Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Aula 07 Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES II.1. Introdução II.2. Tração e Compressão de Barras II.3. Flexão Pura de Barras Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES II.3. Flexão Pura de Barras Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura xddz ydzdw z com varia: dwdzAA' xx yddzdyAA' xdydw dz dθ y dz dw x z Supondo :0 e 0 yx MM dz d EyE xz z Logo, dz z x y A xM M M dz (variável) dw eixo da barra A A’ dz dx y Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 0 0 A x A z dA dz d EydAN 0 0 A x A zy dA dz d ExydAxM O eixo de flexão x é central Os eixos x e y são principais eixo da barra A A’ dz dx y dz z x y A xM M M dz (variável) dw 0 0 xA SydA 0 0 xyA IxydA II.3. Flexão Pura de Barras Supondo :0 e 0 yx MM Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura Flexão Reta: eixo da barra A A’ dz dx y dz z x y A xM M M dz (variável) dw O momento resultante M = Mx atua segundo um eixo principal II.3. Flexão Pura de Barras Supondo :0 e 0 yx MM Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura A x x A zx dA dz d EyMdAyM 2 , Como z dz d Ey x x x I yM z x x EI yM z eixo da barra A A’ dz dx y dz z x y A xM M M dz (variável) dw x xx x x x A x x EI M dz d I dz d EMdAy dz d EM 2 II.3. Flexão Pura de Barras Supondo :0 e 0 yx MM Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura dz xM z y z eixo da barra A A’ dz dx y z x SN: Superfície Neutra LN: Linha Neutra dz z x y A xM M M dz (variável) dw x x I yM z x x EI yM z LN: lugar geométrico dos pontos de tensão e deformação nulas. As tensões variam linearmente com y. De um lado da LN, tração; do outro lado, compressão II.3. Flexão Pura de Barras Supondo :0 e 0 yx MM Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura x x I yM z Resumindo: 0 0 xA z SdAN 0y Equação da LN 0A zy dAxM dAyM A zx Flexão Reta (os eixos x e y são principais) x x EI yM z dz z x y A xM M M dz (variável) dw 0 xyI II.3. Flexão Pura de Barras Supondo :0 e 0 yx MM Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura xdzdw z com varia: eixo da barra A A’ dz dy x dz dθ x dz dw y z dz d ExE y z z M M dz (variável) dw Analogamente, dz z x y A yM II.3. Flexão Pura de Barras Supondo :0 e 0 yx MM Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura dz z x y A yM M M dz (variável) dw 0 0 A y A z dA dz d ExdAN 0 0 A y A zx dA dz d ExydAyM O eixo de flexão y é central Os eixos x e y são principais 0 0 yA SxdA 0 0 xyA IxydA eixo da barra A A’ dz dy x II.3. Flexão Pura de Barras Supondo :0 e 0 yx MM Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura dz z x y A yM M M dz (variável) dwFlexão Reta: O momento resultante M = My atua segundo um eixo principal dAxM A zy y y I xM z y y EI xM z eixo da barra A A’ dz dy x II.3. Flexão Pura de Barras Supondo :0 e 0 yx MM Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura dz z x y A yM M M dz (variável) dw eixo da barra A A’ dz dy x y y I xM z y y EI xM z LN: lugar geométrico dos pontos de tensão e deformação nulas. As tensões variam linearmente com x. De um lado da LN, tração; do outro lado, compressão dz yM z x z z y SN: Superfície Neutra LN: Linha Neutra II.3. Flexão Pura de Barras Supondo :0 e 0 yx MM Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura dz z x y A yM M M dz (variável) dw y y I xM z Resumindo: 0 0 yA z SdAN 0x Equação da LN 0A zx dAyM dAxM A zy Flexão Reta (os eixos x e y são principais) y y EI xM z 0 xyI II.3. Flexão Pura de Barras Supondo :0 e 0 yx MM Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura Se o eixo de flexão não é um eixo principal, obtém-se, do PSE, 22 yx MMM y y x x I xM I yM z As tensões e as deformações variam linearmente com x e com y y y x x EI xM EI yM z y y x x y EI xM EI yMx M M dz (variável) dw dz z x y A M II.3. Flexão Pura de Barras Supondo :0 e 0 yx MM Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura 22 yx MMM M M dz (variável) dw dz z x y A M Flexão Oblíqua: O momento resultante M não atua segundo um eixo principal II.3. Flexão Pura de Barras Supondo :0 e 0 yx MM Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura Equação da LN: 22 yx MMM 0z y y x x I xM I yM x M M I I y x y y x ,sen e cos Se MMMM yx x y M x I I y y x tan ou xy tan LN A LN não coincide necessariamente com o eixo de flexão M M dz (variável) dw dz z x y A M II.3. Flexão Pura de Barras Supondo :0 e 0 yx MM Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura Tensões Máximas: 22 yx MMM x y M LN y y x x I xM I yM z é a equação de um plano que intercepta a seção na LN. Logo, as máximas tensões na seção ocorrerão nos pontos mais afastados da LN: A e B A B xA yA xB yB tA xx tA yy cB xx cB yy M M dz (variável) dw dz z x y A M II.3. Flexão Pura de Barras Supondo :0 e 0 yx MM Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Cap. II: Solicitações Normais – Tração, Compressão e Flexão Pura Tensões Máximas: 22 yx MMM yt y xt x y ty