAA' 

  xx yddzdyAA'  

xdydw  
dz
dθ
y
dz
dw x
z 
Supondo 
:0 e 0  yx MM
dz
d
EyE xz
 z
Logo, 
dz
z
x
y
A
xM
M M 
dz
 (variável) dw
eixo da barra 
A A’ 
dz 
dx 
 
y 
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
0 0   A
x
A
z dA
dz
d
EydAN

0 0   A
x
A
zy dA
dz
d
ExydAxM

O eixo de flexão x é central 
Os eixos x e y são principais 
eixo da barra 
A A’ 
dz 
dx 
 
y 
dz
z
x
y
A
xM
M M 
dz
 (variável) dw
0 0  xA SydA
0 0  xyA IxydA
II.3. Flexão Pura de Barras 
Supondo 
:0 e 0  yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
Flexão Reta: 
eixo da barra 
A A’ 
dz 
dx 
 
y 
dz
z
x
y
A
xM
M M 
dz
 (variável) dw
O momento resultante M = Mx 
atua segundo um eixo principal 
II.3. Flexão Pura de Barras 
Supondo 
:0 e 0  yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
  A
x
x
A
zx dA
dz
d
EyMdAyM
 2 
, Como z
dz
d
Ey x
 
x
x
I
yM
z
x
x
EI
yM
z
eixo da barra 
A A’ 
dz 
dx 
 
y 
dz
z
x
y
A
xM
M M 
dz
 (variável) dw
x
xx
x
x
x
A
x
x
EI
M
dz
d
I
dz
d
EMdAy
dz
d
EM  

 2
II.3. Flexão Pura de Barras 
Supondo 
:0 e 0  yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
dz
xM
z
y
z
eixo da barra 
A A’ 
dz 
dx 
 
y 
z
x
SN: Superfície Neutra 
LN: Linha Neutra 
dz
z
x
y
A
xM
M M 
dz
 (variável) dw
x
x
I
yM
z
x
x
EI
yM
z
LN: lugar geométrico dos pontos de tensão e deformação nulas. 
As tensões variam 
linearmente com y. 
De um lado da LN, tração; do outro lado, compressão 
II.3. Flexão Pura de Barras 
Supondo 
:0 e 0  yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
x
x
I
yM
z
Resumindo: 
  0 0 xA z SdAN 
0y
Equação da LN 
  0A zy dAxM 
   dAyM A zx 
Flexão Reta (os eixos x e y são principais) 
x
x
EI
yM
z
dz
z
x
y
A
xM
M M 
dz
 (variável) dw
0 xyI
II.3. Flexão Pura de Barras 
Supondo 
:0 e 0  yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
xdzdw z com varia:
eixo da barra 
A A’ 
dz 
dy 
 
x dz
dθ
x
dz
dw y
z 
dz
d
ExE
y
z

 z
M M 
dz
 (variável) dw
Analogamente, 
dz
z
x
y
A
yM
II.3. Flexão Pura de Barras 
Supondo 
:0 e 0  yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
dz
z
x
y
A
yM
M M 
dz
 (variável) dw
0 0   A
y
A
z dA
dz
d
ExdAN

0 0   A
y
A
zx dA
dz
d
ExydAyM

O eixo de flexão y é central 
Os eixos x e y são principais 
0 0  yA SxdA
0 0  xyA IxydA
eixo da barra 
A A’ 
dz 
dy 
 
x 
II.3. Flexão Pura de Barras 
Supondo 
:0 e 0  yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
dz
z
x
y
A
yM
M M 
dz
 (variável) dwFlexão Reta: 
O momento resultante M = My 
atua segundo um eixo principal 
dAxM
A
zy  
y
y
I
xM
z
y
y
EI
xM
z
 eixo da barra 
A A’ 
dz 
dy 
 
x 
II.3. Flexão Pura de Barras 
Supondo 
:0 e 0  yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
dz
z
x
y
A
yM
M M 
dz
 (variável) dw
eixo da barra 
A A’ 
dz 
dy 
 
x 
y
y
I
xM
z
y
y
EI
xM
z
LN: lugar geométrico dos pontos de tensão e deformação nulas. 
As tensões variam 
linearmente com x. 
De um lado da LN, tração; do outro lado, compressão 
dz
yM
z
x
z
z
y
SN: Superfície Neutra 
LN: Linha Neutra 
II.3. Flexão Pura de Barras 
Supondo 
:0 e 0  yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
dz
z
x
y
A
yM
M M 
dz
 (variável) dw
y
y
I
xM
z
Resumindo: 
  0 0 yA z SdAN 
0x
Equação da LN 
  0A zx dAyM 
   dAxM A zy 
Flexão Reta (os eixos x e y são principais) 
y
y
EI
xM
z
0 xyI
II.3. Flexão Pura de Barras 
Supondo 
:0 e 0  yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
Se o eixo de flexão não é um eixo 
principal, obtém-se, do PSE, 
22
yx MMM 
y
y
x
x
I
xM
I
yM
z
As tensões e as deformações 
variam linearmente com x e com y 
y
y
x
x
EI
xM
EI
yM
z









y
y
x
x
y
EI
xM
EI
yMx
M M 
dz
 (variável) dw
dz
z
x
y
A
M
II.3. Flexão Pura de Barras 
Supondo 
:0 e 0  yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
22
yx MMM 
M M 
dz
 (variável) dw
dz
z
x
y
A
M
Flexão Oblíqua: 
O momento resultante M não 
atua segundo um eixo principal 
II.3. Flexão Pura de Barras 
Supondo 
:0 e 0  yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
Equação da LN: 
22
yx MMM 
 0z
y
y
x
x
I
xM
I
yM x
M
M
I
I
y
x
y
y
x
,sen e cos Se  MMMM yx 
x
y M
 
x
I
I
y
y
x








 tan
ou 
 xy tan
 
LN 
A LN não coincide necessariamente com o eixo de flexão 
M M 
dz
 (variável) dw
dz
z
x
y
A
M
II.3. Flexão Pura de Barras 
Supondo 
:0 e 0  yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
Tensões Máximas: 
22
yx MMM 
x
y M
 
 
LN 
y
y
x
x
I
xM
I
yM
z
é a equação de um plano que 
intercepta a seção na LN. 
Logo, as máximas tensões na seção ocorrerão nos pontos 
mais afastados da LN: A e B A 
B 
xA yA 
xB 
yB 
tA xx 
tA yy 
cB xx 
cB yy 
M M 
dz
 (variável) dw
dz
z
x
y
A
M
II.3. Flexão Pura de Barras 
Supondo 
:0 e 0  yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 
Tensões Máximas: 
22
yx MMM 
yt
y
xt
x
y
ty