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para proporc¸a\u2dco e´ dado
por:
IC(P )1\u2212\u3b1 = p\u2c6± t\u3b1
2
\u221a
p\u2c6q\u2c6
n
\u221a
N \u2212 n
N \u2212 1 (6.13)
t\u3b1
2
com n\u2212 1 graus de liberdade
6.1.3.4 Intervalo de confianc¸a para a diferenc¸a entre proporc¸o\u2dces
Dadas duas amostras independentes, de populac¸o\u2dces diferentes, o intervalo
de confianc¸a para a diferenc¸a entre as proporc¸o\u2dces nestas populac¸o\u2dces e´ dado por:
6.1.3.4.1 Amostras grandes (n > 30)
IC(Pa \u2212 Pb)1\u2212\u3b1 = (p\u2c6a \u2212 p\u2c6b)± z\u3b1
2
\u221a
p\u2c6aq\u2c6a
na
+
p\u2c6aq\u2c6b
nb
(6.14)
em que:
p\u2c6a e´ a proporc¸a\u2dco estimada na amostra;
q\u2c6a = 1\u2212 p\u2c6a;
q\u2c6a = 1\u2212 p\u2c6a;
na e nb sa\u2dco os tamanhos das amostras a e b, respectivamente
Obs: Se ocorrer ASRPF, deve-se multiplicar o componente da varia\u2c6ncia,
referente a` populac¸a\u2dco na qual ocorreu ASRPF pelo fator de correc¸a\u2dco N\u2212n
N\u22121 .
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6.1.3.4.2 Amostras pequenas (n \u2264 30)
IC(Pa \u2212 Pb)1\u2212\u3b1 = (p\u2c6a \u2212 p\u2c6b)± t\u3b1
2
\u221a
p\u2c6aq\u2c6a
na
+
p\u2c6aq\u2c6b
nb
(6.15)
t\u3b1
2
com na + nb \u2212 2 graus de liberdade
Obs: Se ocorrer ASRPF, deve-se multiplicar o componente da varia\u2c6ncia,
referente a` populac¸a\u2dco na qual ocorreu ASRPF pelo fator de correc¸a\u2dco N\u2212n
N\u22121 .
6.1.3.5 Intervalo de confianc¸a para a varia\u2c6ncia (\u3c32)
O intervalo de confianc¸a para a varia\u2c6ncia populacional e´ dado por:
Sabe-se que
(n\u2212 1)s2
\u3c32
sin\u3c72n\u22121
Enta\u2dco,
P
[
(n\u2212 1)s2
\u3c721\u2212\u3b1
2
\u2264 \u3c32 \u2264 (n\u2212 1)s
2
\u3c72\u3b1
2
]
= 1\u2212 \u3b1
E o intervalo de confianc¸a para a varia\u2c6ncia sera´:
IC(\u3c32)1\u2212\u3b1 =
[
(n\u2212 1)s2
\u3c721\u2212\u3b1
2
;
(n\u2212 1)s2
\u3c72\u3b1
2
]
(6.16)
6.2 Teoria da decisa\u2dco (Testes de Hipo´teses)
Uma hipo´tese cient´\u131fica e´ qualquer afirmac¸a\u2dco que possa ser refutada, caso
contra´rio pertencera´ a outro ramo do conhecimento humano, como por exemplo a religia\u2dco.
Assim sendo, a hipo´tese: \u201cOs motores da marca x sa\u2dco mais econo\u2c6micos que os da marca
y\u201d e´ uma hipo´tese cient´\u131fica, pois qualquer pessoa que duvide, ou queira comprova-la,
pode montar um experimento e averiguar sua veracidade. Por outro lado, a hipo´tese:
\u201cDeus existe\u201d, na\u2dco pode ser avaliada, na\u2dco sendo, portanto, cient´\u131fica. Uma determinada
hipo´tese e´ tida como verdadeira, se em sua avaliac¸a\u2dco na\u2dco forem encontrados ind´\u131cios que
a desaprovem, permanecendo assim ate´ que se prove o contra´rio. Para que uma hipo´tese
cient´\u131fica seja testada, ela deve ser convertida em uma hipo´tese estat´\u131stica, que e´ uma
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afirmac¸a\u2dco sobre um para\u2c6metro populacional. Um teste de hipo´tese, fundamenta-se em
um conjunto de regras, que permitem, a partir dos resultados experimentais (amostrais)
rejeitar ou na\u2dco tal hipo´tese, associando a esta decisa\u2dco uma determinada confianc¸a.
6.2.1 Metodologia de um teste de hipo´tese
Para a realizac¸a\u2dco de um teste de hipo´teses, deve-se formular duas hipo´teses
estat´\u131sticas, a saber:
\u2022 Hipo´tese de nulidade (H0) e´ a hipo´tese que sera´ testada, sendo geralmente formulada
com o intuito de ser rejeitada.
\u2022 Hipo´tese alternativa (Ha) e´ qualquer hipo´tese que contrarie H0.
Suponha que esteja-se interessado em verificar se a verdadeira performance
(km/litro de combust´\u131vel) dos ve´\u131culos, de determinada marca, equipados com motores 1.6
c.c. seja de 14km/l, como afirma o fabricante, ou se este e´ inferior a 14km/l. Enta\u2dco
deve-se formular as seguintes hipo´tese estat´\u131sticas:
\uf8f1\uf8f2
\uf8f3 H0 : µ = 14km/lHa : µ < 14km/l
Para verificar a veracidade da hipo´tese H0, deve-se conduzir um experimento
(coletar uma amostra), no qual sera´ medida a performance de va´rios carros, que fornecera\u2dco
uma estimativa da performance me´dia, e sua varia\u2c6ncia, a partir das quais, verifica-se a
veracidade da hipo´tese H0. Suponha que no experimento acima tenham sido avaliados 9
carros, e que estes tenham apresentado uma performance me´dia de 13 km/l, com varia\u2c6ncia
4(Km/l)2. Pelo simples fato desta amostra de 9 carros ter apresentado uma performance
me´dia inferior a informada pelo fabricante (14 km/l), na\u2dco se pode concluir que esta afir-
mativa seja falsa, pois como ja´ e´ sabido, esta estimativa esta´ sujeita uma distribuic¸a\u2dco
amostral. Deste modo, para verifica a veracidade de H0, assume-se que esta hipo´tese
seja verdadeira, isto e´ µ = 14 km/l. e calcula-se a probabilidade de uma amostra, com
tamanho n = 9, retirada desta populac¸a\u2dco, fornecer uma estimativa inferior a estimativa
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obtida (13 km/l). Caso esta probabilidade seja alta, na\u2dco havera´ nenhuma raza\u2dco para re-
jeitar a hipo´tese H0 (isto e´ duvidar de sua veracidade), sendo esta tida como verdadeira.
Nesta situac¸a\u2dco disse que a diferenc¸a observada entre a me´dia amostral (13 km/l) e a pop-
ulacional (14 km/l) na\u2dco e´ significativa, da´\u131 a terminologia usual de que \u201co teste foi na\u2dco
significativo\u201d, usada para dizer que a hipo´tese H0 na\u2dco foi rejeitada. Por outro lado, se a
probabilidade de se obter esta estimativa for pequena (p < 0, 05) ha´ razo\u2dces para acreditar
que a verdadeira me´dia populacional seja menor do que se imaginva, ou seja a verdadeira
performance deve ser menor que 14 km/l. Nesta situac¸a\u2dco, diz-se que a diferenc¸a foi sig-
nificativa, portanto a hipo´tese H0 deve ser rejeitada (o teste foi significativo). Obs: Na\u2dco
existe nenhum argumento cient´\u131fico para se fixar o n´\u131vel de probabilidade limite de um
teste em 0, 05. Este e´ apenas um valor usual, devido a facilidade de sua obtenc¸a\u2dco em
tabelas. No nosso exemplos temos:\uf8f1\uf8f2
\uf8f3 H0 : µ = 14km/lHa : µ < 14km/l
na amostra de n = 9 carros obteve-se x¯ = 13 km/l e s2 = 4 (km/l)2 ;
sabendo-se que x¯ sinN
(
µ, \u3c3
2
n
)
, assumido µ = 14 km/l, e como na\u2dco se conhece \u3c32, mas
sim s2 , tem-se:
x¯ sin t(8)
(
14, 4
9
)
gra´fico
tc =
x¯\u2212 µ
\u3c3\u221a
n
=
13\u2212 14
2\u221a
9
= \u22121, 5
Enta\u2dco,
P |H0(x¯ \u2264 13) = P (t \u2264 \u22121, 5) = 0, 1720
como esta probabilidade e´ alta, na\u2dco ha´ razo\u2dces para acreditar que a verdadeira
performance me´dia seja inferior a 14 km/l
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6.2.2 Tipos de erros
Ao realizar-se um teste de hipo´tese, pode-se incorrer em dois tipos de er-
ros, que sera\u2dco discutidos a seguir. Suponha que a hipo´tese H0 formulada, no exemplo
anterior seja verdadeira, isto e´ a performance me´dia dos carros realmente e´ de 14 km/l,
isto e´ (µ = 14 km/l), e por efeito de acaso obtenha-se, na amostra, uma estimativa
de performance, cuja probabilidade de ocorre\u2c6ncia seja muito baixa, o que levaria a re-
jeic¸a\u2dco da hipo´tese H0 : µ = 14 km/l, que e´ verdadeira. Enta\u2dco ter-se-a cometido um erro
denominado erro Tipo I (rejeitar uma hipo´tese H0) verdadeira. A probabilidade de se
cometer este erro e´ denominada n´\u131vel de significa\u2c6ncia (\u3b1) sendo esta, determinada (fixada)
pelo pesquisador. Por outro lado, a hipo´tese formulada pode ser falsa, isto e´ na verdade
µ 6= 14 km/l, e por efeito de acaso obter uma estimativa, que nos leve a na\u2dco rejeic¸a\u2dco da
hipo´tese H0 : µ = 14 km/l. Nesta situac¸a\u2dco ter-se-a cometido o erro Tipo II (aceitar H0
falsa). A probabilidade de cometer este erro e´ (\u3b2), sendo esta uma func¸a\u2dco de \u3b1, H0 e do
tamanho amostral. As probabilidades de se cometer os erros Tipo I e Tipo II, (\u3b1 e \u3b2) sa\u2dco
inversamente proporcionais, como pode ser observado na fig?, sendo que, a u´nica maneira
de se diminuir simultaneamente \u3b1 e \u3b2 e´ aumentando o tamanho amostral (n).
Figura 6.1: Erros Tipo I e Tipo II.
Figura tipos de erros
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Os tipos de erros que podem ser cometidos em um teste de hipo´teses, bem
como suas probabilidades esta\u2dco resumidos na tabela 6.1
Tabela 6.1: Tipos de erros pass´\u131veis de serem cometidos ao se testar uma hipo´tese
Decisa\u2dco
Realidade Rejeita H0 Na\u2dco Rejeita H0
H0 verdadeira \u3b1 1\u2212 \u3b1
(erro Tipo I) Decisa\u2dco correta
H0 falsa 1\u2212 \u3b2 \u3b2
Decisa\u2dco correta (erro Tipo II)
6.2.3 Tipos de testes
De acordo com o tipo de hipo´tese formulada pode-se ter os seguintes tipos
de testes de hipo´teses:
i. Teste Bilateral: Apresenta duas regio\u2dces de rejeic¸a\u2dco