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DisciplinaResistência dos Materiais II6.663 materiais143.242 seguidores
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do exerc´\u131cio 8
P P 5 
x 
4 
cm
e
PP
d
Figura 2.12: Figura do exerc´\u131cio 9
b) Calcular o menor dia\u2c6metro que pode ter o furo, se a espessura da chapa e´ de 6
mm.
Resp.: a) 25 mm ; b) 18 mm
Figura 2.13: Figura do exerc´\u131cio 10
2.1.3 O Tensor de tenso\u2dces
Uma vez compreendida as caracter´\u131sticas fundamentais da grandeza tensa\u2dco, e de sua
ligac¸a\u2dco com a ja´ conhecida grandeza pressa\u2dco, passa-se agora ao seu estudo detalhado.
Partindo-se do exemplo apresentado na figura 2.14 duas observac¸o\u2dces podem ser feitas:
\u2022 Existem forc¸as tentando aproximar ou afastar mole´culas no entorno de M, nas tre\u2c6s
direc¸o\u2dces ortogonais, gerando tenso\u2dces normais nestas tre\u2c6s direc¸o\u2dces.
16
. M
proprio
peso
empuxo
terradeaguade
empuxo
Figura 2.14: Barragem
\u2022 Existem forc¸as tentando deslizar mole´culas no entorno de M, nas tre\u2c6s direc¸o\u2dces or-
togonais, gerando tenso\u2dces tangenciais ou cisalhantes nestas tre\u2c6s direc¸o\u2dces.
Estas observac¸o\u2dces evidenciam que a tensa\u2dco num dado ponto da estrutura depende do
plano no qual se calcula a tensa\u2dco. Admitindo-se um plano passando por M e que possui
uma normal definida pelo vetor ~N , pode-se dizer que a tensa\u2dco ~\u3c1N , no ponto M no plano
considerado, e´ a soma vetorial da tensa\u2dco normal ~\u3c3N com tensa\u2dco tangencial ~\u3c4N , conforme
figura 2.15. Sua definic¸a\u2dco matema´tica e´ escrita como:
~\u3c1N = lim
\u2206A\u21920
d~F
\u2206A
(2.2)
onde d~F e´ a forc¸a de interac¸a\u2dco atuante na a´rea \u2206A.
.
N
\u3c3
90
N
\u3c4 N
\u3c1
NoM
o
Figura 2.15: Tenso\u2dces no ponto M num plano de normal ~N
Tomando-se enta\u2dco cada um dos tre\u2c6s planos ortogonais yz (vetor normal paralelo ao
eixo x), xz (vetor normal paralelo ao eixo y) e xy (vetor normal paralelo ao eixo z) e´
poss´\u131vel definir tre\u2c6s vetores tenso\u2dces, respectivamente, ~\u3c1x, ~\u3c1y e ~\u3c1z (ver figuras 2.16) que
sera\u2dco fundamentais no estudo da grandeza tensa\u2dco. As equac¸o\u2dces 2.3 a 2.5 mostram estes
vetores e suas componentes no referencial xyz. Observa-se que as tensa\u2dco tangenciais totais
foram decompostas em duas componentes.
~\u3c1x = [\u3c3xx, \u3c4xy, \u3c4xz] (2.3)
~\u3c1y = [\u3c4yx, \u3c3yy, \u3c4yz] (2.4)
~\u3c1z = [\u3c4zx, \u3c4zy, \u3c3zz] (2.5)
A nomenclatura usada e´ a seguinte:
17
\u3c1
x
\u3c3xxoM
N
x
yz
xz\u3c4
xy\u3c4
(a) Vetor ~\u3c1x
o
M
\u3c1y
\u3c4 yz \u3c3yy
\u3c4yx x
z
y
N
(b) Vetor ~\u3c1y
o
M
\u3c1
z
\u3c3zz \u3c4 zy
\u3c4zx
y
x
z
N
(c) Vetor ~\u3c1z
Figura 2.16: tenso\u2dces nos tre\u2c6s planos ortogonais
\u2022 As tenso\u2dces normais sa\u2dco indicadas pela letra \u3c3 e as tangenciais pela letra \u3c4 ;
\u2022 O primeiro \u131´ndice identifica o plano considerado, pois indica a direc¸a\u2dco de sua normal.
Exemplo: \u3c4xy primeiro \u131´ndice x\u2192 plano: yz;
\u2022 O segundo identifica a direc¸a\u2dco da componente do vetor tensa\u2dco. Exemplo: \u3c4xy se-
gundo \u131´ndice y \u2192 direc¸a\u2dco da tensa\u2dco: y;
Normalmente, para \u131´ndice ide\u2c6nticos, apresenta-se apenas um \u131´ndice. Assim as equac¸o\u2dces
2.3 a 2.5 ficam:
~\u3c1x = [\u3c3x, \u3c4xy, \u3c4xz] (2.6)
~\u3c1y = [\u3c4yx, \u3c3y, \u3c4yz] (2.7)
~\u3c1z = [\u3c4zx, \u3c4zy, \u3c3z] (2.8)
A maneira cla´ssica de se apresentar os vetores ~\u3c1x, ~\u3c1y e ~\u3c1z e´ o tensor de tenso\u2dces
3 que
usualmente e´ representado pela letra grega \u3c3 conforme mostrado na equac¸a\u2dco 2.9:
\u3c3 =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 ~\u3c1x~\u3c1y
~\u3c1z
\uf8f9\uf8fa\uf8fb =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 \u3c3x \u3c4xy \u3c4xz\u3c4yx \u3c3y \u3c4yz
\u3c4zx \u3c4zy \u3c3z
\uf8f9\uf8fa\uf8fb (2.9)
Alguns dos nove elementos da matriz que compoem o tensor de tenso\u2dces sa\u2dco relacionados
entre si. Tomando-se um cubo formando um so´lido infinitesimal em torno do ponto M,
conforme figura 2.17, tem-se o chamado so´lido de tenso\u2dces.
Em cada uma das faces foram representadas as tenso\u2dces de contato entre o so´lido e o
restante da estrutura. Numa estrutura em equil´\u131brio, todas as partes da mesma tambe´m
devera\u2dco estar em equil´\u131brio. Assim sendo, aplicando-se as tre\u2c6s equac¸o\u2dces de equil´\u131brio de
forc¸as ao so´lido da figura 2.17, tomando-se o limite quando dx \u2192 0, dy \u2192 0 e dz \u2192 0,
alternadamente, pode-se facilmente concluir que:
3Uma grandeza tensorial necessita de va´rios vetores e/ou escalares para sua definic¸a\u2dco
18
\u3c4 zy
\u3c4 zy \u2019
\u3c4yz \u2019
\u3c4 yz
\u3c3
\u3c3
\u3c3
\u3c3
\u3c3
\u3c3
\u3c4
\u3c4
\u3c4
\u3c4
\u3c4
\u3c4
\u3c4
\u3c4
xy
x
y
y
z
z
x
xz
xy
xz
yx
yx
zx
zx
dx
dy
dz
x
y
z
 \u2019
 \u2019
 \u2019
 \u2019
 \u2019
 \u2019
 \u2019
M
Figura 2.17: So´lido de tenso\u2dces
\u3c3x = \u3c3
\u2032
x = \u3c3x (2.10)
\u3c3y = \u3c3
\u2032
y = \u3c3y (2.11)
\u3c3z = \u3c3
\u2032
z = \u3c3z (2.12)
\u3c4xy = \u3c4
\u2032
xy = \u3c4xy (2.13)
\u3c4yx = \u3c4
\u2032
yx = \u3c4yx (2.14)
\u3c4xz = \u3c4
\u2032
xz = \u3c4xz (2.15)
\u3c4zx = \u3c4
\u2032
zx = \u3c4zx (2.16)
\u3c4yz = \u3c4
\u2032
xy = \u3c4yz (2.17)
\u3c4zy = \u3c4
\u2032
xy = \u3c4zy (2.18)
Aplicando agora as equac¸o\u2dces de equil´\u131brio de momento com relac¸a\u2dco ao eixo y, ad-
mitindo que as tenso\u2dces sa\u2dco constantes em cada face, tem-se:
\u2211
MMy = 0 \u21d2 +\u3c4xz
dx
2
dydz + \u3c4xz
dx
2
dydz
\u2212\u3c4zxdxdydz
2
\u2212 \u3c4zxdxdydz
2
= 0 (2.19)
Logo:
\u3c4xz = \u3c4zx (2.20)
Aplicando-se as equac¸o\u2dces de equil´\u131brio de momento com relac¸a\u2dco aos eixo y e x, chega-se
de forma ana´loga a:
\u3c4xy = \u3c4yx (2.21)
\u3c4yz = \u3c4zy (2.22)
19
Conclui-se enta\u2dco que o tensor de tenso\u2dces e´ sime´trico:
\u3c3 =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 \u3c3x \u3c4xy \u3c4xz\u3c4xy \u3c3y \u3c4yz
\u3c4xz \u3c4yz \u3c3z
\uf8f9\uf8fa\uf8fb (2.23)
A convenc¸a\u2dco de sinais para as tenso\u2dces deve ser de tal maneira que na\u2dco permita que
uma mesma tensa\u2dco tenha valores alge´bricos de sinais opostos quando se analisa uma face
ou outra do so´lido de tenso\u2dces. Por esta raza\u2dco, adota-se referenciais opostos para cada uma
das faces opostas do so´lido em torno do M, conforme mostra figura 2.17. Nesta figura
todas as tenso\u2dces representadas sa\u2dco positivas. As regras para a convenc¸a\u2dco de sinais sa\u2dco:
\u2022 Para as tenso\u2dces normais: Sa\u2dco positivas quando esta\u2dco associadas a` trac¸a\u2dco e neg-
ativas quando esta\u2dco associadas a` compressa\u2dco.
\u2022 Para as tenso\u2dces tangenciais: Quando a normal externa do so´lido de tenso\u2dces
apontar na mesma direc¸a\u2dco do eixo coordenado, as tenso\u2dces tangenciais sa\u2dco positi-
vas quando apontarem para o mesmo sentido do seu respectivo eixo coordenado.
Quando a normal externa do so´lido de tenso\u2dces apontar na direc¸a\u2dco contra´ria do eixo
coordenado, as tenso\u2dces tangenciais sa\u2dco positivas quando apontarem para o sentido
contra´rio do seu respectivo eixo coordenado.
2.1.4 Exerc´\u131cios
1. Para o elemento de tensa\u2dco representado na figura 2.18 (tenso\u2dces expressas em MPa)
complete o so´lido de tenso\u2dces com as tenso\u2dces que faltam, considerando o so´lido em
equil´\u131brio.
x
y
z
150
80
70
200
50
100
Figura 2.18: Figura do exerc´\u131cio 1
2. Uma pressa\u2dco uniforme de 3,5 MPa e´ exercida sobre as faces EGHF e ABCD do bloco
so´lido representado na figura 2.19. Simultaneamente, uma distribuic¸a\u2dco uniforme de
trac¸a\u2dco e´ mantida sobre as faces GHCB e EFDA, tendo valor de 0,7 MPa. Quais
sa\u2dco as tenso\u2dces normal e tangencial sobre cada uma das faces do bloco representado?
Monte o tensor de tenso\u2dces para os pontos no interior do bloco.
3. Um cilindro de parede delgada esta´ submetido a uma forc¸a de 4,5 kN. O dia\u2c6metro
do cilindro e´ 7,5 cm e a espessura da parede e´ de 0,3 cm. Calcular as tenso\u2dces normal
e de cisalhamento num plano que corta o cilindro formando um a\u2c6ngulo de \u3b1 = 40o,
conforme figura 2.20. Resposta: \u3c3N = 3,89 MPa e \u3c4N = 3,26 MPa.
20
H
A
B
C
D
E
F
G
3 m
3 m
6 m
Figura 2.19: Figura do exerc´\u131cio 2
4,5 kN 4,5 kN
\u3b1
Figura 2.20: Figura do exerc´\u131cio 3
4. Admitindo que o cilindro do exerc´\u131cio anterior esteja submetido a uma forc¸a de
trac¸a\u2dco P e que sua sec¸a\u2dco transversal tenha a´rea A, demonstre que:
\u3c3\u3b1 =
P
A
cos2 \u3b1 e \u3c4\u3b1 =
P
2A
sin 2\u3b1
Em seguida trace os gra´ficos de \u3c3\u3b1 em func¸a\u2dco de \u3b1 e de \u3c4\u3b1 em func¸a\u2dco de \u3b1, para
0 \u2264 \u3b1 \u2264 90o.
5. Demonstre, para o problema, anterior que a tensa\u2dco normal ma´xima ocorre para
\u3b1 = 0o e que a tensa\u2dco cisalhante ma´xima ocorre para \u3b1 = 45o
6. Uma placa de espessura 2,5 cm e´ uniformemente carregada por forc¸as F1 = 2,25 kN
e F2 = 9,00 kN conforme figura 2.21. Monte o tensor de tenso\u2dces para um ponto
contido na placa.
F
1
F
1
F
2
F
2
60 cm
30
 c
m
Figura 2.21: Figura do exerc´\u131cio 6
7. O tensor de tenso\u2dces apresentado para este exerc´\u131cio foi obtido aplicando a teoria
da resiste\u2c6ncia dos materiais a ser detalhada no cap´\u131tulo 3 a uma viga com o car-
regamento mostrado na figura 2.22. Esboce os gra´ficos projetados no plano xy que
relacionam as tenso\u2dces \u3c3x e \u3c4xy com a posic¸a\u2dco no ponto e comente-os. Resposta no
21
final. Dado x e y em