apostila

e
V (X) =
\u222b \u221e
\u2212\u221e
(xi \u2212 µ)2f(x)dx, (4.11)
para varia´veis aleato´rias cont´\u131nuas.
Obs.
V (X) = E[X \u2212 E(X)]2
= E{X2 \u2212 2XE(X) + [E(X)]2}
= E(X2)\u2212 2E(X)E(X) + [E(X)]2
= E(X2)\u2212 [E(X)]2
com,
E(X2) =
\u2211
i
x2iP (X = xi),
no caso discreto, e
E(X2) =
\u222b \u221e
\u2212\u221e
x2f(x)dx,
no caso cont´\u131nuo.
Ex1. Para a varia´vel aleato´ria cont´\u131nua definida por:\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2
\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
f(x) = 0 para x < 0
f(x) = x
2
para 0 \u2264 x \u2264 2
f(x) = 0para x > 2
71
tem-se:
V (X) = E(X2)\u2212 [E(X)]2
E(X2) =
\u222b \u221e
\u2212\u221e
x2f(x)dx
=
\u222b 0
\u2212\u221e
0dx+
\u222b 2
0
x3
2
dx+
\u222b \u221e
2
0dx
= 2 unidade
V (X) = 2\u2212
(
4
3
)2
=
2
9
unidade2
Ex2: Para a varia´vel aleato´ria discreta nu´mero de componentes pifados tem-
se:
X 0 1 2 3
P (X = x) 1
8
3
8
3
8
1
8
\u2211
= 1, 0
V (X) = E(X2)\u2212 [E(X)]2
E(X2) =
\u2211
i
x2iP (X = xi)
= (02)
1
8
+ (12)
3
8
+ (22)
3
8
+ (32)
1
8
= 3
V (X) = 3\u2212
(
3
2
)2
=
3
4
(componentes pifados por sistema)2
4.2.5.1 Propriedades da varia\u2c6ncia
i. V (k) = 0, k = constante;
ii. V (k.X) = k2V (X);
iii. V (k ±X) = V (X);
iv. V (X ± Y ) = V (X)± V (Y ) se X e Y forem independentes;
72
4.2.6 Covaria\u2c6ncia
A covaria\u2c6ncia mede o grau de dispersa\u2dco conjunta de duas varia´veis aleato´rias.
Cov(X,Y ) = E {[X \u2212 E(X)][Y \u2212 E(Y )]} = E(XY )\u2212 E(X)E(Y ), (4.12)
com,
E(XY ) =
\u2211
i
\u2211
j
xiyjP (X = xi)(Y = yj),
para varia´veis aleato´rias discretas, e
E(XY ) =
\u222b \u221e
\u2212\u221e
\u222b \u221e
\u2212\u221e
xyf(xy)dxdy,
para varia´veis aleato´rias continuas.
Obs. Para duas varia´veis aleato´rias quaisquer tem-se:
V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) + 2Cov(X,Y ).
Se X e Y forem independentes, Cov(X,Y ) = 0, voltando-se a propriedade
iv. das varia\u2c6ncias. Pore´m o fato de Cox(X,Y ) = 0 na\u2dco implica que X e Y sejam
independentes.
4.3 Distribuic¸o\u2dces de varia´veis aleato´rias discretas
4.3.1 Distribuic¸a\u2dco Uniforme Discreta
Enquadram-se aqui as distribuic¸o\u2dces em que os poss´\u131veis valores da varia´vel
aleato´ria tenham todos a mesma probabilidade de ocorre\u2c6ncia. Logo, se existem n valores
poss´\u131veis, cada um tera´ probabilidade igual a 1
n
.
Ex. Seja o lanc¸amento de um dado e a varia´vel aleato´ria X = \u201cface superior
do dado\u201d, tem-se que:
X 1 2 3 4 5 6
P (X = x) 1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
\u2211
= 1
73
ou P (X = x) = 1/6
4.3.2 Distribuic¸a\u2dco de Bernoulli
Seja um experimento onde so´ podem ocorrer dois poss´\u131veis resultados,
\u201csucesso\u201d e \u201cfracasso\u201d, como por exemplo:
\u2022 Um jogador de basquete converter ou na\u2dco converter um arremesso,
\u2022 Um indiv´\u131duo portador de certa doenc¸a morrer ou na\u2dco,
\u2022 Uma pec¸a produzida por uma Cia. Ser perfeita ou defeituosa,
\u2022 O sexo do primeiro filho de um casal ser masculino ou feminino,
\u2022 Um consumidor que entra numa loja comprar ou na\u2dco comprar um produto.
Associando-se uma varia´vel aleato´ria X aos poss´\u131veis resultados do experi-
mento, de forma que:
X = 1 se o resultado for \u201csucesso\u201d e
X = 0 se o resultado for \u201cfracasso\u201d.
Enta\u2dco, a varia´vel aleato´ria X, assim definida tem distribuic¸a\u2dco Bernoulli, com
p sendo a probabilidade de ocorrer \u201csucesso\u201d, e q = (1 \u2212 p) a probabilidade de ocorrer
\u201cfracasso\u201d.
Func¸a\u2dco de probabilidade
A func¸a\u2dco de probabilidade da Distribuic¸a\u2dco de Bernoulli e´ dada por:
P (X = x) =
\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2
\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
q = (1\u2212 p) para x = 0
p para x = 1
0 para outros valores de x.
(4.13)
Para\u2c6metros caracter´\u131sticos
E(X) = p
74
Prova:
E(X) =
\u2211
xiP (X = xi)
= 1p+ 0(1\u2212 P )
= p
V (X) = pq
Prova:
V (X) = E(X2)\u2212 [E(X)]2
E(X2) =
\u2211
x2iP (X = xi)
= p
\u2234
V (X) = p\u2212 p2
= P (1\u2212 p)
= pq
4.3.3 Distribuic¸a\u2dco Binomial.
E´ a mais importante das distribuic¸o\u2dces de probabilidades discretas. Sendo
que, para um experimento se enquadrar na distribuic¸a\u2dco Binomial, deve-se atender as
seguintes condic¸o\u2dces:
i. Sa\u2dco realizadas n provas (tentativas) independente;
ii. Cada tentativa e´ uma prova de Bernoulli (so´ podem ocorrer dois poss´\u131veis resultados);
iii. A probabilidade p de sucesso em cada prova e´ constante.
Se um experimento atende a todas as condic¸o\u2dces acima, enta\u2dco a varia´vel aleato´ria X =
nu´mero de sucessos obtidos nas n tentativas tera´ uma distribuic¸a\u2dco Binomial, com n ten-
tativas e p (probabilidade de sucesso). Simbolicamente : X \u223c B(n, p)
75
Func¸a\u2dco de Probabilidade
P (X = x) = Cxnp
xqn\u2212x, (4.14)
com
Cxn =
n!
x!(n\u2212x)! ;
p = probabilidade de \u201csucesso\u201d;
q = 1\u2212 p = probabilidade de \u201cfracasso\u201d
Para\u2c6metros caracter´\u131sticos
E(X) = np
V (X) = npq
prova:
E(X) =
n\u2211
x=0
xP (X = x)
=
n\u2211
x=0
xCxnp
xqn\u2212x
=
n\u2211
x=0
x
n!
x!(n\u2212 x)!p
xqn\u2212x
=
n\u2211
x=1
n!
(x\u2212 1)!(n\u2212 x)!p
xqn\u2212xfazendo s = x\u2212 1
=
n\u22121\u2211
s=0
n
(n\u2212 1)!
s!(n\u2212 1\u2212 s)!p
(s+1)qn\u2212(s+1)
= n
n\u22121\u2211
s=0
Cs(n\u22121)p
(s+1)qn\u2212(s+1)
= np
n\u22121\u2211
s=0
Cs(n\u22121)p
sq(n\u22121)\u2212s
= np
Exemplos:
Ex1. Sabendo-se que a probabilidade de um determinado casal gerar um
filho com olhos azuis e´ de 1
4
, qual a probabilidade de que dentre tre\u2c6s filhos deste casal,
76
a) Nenhum tenha olhos azuis.
b) Um tenha olhos azuis.
c) Dois tenham olhos azuis.
d) Os Tre\u2c6s tenham olhos azuis.
Sera\u2dco considerados dois me´todos para resoluc¸a\u2dco deste exemplo:
1oMe´todo - pela definic¸a\u2dco de probabilidades:
Espac¸o amostral:
\u2126 =
\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2
\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
EEE EAA
EEA AEA
EAE AAE
AEE AAA
\uf8fc\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8fd
\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8fe
Uma vez que a cor dos olhos de um filho independe da cor dos olhos dos demais (sa\u2dco
eventos independentes), a probabilidade de cada um dos eventos do espac¸o amostral e´:
P (EEE) = 27
64
P (EAA) = 3
64
P (EEA) = 9
64
P (AEA) = 3
64
P (EAE) = 9
64
P (AAE) = 3
64
P (AEE) = 9
64
P (AAA) = 1
64
Assim,
a. P (Nenhum com olhos azuis) = PEEE = 27
64
;
b. P (um com olhos azuis) = P (EEA \u222a EAE \u222a AEE) = 9
64
+ 9
64
+ 9
64
= 27
64
;
c. P (dois com olhos azuis) = P (EAA \u222a AAE \u222a AEA) = 3
64
+ 3
64
+ 3
64
= 9
64
;
d. P (tre\u2c6s com olhos azuis) = P (AAA) = 1
64
;
2o Me´todo - utilizando a func¸a\u2dco de probabilidade binomial:
X \u223c B(3, 1
4
)
77
a. P (Nenhum com olhos azuis) = P (X = 0) = C03
(
1
4
)0 (3
4
)3
= 27
64
;
b. P (um com olhos azuis) = P (X = 1) = C13
(
1
4
)1 (3
4
)2
= 27
64
;
c. P (dois com olhos azuis) = P (X = 2) = C23
(
1
4
)2 (3
4
)1
= 9
64
;
d. P (tre\u2c6s com olhos azuis) = P (X = 3) = C33
(
1
4
)3 (3
4
)0
= 1
64
;
Deste modo, verifica-se que a probabilidade total e´ dada por: C03p
0q3 +
C13p
1q2 + C23p
2q1 + C33p
3q0 que corresponde a expansa\u2dco do bino\u2c6mio (p + q)3 da´\u131 o nome
distribuic¸a\u2dco binomial.
Ex2. Num determinado processo de fabricac¸a\u2dco, 10% das pec¸as produzidas
sa\u2dco consideradas defeituosas. As pec¸as sa\u2dco acondicionadas em caixas com 5 unidades cada
uma.
a) Qual a probabilidade de haverem exatamente 3 pec¸as defeituosas numa caixa?
X \u223c B(5, 0, 1)
P (X = 3) = C35(0, 1)
3(0, 9)2 = 0, 0081
b) Qual a probabilidade de haverem duas ou mais pec¸as defeituosas em uma caixa?
P (X \u2265 2) = P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5) = 1 \u2212
[P (X = 0) + P (X = 1)] = 0, 0815
c) Qual a probabilidade de uma caixa na\u2dco apresentar nenhuma pec¸a defeituosa?
P (X = 0) = C05(0, 1)
0(0, 9)5 = 0, 5905
d) Supondo que a empresa pague uma multa de R$10,00 por caixa que apresente pec¸as
defeituosas, qual o valor esperado desta multa em um lote de 1000 caixas?
P (uma caixa ter pec¸a defeituosa) = 1\u2212 P (X = 0) = 0, 4095.
O nu´mero de caixas com pec¸as defeituosas em um lote de 1000 caixas segue uma
distribuic¸a\u2dco binomial com n = 1000 e p = 0, 4095. Assim,
E(Y ) = np = 1000.0, 4095 = 409, 5 caixas. e o valor esperado da multa:
E(Multa)