apostila

inde-
pendentemente do poder aquisitivo possa ser consumidora deste produto.
5.3 Distribuic¸o\u2dces Amostrais
107
Figura 5.2: Representac¸a\u2dco esquema´tica da distribuic¸a\u2dco amostral de um estimador.
5.3.1 Distribuic¸a\u2dco amostral da me´dia
Considere-se, a t´\u131tulo de exemplo, uma populac¸a\u2dco hipote´tica, formada por
tre\u2c6s indiv´\u131duos, para os quais a varia´vel de interesse (X), seja a nota final destes indiv´\u131duos
na disciplina estat´\u131stica, a qual segue uma distribuic¸a\u2dco uniforme discreta como apresentado
a seguir:
X 8 9 10
P (X = x) 1
3
1
3
1
3
\u2211
= 1
Neste caso tem-se:
N = 3;
E(X) = µ = 9;
V (X) = \u3c32 = 2
3
.
5.3.1.1 Amostragem com reposic¸a\u2dco
Retirando-se todas as poss´\u131veis amostras com reposic¸a\u2dco, de tamanho n = 2,
tem-se um total de 32 = 9 poss´\u131veis amostras, as quais esta\u2dco apresentadas a seguir:
108
Figura 5.3: Distribuic¸a\u2dco das notas de tre\u2c6s alunos.
Amostra Indiv´\u131duos Notas x¯
1 1;1 8 e 8 8
2 1;2 8 e 9 8,5
3 1;3 8 e 10 9
4 2;1 9 e 8 8,5
5 2;2 9 e 9 9
6 2;3 9 e 10 9,5
7 3;1 10 e 8 9
8 3;2 10 e 9 9,5
9 3;3 10 e 10 10
A distribuic¸a\u2dco amostral de x¯ sera´:
x¯ 8 8,5 9 9,5 10
P (x¯ = x¯i)
1
9
2
9
3
9
2
9
1
9
Em que:
E(x¯) = µx¯ =
\u2211n
i=1 x¯iP (x¯ = x¯i) = 9, 0
V (x¯) = \u3c32x¯ =
\u2211n
i=1[x¯i \u2212 E(x¯)]2P (x¯ = x¯i) = 13
Assim, verifica-se que:
E(x¯) = 9, 0 = µ e V (x¯) = 1
3
= \u3c3
2
n
109
Figura 5.4: Distribuic¸a\u2dco amostral de x¯.
Prova:
x¯ = 1
n
\u2211n
i=1 xi
E(x¯) = E
[
1
n
n\u2211
i=1
xi
]
=
1
n
E [x1 + x2 + · · ·+ xn]
=
1
n
[E(x1) + E(x2) + · · ·+ E(xn)]
=
1
n
[µ+ µ+ · · ·+ µ]
=
1
n
nµ
= µ
110
V (x¯) = V
[
1
n
n\u2211
i=1
xi
]
=
1
n2
V [x1 + x2 + · · ·+ xn]
=
1
n2
[V (x1) + V (x2) + · · ·+ V (xn)]
=
1
n2
[
\u3c32 + \u3c32 + · · ·+ µ]
=
1
n2
n\u3c32
= \u3c32
Enta\u2dco tem-se que: x¯ \u223c N
(
µ, \u3c3
2
n
)
5.3.1.2 Amostragem sem reposic¸a\u2dco
Retirando-se todas as poss´\u131veis amostras sem reposic¸a\u2dco, de tamanho n = 2,
tem-se um total de 6 poss´\u131veis amostras, as quais esta\u2dco apresentadas a seguir:
Amostra Indiv´\u131duos Notas x¯
1 1;2 8 e 9 8,5
2 1;3 8 e 10 9
3 2;1 9 e 8 8,5
4 2;3 9 e 10 9,5
5 3;1 10 e 8 9
6 3;2 10 e 9 9,5
A distribuic¸a\u2dco amostral de x¯ sera´:
x¯ 8,5 9 9,5
P (x¯ = x¯i)
1
3
1
3
1
3
Em que:
E(x¯) = µx¯ =
\u2211n
i=1 x¯iP (x¯ = x¯i) = 9, 0
V (x¯) = \u3c32x¯ =
\u2211n
i=1[x¯i \u2212 E(x¯)]2P (x¯ = x¯i) = 16
Assim, verifica-se que:
E(x¯) = 9, 0 = µ e V (x¯) = 1
6
= \u3c3
2
n
N\u2212n
N\u22121
Deste modo, se amostragem for sem reposic¸a\u2dco, x¯ \u223c N
(
µ, \u3c3
2
n
N\u2212n
N\u22121
)
.
111
O termo N\u2212n
N\u22121 e´ conhecido como fator de correc¸a\u2dco para amostragem sem
reposic¸a\u2dco em populac¸o\u2dces finitas (ASRPF). Uma populac¸a\u2dco e´ considerada finita quando
n
N
> 0, 05 ou seja a amostra representar mais de 5% do tamanho da populac¸a\u2dco. Quando
tal crite´rio na\u2dco for satisfeito, o fator de correc¸a\u2dco torna-se desprez´\u131vel, podendo, portanto
ser eliminado.
Cap´\u131tulo 6
Infere\u2c6ncia
6.1 Teoria da estimac¸a\u2dco
6.1.1 Definic¸o\u2dces
Estimador
Consideremos uma amostra (x1, x2, x3, . . . , xn) de uma varia´vel aleato´ria que
deve descrever uma caracter´\u131stica de interesse da populac¸a\u2dco. Seja \u3b8 um para\u2c6metro que
desejamos estimar, como por exemplo a me´diaµ = E(x) ou a varia\u2c6ncia \u3c32 = V (x). Um
estimador, \u3b8\u2c6, do para\u2c6metro \u3b8 e´ uma varia´vel aleato´ria, que e´ func¸a\u2dco das observac¸o\u2dces
x1, x2, x3, . . . , xn.
Assim,
x¯ =
\u2211n
i=1 xi
n
e´ um estimador da me´dia poupulacional µ,
s2 =
\u2211n
i=1(xi\u2212x¯)2
n\u22121 e´ um estimador da varia\u2c6ncia populacional \u3c3
2
Estimativa
Estimativa e´ o valor nume´rico assumido pelo estimador quando os valores
observados x1, x2, x3, . . . , xn sa\u2dco considerados.
Assim,
x¯ = 70kg e´ uma estimativa da me´dia poupulacional µ,
s2 = 9kg2 e´ uma estimativa da varia\u2c6ncia populacional \u3c32
Estimac¸a\u2dco por ponto e por intervalo.
112
113
Quando a estimativa de um para\u2c6metro populacional e´ dada por um u´nico
valor, tem-se uma estimativa pontual do para\u2c6metro populacional, desconhecido, como por
exemplo ao a altura me´dia de uma amostra de 500 universita´rios e´ x¯ = 1, 68m, e´ uma
estimativa pontual da verdadeira altura me´dia da populac¸a\u2dco de universita´rios. Pore´m
sabe-se que x¯ \u223c N(µ; \u3c32
n
), assim sendo, para cada amostra retirada da populac¸a\u2dco, podera´
se obter uma diferente estimativa para µ. Deste modo, torna-se mais interessante obter-
se, a partir, de uma determinada amostra, um intervalo que apresente uma probabilidade
conhecida de conter o verdadeiro para\u2c6metro populacional, ou seja obter uma estimativa por
intervalo para o para\u2c6metro em questa\u2dco, como por exemplo P (1, 60 \u2264 µ \u2264 1, 76) = 0, 95,
ou seja existe 0,95 de probabilidade de que a verdadeira me´dia populacional esteja entre
1,60 e 1,76 metros, ou ainda existe 95% de confianc¸a em se afirmar que a verdadeira
me´dia populacional esteja entre 1,60 e 1,76 metros. Apesar disto, o uso de estimativas
pontuais e´ imprescind´\u131vel, haja vistas, serem necessa´rias para a obtenc¸a\u2dco das estimativas
por intervalo. Deste modo deseja´vel que estas estimativas sejam bastantes confia´veis, e
para isso e´ necessa´rio que os estimadores que as fornecera\u2dco apresentem boas propriedades,
aliado ao fato de serem obtidas a partir de amostras representativas.
6.1.2 Propriedades dos Estimadores
6.1.2.1 Na\u2dco tendenciosidade
Um estimador \u3b8\u2c6 e´ dito um estimador na\u2dco tendencioso do para\u2c6metro \u3b8 se
E(\u3b8\u2c6) = \u3b8
obs. Os termos na\u2dco tendencioso, na\u2dco viciado, na\u2dco viesado e imparcial sa\u2dco
sino\u2c6nimos.
Ex1.:x¯ =
\u2211n
i=1 xi
n
e´ um estimador na\u2dco tendencioso da me´dia populacional µ
114
prova:
E(x¯) = E
[\u2211n
i=1 xi
n
]
=
1
n
E
[
n\u2211
i=1
xi
]
=
1
n
E [x1 + x2 + · · ·+ xn]
=
1
n
[E(x1) + E(x2) + · · ·+ E(xn)]
=
1
n
[µ+ µ+ · · ·+ µ]
=
1
n
nµ
= µ
Ex2.:s2\u2217 =
\u2211n
i=1(xi\u2212x¯)2
n
e´ um estimador tendencioso da varia\u2c6ncia populacional
\u3c32.
prova:
n\u2211
i=1
(xi \u2212 x¯)2 =
n\u2211
i=1
(xi \u2212 µ+ µ\u2212 x¯)2
=
n\u2211
i=1
[(xi \u2212 µ)\u2212 (x¯\u2212 µ)]2
=
n\u2211
i=1
(xi \u2212 µ)2 \u2212 2
n\u2211
i=1
(xi \u2212 µ)(x¯\u2212 µ) +
n\u2211
i=1
(x¯\u2212 µ)2
= como (x¯\u2212 µ) e´ uma constante e
n\u2211
i=1
(xi \u2212 µ) = n(x¯\u2212 µ), tem-se:
n\u2211
i=1
(xi \u2212 x¯)2 =
n\u2211
i=1
(xi \u2212 µ)2 \u2212 n(x¯\u2212 µ)2
115
Portanto,
E
[
s2\u2217
]
= E
[\u2211n
i=1(xi \u2212 µ)2 \u2212 n(x¯\u2212 µ)2
n
]
=
1
n
{
n\u2211
i=1
E
[
(xi \u2212 µ)2
]\u2212 nE [(x¯\u2212 µ)2]
}
=
1
n
{nV (X)\u2212 nV (x¯)}
=
1
n
{
n\u3c32 \u2212 n\u3c3
2
n
}
=
n\u2212 1
n
\u3c32
Deste modo, verifica-se que s2\u2217 e´ um estimador tendencioso de \u3c32. UM
estimador na\u2dco tendencioso e´ facilmente obtido por:
s2 =
n
n\u2212 1s
2\u2217 =
\u2211n
i=1(x1 \u2212 x¯)2
n\u2212 1 (6.1)
6.1.2.2 Consiste\u2c6ncia.
Um estimador \u3b8\u2c6 e´ um estimador consistente do para\u2c6metro \u3b8 se:
i. limn\u2192\u221eE[\u3b8\u2c6] = \u3b8;
ii. limn\u2192\u221e V (\u3b8\u2c6) = 0.
x¯ =
\u2211n
i=1 xi
n
e´ um estimador consistente da me´dia populacional µ, pois
i. E(x¯) = µ
ii. limn\u2192\u221e V (\u2c6¯x) = limn\u2192\u221e
\u3c32
n
= 0.
6.1.2.3 Eficie\u2c6ncia
Se \u3b81 e \u3b82 sa\u2dco dois estimadores na\u2dco tendenciosos de \u3b8, enta\u2dco, \u3b81 e´ mais
eficiente que \u3b82 se:
116
V (\u3b81) < V (\u3b82)
Eficie\u2c6ncia relativa
A eficie\u2c6ncia relativa do estimador \u3b81, em relac¸a\u2dco ao estimador \u3b82 e´ dada por:
Ef\u3b81,\u3b82 =
V (\u3b82)
V (\u3b81)
(6.2)
6.1.3 Intervalos de confianc¸a
Conhecendo-se a distribuic¸a\u2dco amostral do estimador, de um para\u2c6metro \u3b8,
pode-se facilmente determinar um intervalo que apresente uma confianc¸a 1 \u2212 \u3b1 para \u3b8,
como sera´ visto a seguir.
6.1.3.1 Intervalo de confianc¸a para a me´dia µ
6.1.3.1.1 Varia\u2c6ncia conhecida Sabe-se que x¯ \u223c N(µ; \u3c32
n
), assim a varia´vel z = x¯\u2212µ\u3c3\u221a
n
tera´ distribuic¸a\u2dco N(0; 1). Fixando-se