Aula 07 de Resistência I - Flexão Pura

Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES 
Aula 07 
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES 
II.1. Introdução 
II.2. Tração e Compressão de Barras 
II.3. Flexão Pura de Barras 
Cap. II: Solicitações Normais \u2013 Tração, Compressão e Flexão Pura 
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES 
II.3. Flexão Pura de Barras 
Cap. II: Solicitações Normais \u2013 Tração, Compressão e Flexão Pura 
xddz \uf071\uf072 \uf03d
ydzdw z com varia:\uf065\uf03d
dwdzAA' \uf02b\uf03d
\uf0d9
\uf028 \uf029 xx yddzdyAA' \uf071\uf071\uf072 \uf02b\uf03d\uf02b\uf03d
\uf0d9
xdydw \uf071 \uf03d
dz
d\u3b8
y
dz
dw x
z \uf03d\uf03d\uf065
Supondo 
:0 e 0 \uf03d\uf0b9 yx MM
dz
d
EyE xz
\uf071\uf065\uf073 \uf03d\uf03dz
Logo, 
dz
z
x
y
A
xM
M M 
dz
 (variável) dw
eixo da barra 
A A\u2019 
dz 
d\uf071x 
\uf072 
y 
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais \u2013 Tração, Compressão e Flexão Pura 
0 0 \uf03d\uf05c\uf03d\uf03d \uf0f2\uf0f2 A
x
A
z dA
dz
d
EydAN
\uf071\uf073
0 0 \uf03d\uf05c\uf03d\uf02d\uf03d \uf0f2\uf0f2 A
x
A
zy dA
dz
d
ExydAxM
\uf071\uf073
O eixo de flexão x é central 
Os eixos x e y são principais 
eixo da barra 
A A\u2019 
dz 
d\uf071x 
\uf072 
y 
dz
z
x
y
A
xM
M M 
dz
 (variável) dw
0 0 \uf03d\uf05c\uf03d\uf0f2 xA SydA
0 0 \uf03d\uf05c\uf03d\uf0f2 xyA IxydA
II.3. Flexão Pura de Barras 
Supondo 
:0 e 0 \uf03d\uf0b9 yx MM
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Cap. II: Solicitações Normais \u2013 Tração, Compressão e Flexão Pura 
Flexão Reta: 
eixo da barra 
A A\u2019 
dz 
d\uf071x 
\uf072 
y 
dz
z
x
y
A
xM
M M 
dz
 (variável) dw
O momento resultante M = Mx 
atua segundo um eixo principal 
II.3. Flexão Pura de Barras 
Supondo 
:0 e 0 \uf03d\uf0b9 yx MM
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Cap. II: Solicitações Normais \u2013 Tração, Compressão e Flexão Pura 
\uf0f2\uf0f2 \uf03d\uf05c\uf03d A
x
x
A
zx dA
dz
d
EyMdAyM
\uf071\uf073 2 
, Como z
dz
d
Ey x
\uf071\uf073 \uf03d
x
x
I
yM
\uf03dz\uf073
x
x
EI
yM
\uf03dz\uf065
eixo da barra 
A A\u2019 
dz 
d\uf071x 
\uf072 
y 
dz
z
x
y
A
xM
M M 
dz
 (variável) dw
x
xx
x
x
x
A
x
x
EI
M
dz
d
I
dz
d
EMdAy
dz
d
EM \uf03d\uf05c\uf03d\uf05c\uf03d \uf0f2
\uf071\uf071\uf071
 2
II.3. Flexão Pura de Barras 
Supondo 
:0 e 0 \uf03d\uf0b9 yx MM
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Cap. II: Solicitações Normais \u2013 Tração, Compressão e Flexão Pura 
dz
xM
z\uf073
y
z
eixo da barra 
A A\u2019 
dz 
d\uf071x 
\uf072 
y 
z
x
SN: Superfície Neutra 
LN: Linha Neutra 
dz
z
x
y
A
xM
M M 
dz
 (variável) dw
x
x
I
yM
\uf03dz\uf073
x
x
EI
yM
\uf03dz\uf065
LN: lugar geométrico dos pontos de tensão e deformação nulas. 
As tensões variam 
linearmente com y. 
De um lado da LN, tração; do outro lado, compressão 
II.3. Flexão Pura de Barras 
Supondo 
:0 e 0 \uf03d\uf0b9 yx MM
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Cap. II: Solicitações Normais \u2013 Tração, Compressão e Flexão Pura 
x
x
I
yM
\uf03dz\uf073
Resumindo: 
\uf05c\uf03d\uf05c\uf03d\uf03d \uf0f2 0 0 xA z SdAN \uf073
0\uf03dy
Equação da LN 
\uf05c\uf03d\uf02d\uf03d \uf0f2 0A zy dAxM \uf073
 \uf05c\uf03d \uf0f2 dAyM A zx \uf073
Flexão Reta (os eixos x e y são principais) 
x
x
EI
yM
\uf03dz\uf065
dz
z
x
y
A
xM
M M 
dz
 (variável) dw
0 \uf03dxyI
II.3. Flexão Pura de Barras 
Supondo 
:0 e 0 \uf03d\uf0b9 yx MM
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Cap. II: Solicitações Normais \u2013 Tração, Compressão e Flexão Pura 
xdzdw z com varia:\uf065\uf03d
eixo da barra 
A A\u2019 
dz 
d\uf071y 
\uf072 
x dz
d\u3b8
x
dz
dw y
z \uf03d\uf03d\uf065
dz
d
ExE
y
z
\uf071
\uf065\uf073 \uf03d\uf03dz
M M 
dz
 (variável) dw
Analogamente, 
dz
z
x
y
A
yM
II.3. Flexão Pura de Barras 
Supondo 
:0 e 0 \uf0b9\uf03d yx MM
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Cap. II: Solicitações Normais \u2013 Tração, Compressão e Flexão Pura 
dz
z
x
y
A
yM
M M 
dz
 (variável) dw
0 0 \uf03d\uf05c\uf03d\uf03d \uf0f2\uf0f2 A
y
A
z dA
dz
d
ExdAN
\uf071\uf073
0 0 \uf03d\uf05c\uf03d\uf02d\uf03d \uf0f2\uf0f2 A
y
A
zx dA
dz
d
ExydAyM
\uf071\uf073
O eixo de flexão y é central 
Os eixos x e y são principais 
0 0 \uf03d\uf05c\uf03d\uf0f2 yA SxdA
0 0 \uf03d\uf05c\uf03d\uf0f2 xyA IxydA
eixo da barra 
A A\u2019 
dz 
d\uf071y 
\uf072 
x 
II.3. Flexão Pura de Barras 
Supondo 
:0 e 0 \uf0b9\uf03d yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais \u2013 Tração, Compressão e Flexão Pura 
dz
z
x
y
A
yM
M M 
dz
 (variável) dwFlexão Reta: 
O momento resultante M = My 
atua segundo um eixo principal 
dAxM
A
zy \uf0f2\uf02d\uf03d \uf073
y
y
I
xM\uf02d
\uf03dz\uf073
y
y
EI
xM\uf02d
\uf03dz\uf065
\uf05c eixo da barra 
A A\u2019 
dz 
d\uf071y 
\uf072 
x 
II.3. Flexão Pura de Barras 
Supondo 
:0 e 0 \uf0b9\uf03d yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais \u2013 Tração, Compressão e Flexão Pura 
dz
z
x
y
A
yM
M M 
dz
 (variável) dw
eixo da barra 
A A\u2019 
dz 
d\uf071y 
\uf072 
x 
y
y
I
xM\uf02d
\uf03dz\uf073
y
y
EI
xM\uf02d
\uf03dz\uf065
LN: lugar geométrico dos pontos de tensão e deformação nulas. 
As tensões variam 
linearmente com x. 
De um lado da LN, tração; do outro lado, compressão 
dz
yM
z\uf073
x
z
z
y
SN: Superfície Neutra 
LN: Linha Neutra 
II.3. Flexão Pura de Barras 
Supondo 
:0 e 0 \uf0b9\uf03d yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais \u2013 Tração, Compressão e Flexão Pura 
dz
z
x
y
A
yM
M M 
dz
 (variável) dw
y
y
I
xM\uf02d
\uf03dz\uf073
Resumindo: 
\uf05c\uf03d\uf05c\uf03d\uf03d \uf0f2 0 0 yA z SdAN \uf073
0\uf03dx
Equação da LN 
\uf05c\uf03d\uf03d \uf0f2 0A zx dAyM \uf073
 \uf05c\uf02d\uf03d \uf0f2 dAxM A zy \uf073
Flexão Reta (os eixos x e y são principais) 
y
y
EI
xM\uf02d
\uf03dz\uf065
0 \uf03dxyI
II.3. Flexão Pura de Barras 
Supondo 
:0 e 0 \uf0b9\uf03d yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais \u2013 Tração, Compressão e Flexão Pura 
Se o eixo de flexão não é um eixo 
principal, obtém-se, do PSE, 
22
yx MMM \uf02b\uf03d
y
y
x
x
I
xM
I
yM
\uf02d\uf03dz\uf073
As tensões e as deformações 
variam linearmente com x e com y 
y
y
x
x
EI
xM
EI
yM
\uf02d\uf03dz\uf065
\uf0f7
\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6
\uf02d\uf02d\uf03d\uf03d
y
y
x
x
y
EI
xM
EI
yM\uf06e\uf065\uf065x
M M 
dz
 (variável) dw
dz
z
x
y
A
M
II.3. Flexão Pura de Barras 
Supondo 
:0 e 0 \uf0b9\uf0b9 yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais \u2013 Tração, Compressão e Flexão Pura 
22
yx MMM \uf02b\uf03d
M M 
dz
 (variável) dw
dz
z
x
y
A
M
Flexão Oblíqua: 
O momento resultante M não 
atua segundo um eixo principal 
II.3. Flexão Pura de Barras 
Supondo 
:0 e 0 \uf0b9\uf0b9 yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais \u2013 Tração, Compressão e Flexão Pura 
Equação da LN: 
22
yx MMM \uf02b\uf03d
\uf05c\uf03d\uf02d\uf03d 0z
y
y
x
x
I
xM
I
yM\uf073 x
M
M
I
I
y
x
y
y
x\uf03d
,sen e cos Se \uf071\uf071 MMMM yx \uf03d\uf03d
x
y M
\uf071 
x
I
I
y
y
x
\uf0f7
\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6
\uf03d \uf071tan
ou 
\uf028 \uf029xy \uf062tan\uf03d
\uf062 
LN 
A LN não coincide necessariamente com o eixo de flexão 
M M 
dz
 (variável) dw
dz
z
x
y
A
M
II.3. Flexão Pura de Barras 
Supondo 
:0 e 0 \uf0b9\uf0b9 yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais \u2013 Tração, Compressão e Flexão Pura 
Tensões Máximas: 
22
yx MMM \uf02b\uf03d
x
y M
\uf071 
\uf062 
LN 
y
y
x
x
I
xM
I
yM
\uf02d\uf03dz\uf073
é a equação de um plano que 
intercepta a seção na LN. 
Logo, as máximas tensões na seção ocorrerão nos pontos 
mais afastados da LN: A e B A 
B 
xA yA 
xB 
yB 
tA xx \uf03d
tA yy \uf03d
cB xx \uf03d
cB yy \uf03d
M M 
dz
 (variável) dw
dz
z
x
y
A
M
II.3. Flexão Pura de Barras 
Supondo 
:0 e 0 \uf0b9\uf0b9 yx MM
Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis 
Departamento de Engenharia Civil \u2013 Centro Tecnológico - UFES 
Cap. II: Solicitações Normais \u2013 Tração, Compressão e Flexão Pura 
Tensões Máximas: 
22
yx MMM \uf02b\uf03d
yt
y
xt
x
y
ty