apostila

um n´\u131vel de confianc¸a (1\u2212 \u3b1) vira´:
P (\u2212z\u3b1
2
\u2264 z \u2264 z\u3b1
2
) = 1\u2212 \u3b1
P (\u2212z\u3b1
2
\u2264 x¯\u2212µ\u3c3\u221a
n
\u2264 z\u3b1
2
) = 1\u2212 \u3b1
P (\u2212z\u3b1
2
\u3c3\u221a
n
\u2264 x¯\u2212 µ \u2264 z\u3b1
2
\u3c3\u221a
n
) = 1\u2212 \u3b1
P (\u2212x¯\u2212 z\u3b1
2
\u3c3\u221a
n
\u2264 \u2212µ \u2264 \u2212x¯+ z\u3b1
2
\u3c3\u221a
n
) = 1\u2212 \u3b1
P (x¯+ z\u3b1
2
\u3c3\u221a
n
\u2265 µ \u2265 x¯\u2212 z\u3b1
2
\u3c3\u221a
n
) = 1\u2212 \u3b1 reorganizando vem
P (x¯\u2212 z\u3b1
2
\u3c3\u221a
n
\u2264 µ \u2264 x¯+ z\u3b1
2
\u3c3\u221a
n
) = 1\u2212 \u3b1
E o intervalo de confianc¸a para µ, com uma confianc¸a 1\u2212 \u3b1 pode ser enta\u2dco
escrito como:
IC(µ)1\u2212\u3b1 = x¯± z\u3b1
2
\u3c3\u221a
n
(6.3)
em que
n e´ o tamanho da amostra.
117
Obs. Se ocorrer amostragem sem reposic¸a\u2dco em populac¸a\u2dco finita (ASRPF) o
intervalo de confianc¸a para a me´dia sera´:
IC(µ)1\u2212\u3b1 = x¯± z\u3b1
2
\u3c3\u221a
n
\u221a
N \u2212 n
N \u2212 1 (6.4)
onde:
N e´ o tamanho da populac¸a\u2dco;
n e´ o tamanho da amostra.
Ex.: Uma ma´quina produz rolamentos que apresentam desvio padra\u2dco de
0, 042 polegadas em seu dia\u2c6metro. Desejando-se conhecer o dia\u2c6metro me´dio dos rolamentos
produzidos por esta ma´quina, extraiu-se uma amostra de 100 rolamentos, observando-se
uma me´dia igual a 0, 824 polegadas. Obter o intervalo com 0, 90 de confianc¸a para o
verdadeiro dia\u2c6metro me´dio dos rolamentos.
Soluc¸a\u2dco:
Tem-se x¯ = 0, 824 \u3c3 = 0, 042 n = 100 1\u2212\u3b1 = 0, 90 substituindo esses valores
em 6.3 vem:
IC(µ)0,90 = 0, 824± z0,050, 042\u221a
100
= 0, 824± 1, 650, 042\u221a
100
= 0, 824± 0, 007
Interpretac¸a\u2dco: Como µ e´ um para\u2c6metro e na\u2dco uma varia´vel aleato´ria, a
interpretac¸a\u2dco correta do intervalo de confianc¸a e´: Constru´\u131dos todos os intervalos do tipo
x¯ ± 1, 65 \u3c3\u221a
n
, 90% deles contera\u2dco o para\u2c6metro µ. Na pra´tica, apenas um u´nico intervalo
e´ constru´\u131do, no presente exemplo tal intervalo foi [0, 817; 0, 831]. Esse intervalo e´ enta\u2dco
comumente chamado intervalo de confianc¸a de 90% para µ. Isto e´ tem-se 90% de confianc¸a
de que esse intervalo contenha o valor µ, no sentido de que 90% dos intervalos assim
constru´\u131dos conteriam µ.
E´ obviamente incorreto, do ponto de vista da estat´\u131stica cla´ssica ou
frequ¨e\u2c6ntista, dizer que a probabilidade do intervalo [0, 817; 0, 831] conter o valor µ e´ 0,90.
118
Pois essa probabilidade e´ 0 ou 1, dependendo de µ pertencer ou na\u2dco ao intervalo ao inter-
valo fixo.
6.1.3.1.2 Varia\u2c6ncia desconhecida Quando na\u2dco se conhece \u3c32 e consequ¨entemente
\u3c3, mas sim sua estimativa s, o intervalo de confianc¸a para a me´dia sera´ dado por:
Amostras Pequenas (n \u2264 30)
IC(µ)1\u2212\u3b1 = x¯± t\u3b1
2
s\u221a
n
, (6.5)
t\u3b1
2
com n\u2212 1 graus de liberdade,
em que:
n e´ o tamanho da amostra.
Obs. Se ocorrer amostragem sem reposic¸a\u2dco em populac¸a\u2dco finita (ASRPF) o
intervalo de confianc¸a para a me´dia sera´:
IC(µ)1\u2212\u3b1 = x¯± t\u3b1
2
s\u221a
n
\u221a
N \u2212 n
N \u2212 1 , (6.6)
t\u3b1
2
com n\u2212 1 graus de liberdade,
onde:
N e´ o tamanho da populac¸a\u2dco;
n e´ o tamanho da amostra.
Amostras Grandes (n > 30)
Foi visto que a` medida que aumenta-se o tamanho da amostra, a distribuic¸a\u2dco
t se Student se aproxima da distribuic¸a\u2dco normal, deste modo, quando se estiver trabal-
hando com amostras grandes (n > 30) pode-se utilizar a distribuic¸a\u2dco normal padronizada,
z, em lugar da t na obtenc¸a\u2dco dos intervalos de confianc¸a, mesmo que \u3c32 seja desconhecida.
Ex.: Um Cia adquiriu 500 cabos. Uma amostra de 30 deles selecionados ao
acaso apresentou tensa\u2dco de ruptura media igual a 2400 kg com desvio padra\u2dco de 150 kg.
Obter o intervalo com 95% de confianc¸a para a verdadeira tensa\u2dco media de ruptura destes
cabos.
soluc¸a\u2dco:
119
Tem-se:N = 500 n = 30 x¯ = 2400 s = 150 1\u2212 \u3b1 = 0, 95
n
N
= 30
500
= 0, 06 > 0, 05\u2192 ocorreu ASRPF.
IC(µ)0,95 = 2400± t0,025 150\u221a
30
\u221a
500\u2212 30
500\u2212 1
= 2400± (2, 045)(27, 38)(0, 97)
= 2400± 54, 31
Interpretac¸ao: Existe 95% de confianc¸a em se dizer que a verdadeira tensa\u2dco
media de ruptura dos cabos esta´ entre 2345,69 e 2454,31kg.
6.1.3.2 Diferenc¸a entre duas me´dia (µa \u2212 µb)
.
6.1.3.2.1 Variancias Conhecidas:
IC(µa \u2212 µb)1\u2212\u3b1 = x¯a \u2212 x¯b ± z\u3b1
2
\u221a
\u3c32a
na
+
\u3c32b
nb
(6.7)
em que:
x¯a e x¯b sa\u2dco as estimativas pontuais das me´dias das populac¸o\u2dces a e b, respec-
tivamente;
\u3c32a e \u3c3
2
b as varia\u2c6ncias das populac¸o\u2dces a e b, respectivamente e
na e nb os tamanhos das amostras das populac¸o\u2dces a e b, respectivamente.
Obs: Se ocorrer ASRPF deve-se multiplicar a varia\u2c6ncia da populac¸a\u2dco na
qual ocorreu ASRPF pelo fator de correc¸a\u2dco N\u2212n
N\u22121 .
Ex.: As empresas A e B produzem tubos para esgoto com a varia\u2c6ncias em
seus dia\u2c6metros iguais a 8mm2 e 10mm2, respectivamente. Uma amostra de 48 tubos da
empresa A apresentou dia\u2c6metro me´dio igual a 40mm, e uma amostra de 36 tubos da
empresa B apresentou dia\u2c6metro me´dio de 42mm. Verifique, por meio de um intervalo de
120
confianc¸a com 0, 95 de probabilidade, se existe diferenc¸a entre os dia\u2c6metros me´dios dos
tubos das marcas A e B.
Soluc¸a\u2dco:
Pop. A Pop. B
\u3c32A = 8 \u3c3
2
B = 10
x¯A = 40 x¯B = 42
nA = 48 nB = 36
IC(µa \u2212 µb)0,95 = x¯a \u2212 x¯b ± z0,025
\u221a
\u3c32a
na
+
\u3c32b
nb
= 40\u2212 42± 1, 96
\u221a
8
40
+
10
42
= \u22122± 1, 2973
Conclusa\u2dco: Pode-se afirmar com 95% de confianc¸a que a verdadeira diferenc¸a
entre os dia\u2c6metros me´dios dos tubos produzidos pelas empresas A e B esta´ entre \u22122 ±
1, 2973mm, isto e´ entre -3,2973 e -0,7027 mm. Como esse intervalo na\u2dco compreende o
valor 0 (zero) Tem-se 95% de confianc¸a em afirmar que os dia\u2c6metros me´dios dos tubos
produzidos por estas empresas na\u2dco sa\u2dco iguais.
6.1.3.2.2 Variancias Desconhecidas: Quando desconhece-se as varia\u2c6ncias popula-
cionais (\u3c32a e \u3c3
2
b ) torna-se necessa´rio a substituic¸a\u2dco de seus valores parame´tricos por suas
estimativas amostrais (s2a e s
2
b). Neste caso, deve-se utilizar a distribuic¸a\u2dco t de Student, em
lugar da normal. Ale´m desta alterac¸a\u2dco deve-se considerar ainda se as duas populac¸o\u2dces sa\u2dco
homoceda´sticas ou heteroceda´sticas, isto e´, se as varia\u2c6ncias populacionais (desconhecidas)
sa\u2dco iguais ou diferentes, o que pode ser aferido por meio de um teste de hipo´tese para
homogeneidade das varia\u2c6ncias (Cap 7).
Populac¸o\u2dces homoceda´sticas
Sendo as populac¸o\u2dces homoceda´sticas (\u3c32a = \u3c3
2
b = \u3c3
2), assim, s2a e s
2
b sa\u2dco duas
estimativas para um mesmo para\u2c6metro (\u3c32) enta\u2dco o intervalo de confianc¸a para a diferenc¸a
entre duas me´dias e´ dado por:
121
IC(µa \u2212 µb)1\u2212\u3b1 = x¯a \u2212 x¯b ± t\u3b1
2
sp
\u221a
1
na
+
1
nb
, (6.8)
t\u3b1
2
com na + nb \u2212 2 graus de liberdade.
em que:
sp =
\u221a
(na \u2212 1)s2a + (nb \u2212 1)s2b
na + nb \u2212 2
Populac¸o\u2dces heteroceda´sticas
Sendo as populac¸o\u2dces heteroceda´sticas (\u3c32a 6= \u3c32b ), assim, s2a e s2b sa\u2dco estima-
tivas de diferentes para\u2c6metros, na\u2dco podendo, pois serem combinadas em um u´nico valor.
Enta\u2dco o intervalo de confianc¸a para a diferenc¸a entre duas me´dias e´ dado por:
IC(µa \u2212 µb)1\u2212\u3b1 = x¯a \u2212 x¯b ± t\u3b1
2
\u221a
s2a
na
+
s2b
nb
(6.9)
t\u3b1
2
com v graus de liberdade.
em que:
v =
(
s2a
na
+
s2
b
nb
)2
(
s2a
na
)2
na\u22121 +
(
s2
b
nb
)2
nn\u22121
6.1.3.3 Intervalo de confianc¸a para proporc¸a\u2dco
6.1.3.3.1 Amostras grandes (n > 30) O intervalo de confianc¸a para a proporc¸a\u2dco e´
dado por:
IC(P )1\u2212\u3b1 = p\u2c6± z\u3b1
2
\u221a
p\u2c6q\u2c6
n
(6.10)
em que:
p\u2c6 e´ a proporc¸a\u2dco estimada na amostra;
q\u2c6 = 1\u2212 p\u2c6 e;
n e´ o tamanho da amostra.
122
Obs: Se ocorrer ASRPF, o intervalo de confianc¸a para proporc¸a\u2dco e´ dado
por:
IC(P )1\u2212\u3b1 = p\u2c6± z\u3b1
2
\u221a
p\u2c6q\u2c6
n
\u221a
N \u2212 n
N \u2212 1 (6.11)
6.1.3.3.2 Amostras pequenas (n \u2264 30) Quando a amostra for pequena deve-se
utilizar a distribuic¸a\u2dco t de Student, em lugar da normal e o intervalo de confianc¸a para a
proporc¸a\u2dco sera´ dado enta\u2dco por:
IC(P )1\u2212\u3b1 = p\u2c6± t\u3b1
2
\u221a
p\u2c6q\u2c6
n
, (6.12)
t\u3b1
2
com n\u2212 1 graus de liberdade
Obs: Se ocorrer ASRPF, o intervalo de confianc¸a