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resmat2007a

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3.105: Variac¸a˜o do Momento Esta´tico
3.4.2 Tenso˜es de Cisalhamento em Vigas de Sec¸a˜o Retangular
Constante
Sejam conhecidos o DMF e o DEC da viga. Na figura 3.106 representamos uma viga
bi-apoiada, mas o sistema de apoios poderia ser qualquer.
O elemento de volume de comprimento elementar dx, limitado pelas sec¸o˜es de abscissas
x e x+ dx e o elemento de a´rea dy × dz em torno de um ponto P(y, z) gene´rico da sec¸a˜o
determinam um elemento de volume dx× dy × dz.
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x dx
dy
dz
dx
dA
y
z
z
y
dA
P
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Figura 3.106: Viga bi-apoiada
Nas faces direita e esquerda, τxy = τ e´ a tensa˜o tangencial na sec¸a˜o transversal.
Nas faces superior e inferior, τyx = τ e´ a tensa˜o tangencial nos planos longitudinais.
A existeˆncia de tenso˜es de cisalhamento em planos longitudinais e´ verificada em vigas
constituidas de elementos longitudinais, conforme a figura 3.107.
Para o ca´lculo das tenso˜es de cisalhamento, ale´m das hipo´teses admitidas na ana´lise
das tenso˜es normais de flexa˜o, admitimos a seguinte hipo´tese ba´sica
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Figura 3.107: Viga constitu´ıda de elementos longitudinais
• A tensa˜o de cisalhamento τ e´ constante na largura da sec¸a˜o.
Portanto τ = τ(y) somente, isto e´, τ na˜o depende de z.
Seja uma camada de fibras AB//LN, de ordenada y, isto e´,uma camada de fibras
longitudinais // a` superf´ıcie neutra conforme destaca figura 3.108.
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��
��
��
��
��
A
LN y A
B
τ
Figura 3.108: Tensa˜o tangencial constante na largura da viga
Nas figuras 3.109 e 3.110 destacamos a porc¸a˜o da viga, superior a esta camada, para
mostrar a tensa˜o tangencial (transversal e longitudinal) em uma sec¸a˜o S, sendo τ constante
de A ate´ B.
A resultante na direc¸a˜o longitudinal nas duas faces da figura 3.109 fornece:
F =
∫
Ai
σxdA⇒ e´ a resultante das tenso˜es normais na face esquerda.
F + dF =
∫
Ai
(σx + dσx)dA⇒ e´ a resultante das tenso˜es normais na face direita.
(3.97)
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M M +dM
Q Q +dQ σx σx + dx
Figura 3.109: Tenso˜es normais na flexa˜o
A condic¸a˜o de equil´ıbrio e´ a existeˆncia da forc¸a dF no plano longitudinal superior, de
a´rea bdx. Portanto:
dF = τxybdx =
∫
Ai
dσxdA =
∫
Ai
dM
I
ydA (3.98)
102
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x
dF
σ
dx
x d+ xσ
F+dFF
dF
dx
Figura 3.110: Equil´ıbrio de forc¸as
obte´m -se:
τxy = τ =
1
Izb
dM
dx
∫
Ai
ydA︸ ︷︷ ︸
Ms
(3.99)
lembrando que dM
dx
= Q (esforc¸o cortante Q = Qy) tem-se enta˜o:
τ = τxy =
QMs
Izb
(3.100)
Do exerc´ıcio preliminar: Ms = f(y) =
b
2
[
(h
2
)2 − y2
]
para´bola de 20, enta˜o a variac¸a˜o
de τ = τ(y) e´ tambe´m uma para´bola do 20 grau.
Numa sec¸a˜o retangular enta˜o tem-se
y = 0⇒Mmaxs =
bh2
8
⇒ τmax = Qbh
2/8
bbh3/12
=
3
2
Q
bh
(3.101)
Isto e´:
τmax = 1, 5
Q
A
onde A = bh e´ a a´rea da sec¸a˜o.
Observe que τmax = 1, 5τmed (50% maior que τmed =
Q
A
)
τmax
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Superficie
de tensoes
parabolica
~ 
 ’
Solido de tensoes~ ’
τ
solido de tensoes
Diagrama de tensoes
Vista de perfil do 
’
~ 
~ 
Figura 3.111: So´lido de tenso˜es
Exerc´ıcio Verificar a propriedade: Q =
∫
A τdA, que na˜o foi usada para calcular a tensa˜o
de cisalhamento τ .
Fac¸a
τ =
Q
Izb
b
2
(h
2
)2
− y2

e
dA = bdy
para calcular a integral, ou calcule o volume do so´lido de tenso˜es usando a fo´rmula da
a´rea do segmento de para´bola.
103
Observac¸o˜es
1. Demonstra-se da Teoria da Elasticidade (Mecaˆnica dos so´lidos I) que a tensa˜o de
cisalhamento na˜o e´ exatamente constante na largura da sec¸a˜o, conforme a hipo´tese
ba´sica. Enta˜o a tensa˜o calculada e´ a tensa˜o me´dia na largura, enquanto que a tensa˜o
ma´xima e´ calculada na teoria da elasticidade. τmed =
QMs
Izb
LN
y
τ
 med
A
τ
max
B
Figura 3.112: Tenso˜es cisalhante me´dia
A tabela abaixo (Beer-Johnstom, pa´g 276) ,mostra que o erro cometido varia com
a raza˜o b
h
b/h 1/4 1/2 1 2 4
τmax/τmed 1,008 1,033 1,126 1,396 1,988
diferenc¸a percentual 0,8% 3,3% 12,6% 39,6% 98,8%
2. Na realidade as sec¸o˜es permanecem planas, mas “empenadas”, pois a deformac¸a˜o
espec´ıfica no cisalhamento e´ a distorc¸a˜o angular γ = τ
G
.
Nos bordos livres (superior e inferior): τ = 0→ γ = 0
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Figura 3.113: Deformac¸a˜o cisalhante especifica nas bordas
Na Linha Neutra: τmax → γmax
Esta deformac¸a˜o, em um ca´lculo mais rigoroso, altera a ana´lise de tenso˜es e de-
formac¸o˜es na flexa˜o simples. No entanto, este efeito e´ desprezado, pois o erro
cometido e´ muito pequeno, exceto na regia˜o de aplicac¸a˜o de cargas concentradas.
3.4.3 Tenso˜es de Cisalhamento em Vigas de Sec¸a˜o de Diferentes
Formas
Admite-se a mesma hipo´tese ba´sica da sec¸a˜o retangular, isto e´, τ constante na largura da
sec¸a˜o. Obte´m-se as propriedades:
Tensa˜o de cisalhamento:
τ =
QMs
Izt
sendo t = t(y) e´ a largura (espessura) da camada considerada.
104
Sec¸o˜es T, I, caixa˜o, etc... (lados paralelos ou perpendiculares a` LN
Figura 3.114: Tipos de sec¸o˜es
1. Exemplos de sec¸a˜o T e I.
τ
τ
max
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LN
e
b
b1
2
Figura 3.115: Sec¸a˜o T
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τ
max
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LN
e
b
τ
Figura 3.116: Sec¸a˜o I
• Na mesa: O ca´lculo de τ esta´ sujeito a erro considera´vel ( b
h
grande), mas de
qualquer forma sa˜o tenso˜es pequenas.
• Na alma: O ca´lculo de τ produz resultados confia´veis, τmax na LN.
• Na transic¸a˜o mesa-alma: descontinuidade no diagrama de tenso˜es.
2. Exemplo da figura 3.117. Sec¸a˜o retangular vazada (sec¸a˜o caixa˜o), ana´lise semelhante
a sec¸o˜es I, mas com τ = QMs
Iz(2e)
nas “almas”.
3.4.4 Exerc´ıcios
1. Uma viga simplesmente apoiada em seus extremos tem 200 mm de largura por 400
mm de altura e 4 m de comprimento e suporta uma carga uniformemente distribu´ıda
sobre todo seu comprimento. A tensa˜o longitudinal admiss´ıvel e´ 12 MPa (trac¸a˜o e
compressa˜o) e a tensa˜o tangencial horizontal admiss´ıvel e´ de 0,8 MPa. Determine o
valor ma´ximo admiss´ıvel da carga por unidade de comprimento.
Resposta: q = 21,4 kN/m
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