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3.105: Variac¸a˜o do Momento Esta´tico 3.4.2 Tenso˜es de Cisalhamento em Vigas de Sec¸a˜o Retangular Constante Sejam conhecidos o DMF e o DEC da viga. Na figura 3.106 representamos uma viga bi-apoiada, mas o sistema de apoios poderia ser qualquer. O elemento de volume de comprimento elementar dx, limitado pelas sec¸o˜es de abscissas x e x+ dx e o elemento de a´rea dy × dz em torno de um ponto P(y, z) gene´rico da sec¸a˜o determinam um elemento de volume dx× dy × dz. 6 6 6 ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� x dx dy dz dx dA y z z y dA P �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� �������� 6 Figura 3.106: Viga bi-apoiada Nas faces direita e esquerda, τxy = τ e´ a tensa˜o tangencial na sec¸a˜o transversal. Nas faces superior e inferior, τyx = τ e´ a tensa˜o tangencial nos planos longitudinais. A existeˆncia de tenso˜es de cisalhamento em planos longitudinais e´ verificada em vigas constituidas de elementos longitudinais, conforme a figura 3.107. Para o ca´lculo das tenso˜es de cisalhamento, ale´m das hipo´teses admitidas na ana´lise das tenso˜es normais de flexa˜o, admitimos a seguinte hipo´tese ba´sica 101 ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ���������� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� Figura 3.107: Viga constitu´ıda de elementos longitudinais • A tensa˜o de cisalhamento τ e´ constante na largura da sec¸a˜o. Portanto τ = τ(y) somente, isto e´, τ na˜o depende de z. Seja uma camada de fibras AB//LN, de ordenada y, isto e´,uma camada de fibras longitudinais // a` superf´ıcie neutra conforme destaca figura 3.108. �� �� �� �� �� �� A LN y A B τ Figura 3.108: Tensa˜o tangencial constante na largura da viga Nas figuras 3.109 e 3.110 destacamos a porc¸a˜o da viga, superior a esta camada, para mostrar a tensa˜o tangencial (transversal e longitudinal) em uma sec¸a˜o S, sendo τ constante de A ate´ B. A resultante na direc¸a˜o longitudinal nas duas faces da figura 3.109 fornece: F = ∫ Ai σxdA⇒ e´ a resultante das tenso˜es normais na face esquerda. F + dF = ∫ Ai (σx + dσx)dA⇒ e´ a resultante das tenso˜es normais na face direita. (3.97) ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� ����� M M +dM Q Q +dQ σx σx + dx Figura 3.109: Tenso˜es normais na flexa˜o A condic¸a˜o de equil´ıbrio e´ a existeˆncia da forc¸a dF no plano longitudinal superior, de a´rea bdx. Portanto: dF = τxybdx = ∫ Ai dσxdA = ∫ Ai dM I ydA (3.98) 102 ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� x dF σ dx x d+ xσ F+dFF dF dx Figura 3.110: Equil´ıbrio de forc¸as obte´m -se: τxy = τ = 1 Izb dM dx ∫ Ai ydA︸ ︷︷ ︸ Ms (3.99) lembrando que dM dx = Q (esforc¸o cortante Q = Qy) tem-se enta˜o: τ = τxy = QMs Izb (3.100) Do exerc´ıcio preliminar: Ms = f(y) = b 2 [ (h 2 )2 − y2 ] para´bola de 20, enta˜o a variac¸a˜o de τ = τ(y) e´ tambe´m uma para´bola do 20 grau. Numa sec¸a˜o retangular enta˜o tem-se y = 0⇒Mmaxs = bh2 8 ⇒ τmax = Qbh 2/8 bbh3/12 = 3 2 Q bh (3.101) Isto e´: τmax = 1, 5 Q A onde A = bh e´ a a´rea da sec¸a˜o. Observe que τmax = 1, 5τmed (50% maior que τmed = Q A ) τmax ��� ��� ��� ��� ��� ��� Superficie de tensoes parabolica ~ ’ Solido de tensoes~ ’ τ solido de tensoes Diagrama de tensoes Vista de perfil do ’ ~ ~ Figura 3.111: So´lido de tenso˜es Exerc´ıcio Verificar a propriedade: Q = ∫ A τdA, que na˜o foi usada para calcular a tensa˜o de cisalhamento τ . Fac¸a τ = Q Izb b 2 (h 2 )2 − y2 e dA = bdy para calcular a integral, ou calcule o volume do so´lido de tenso˜es usando a fo´rmula da a´rea do segmento de para´bola. 103 Observac¸o˜es 1. Demonstra-se da Teoria da Elasticidade (Mecaˆnica dos so´lidos I) que a tensa˜o de cisalhamento na˜o e´ exatamente constante na largura da sec¸a˜o, conforme a hipo´tese ba´sica. Enta˜o a tensa˜o calculada e´ a tensa˜o me´dia na largura, enquanto que a tensa˜o ma´xima e´ calculada na teoria da elasticidade. τmed = QMs Izb LN y τ med A τ max B Figura 3.112: Tenso˜es cisalhante me´dia A tabela abaixo (Beer-Johnstom, pa´g 276) ,mostra que o erro cometido varia com a raza˜o b h b/h 1/4 1/2 1 2 4 τmax/τmed 1,008 1,033 1,126 1,396 1,988 diferenc¸a percentual 0,8% 3,3% 12,6% 39,6% 98,8% 2. Na realidade as sec¸o˜es permanecem planas, mas “empenadas”, pois a deformac¸a˜o espec´ıfica no cisalhamento e´ a distorc¸a˜o angular γ = τ G . Nos bordos livres (superior e inferior): τ = 0→ γ = 0 �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� Figura 3.113: Deformac¸a˜o cisalhante especifica nas bordas Na Linha Neutra: τmax → γmax Esta deformac¸a˜o, em um ca´lculo mais rigoroso, altera a ana´lise de tenso˜es e de- formac¸o˜es na flexa˜o simples. No entanto, este efeito e´ desprezado, pois o erro cometido e´ muito pequeno, exceto na regia˜o de aplicac¸a˜o de cargas concentradas. 3.4.3 Tenso˜es de Cisalhamento em Vigas de Sec¸a˜o de Diferentes Formas Admite-se a mesma hipo´tese ba´sica da sec¸a˜o retangular, isto e´, τ constante na largura da sec¸a˜o. Obte´m-se as propriedades: Tensa˜o de cisalhamento: τ = QMs Izt sendo t = t(y) e´ a largura (espessura) da camada considerada. 104 Sec¸o˜es T, I, caixa˜o, etc... (lados paralelos ou perpendiculares a` LN Figura 3.114: Tipos de sec¸o˜es 1. Exemplos de sec¸a˜o T e I. τ τ max ������������� ������������� ������������� ������������� ������������� ������������� ������������� ������������� ������������� ������������� ������������� ������������� ������������� ������������� ������������� ������������� ������������� ������������� ������������� ������������� LN e b b1 2 Figura 3.115: Sec¸a˜o T ������������� ������������� ������������� ������������� ������������� ������������� τ max ������������� ������������� ������������� ������������� ������������� ������������� ������������� ������������� ������������� ������������� ������������� ������������� ������������� ������������� ������������� ������������� ������������� ������������� ������������� ������������� LN e b τ Figura 3.116: Sec¸a˜o I • Na mesa: O ca´lculo de τ esta´ sujeito a erro considera´vel ( b h grande), mas de qualquer forma sa˜o tenso˜es pequenas. • Na alma: O ca´lculo de τ produz resultados confia´veis, τmax na LN. • Na transic¸a˜o mesa-alma: descontinuidade no diagrama de tenso˜es. 2. Exemplo da figura 3.117. Sec¸a˜o retangular vazada (sec¸a˜o caixa˜o), ana´lise semelhante a sec¸o˜es I, mas com τ = QMs Iz(2e) nas “almas”. 3.4.4 Exerc´ıcios 1. Uma viga simplesmente apoiada em seus extremos tem 200 mm de largura por 400 mm de altura e 4 m de comprimento e suporta uma carga uniformemente distribu´ıda sobre todo seu comprimento. A tensa˜o longitudinal admiss´ıvel e´ 12 MPa (trac¸a˜o e compressa˜o) e a tensa˜o tangencial horizontal admiss´ıvel e´ de 0,8 MPa. Determine o valor ma´ximo admiss´ıvel da carga por unidade de comprimento. Resposta: q = 21,4 kN/m 105 ������������� ������������� ������������� ������������� �������������