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DisciplinaResistência dos Materiais II6.442 materiais139.750 seguidores
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(m) \u2192 \u3c3 em (MPa).
\u3c3 =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 \u2212120x (x\u2212 1) y 0, 15 (2x\u2212 1) (400y
2 \u2212 1) 0
0, 15 (2x\u2212 1) (400y2 \u2212 1) 0 0
0 0 0
\uf8f9\uf8fa\uf8fb
x
y
z
2 kN/m
1 m
0,10 m
0,10 m
Figura 2.22: Figura do exerc´\u131cio 7
8. Uma barra tracionada e´ composta de dois pedac¸os de material que sa\u2dco colados ao
longo da linha mn conforme figura 8. Por razo\u2dces pra´ticas, o a\u2c6ngulo \u3b8 e´ limitado a`
faixa entre 0 e 60o. A ma´xima tensa\u2dco de cisalhamento que suporta a junta colada
e´ 3/4 da ma´xima tensa\u2dco normal. Assim sendo, qual deve ser o valor de \u3b8 para que
a barra suporte o ma´ximo de carga P ? (Admitir que a junta colada seja o u´nico
ponto a ser verificado no projeto). Resposta: \u3b8 = 36.87o
90o
\u3b8 PP
m
n
.
Figura 2.23: Figura do exerc´\u131cio 8
9. Resolver o problema anterior no caso das tenso\u2dces tangencial e normal ma´ximas
permitidas sejam, respectivamente, 70 MPa e 140 MPa. Determinar tambe´m a
carga P ma´xima permiss´\u131vel se a a´rea da sec¸a\u2dco transversal da barra for de 1000
mm2. Resposta: \u3b8 = 26.56o e P = 175 kN.
2.2 Estudo das deformac¸o\u2dces:
2.2.1 Introduc¸a\u2dco
Paralelamente ao estudo estabelecido no item anterior relativo a` ana´lise de tenso\u2dces, pode-
se desenvolver tambe´m, o estudo das deformac¸o\u2dces sofridas por um corpo sob solicitac¸o\u2dces
externas. Destaca-se que a ana´lise de deformac¸o\u2dces em um corpo so´lido iguala-se em
importa\u2c6ncia a` ana´lise de tenso\u2dces.
Sabe-se, da a´lgebra vetorial, que o campo vetorial de deslocamentos permite quantificar
a mudanc¸a de geometria de um corpo, sujeito a` ac¸a\u2dco de cargas aplicadas. Esta mudanc¸a
de geometria implica na considerac¸a\u2dco de duas parcelas:
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(a) Resposta para \u3c3x
(b) Resposta para \u3c4xy
Figura 2.24: Resposta do exerc´\u131cio 7
\u2022 Movimento de corpo r´\u131gido
\u2022 Mudanc¸a de forma e dimenso\u2dces do corpo
Como a Resiste\u2c6ncia dos Materiais desenvolve o estudo dos corpos deforma´veis, sera´
de interesse maior o estudo da segunda parcela. Ale´m disso, num contexto de estruturas
civis, o movimento de corpo r´\u131gido pode ser eliminado mediante a introduc¸a\u2dco adequada
de v´\u131nculos. Neste texto, somente sera\u2dco consideradas as pequenas deformac¸o\u2dces, como
aquelas que geralmente ocorrem na engenharia estrutural.
2.2.2 Campo de deslocamento
Quando solicitac¸o\u2dces externas atuam sobre um corpo deforma´vel, este sofre mudanc¸a de
forma e dimenso\u2dces, passando de uma configurac¸a\u2dco inicial indeformada a uma configurac¸a\u2dco
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final deformada, conforme figura 2.25.
r P(x,y,z)
.
x
y
z
(a) Configurac¸a\u2dco indeformada
r
r d
.
x
y
z
P(x+u,y+v,z+w)
P(x,y,z)
\u2019
.
\u2019
(b) Configurac¸a\u2dco deformada
Figura 2.25: Campo de Deslocamentos
Em sua configurac¸a\u2dco inicial qualquer ponto P , de coordenadas (x, y, z), pode ser
localizado utilizando-se um vetor posic¸a\u2dco r correspondente a esse ponto P (ver figura
2.25(a)). Apo´s a aplicac¸a\u2dco das cargas o corpo se deforma para uma nova configurac¸a\u2dco,
indicada em linha cheia na figura 2.25(b) e o ponto P desloca-se para o ponto P
\u2032
. A linha
tracejada indica a configurac¸a\u2dco indeformada.
Designando-se por u(x, y, z), v(x, y, z) e w(x, y, z) as componentes, segundo direc¸o\u2dces
de eixos ortogonais, do deslocamento ~d sofrido por P , as coordenadas de P
\u2032
sera\u2dco dadas
por:
P
\u2032
= [x+ u(x, y, z), y + v(x, y, z), z + w(x, y, z)] (2.24)
O campo de deslocamentos ~d para um ponto P gene´rico no interior do so´lido fornece
enta\u2dco toda e qualquer informac¸a\u2dco relacionada a` mudanc¸a de geometria do so´lido, resultado
de um carregamento. Ou seja, tendo-se as func¸o\u2dces das componentes de deslocamento, que
e´ va´lida para todo corpo:
~d =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 u(x, y, z)v(x, y, z)
w(x, y, z)
\uf8f9\uf8fa\uf8fb (2.25)
basta que se saiba as coordenadas (x, y, z) de um ponto qualquer deste corpo para se
obter a nova posic¸a\u2dco desse ponto apo´s o carregamento. Logo a posic¸a\u2dco final do ponto P
\u2032
,
definida pelo vetor ~r\u2032 e´ a soma do vetor ~r com o vetor ~d (vide figura 2.25(b)). Considera-se
ainda que as componente u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z) sa\u2dco func¸o\u2dces cont´\u131nuas, tendo em
vista a preservac¸a\u2dco da continuidade do so´lido no processo de deformac¸a\u2dco.
Exemplo: O seguinte campo de deslocamento representa as deformac¸o\u2dces de um corpo
em um dado dom\u131´nio:
~d =
[
x2~\u131+ (x+ 3z)~\uf6be+ 10~k
]
× 3× 10\u22123 m (2.26)
Qual e´ o deslocamento do ponto originalmente situado na posic¸a\u2dco definida pelo vetor
~r = ~\uf6be+ ~k na conformac¸a\u2dco geome´trica indeformada?
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Para determinar-se o deslocamento deste ponto, substitui-se x = 0, y = 1 e z = 1
no campo de deslocamento ~d do ponto em questa\u2dco. Em seguida, pode-se obter a nova
posic¸a\u2dco definida pelo vetor ~r\u2032 somando-se o vetor ~d ao vetor ~r:
~r\u2032 = ~r + ~d
=
(
~\uf6be+ ~k
)
+
(
3~\uf6be+ 10~k
)
× 3× 10\u22123
= (1, 009~\uf6be+ 1, 030~k) m (2.27)
E´ o que mostra a figura 2.25(b).
2.2.3 Componentes de Deformac¸a\u2dco
Embora o campo de deslocamentos seja suficiente para descrever todas as caracter´\u131sticas
de mudanc¸a de geometria de um corpo, e´ necessa´rio que se estabelec¸a uma relac¸a\u2dco direta
entre estas mudanc¸as geome´tricas e as cargas aplicadas, ou de forma mais conveniente, com
a distribuic¸a\u2dco de tenso\u2dces. Essa afirmac¸a\u2dco sera´ melhor compreendida no item 2.3, onde
buscar-se-a´ relacionar diretamente as tenso\u2dces com as deformac¸o\u2dces. Entretanto pode-se
adiantar que na\u2dco e´ a posic¸a\u2dco de um ponto que o relaciona com seu estado de tensa\u2dco,
mas o movimento relativo entre pontos adjacentes. Tendo em vista esta u´ltima afirmac¸a\u2dco
considerem-se os segmentos infinitesimais, dx ,dy e dz, ligando pontos adjacentes em seus
ve´rtices formando um paralelep´\u131pedo retangular infinitesimal conforme figura 2.26.
x
y
z
dy
dx
dz
Figura 2.26: Paralelep´\u131pedo Retangular Infinitesimal
Pode-se, \u201cmedir\u201d o movimento relativo dos pontos adjacentes (ve´rtices) considerando
as deformac¸o\u2dces desse paralelep´\u131pedo retangular. Agora e´ necessa´rio introduzir um conceito
de intensidade de deformac¸a\u2dco caracter´\u131stica, a saber, deformac¸a\u2dco linear espec´\u131fica (ou
alongamento/encurtamento relativo) e deformac¸a\u2dco angular (ou distorc¸a\u2dco angular), que
sa\u2dco formas de se quantificar o movimento relativo entre pontos adjacentes de um corpo.
Deformac¸a\u2dco Linear Espec´\u131fica
Seja o paralelep´\u131pedo retangular infinitesimal da figura 2.27 na configurac¸a\u2dco geome´trica
indeformada em cujas faces agem apenas tenso\u2dces normais como resultado do carrega-
mento.
Designa-se por dx, dy e dz os comprimentos iniciais das arestas do paralelep´\u131pedo
retangular. Na configurac¸a\u2dco deformada, os comprimentos dessas arestas tornam-se dx +
\u2206dx, dy +\u2206dy e dz +\u2206dz respectivamente. Ha´, enta\u2dco, a possibilidade de uma variac¸a\u2dco
de volume do elemento. Define-se, como medida de deformac¸a\u2dco caracter´\u131stica do material,
tal variac¸a\u2dco segundo tre\u2c6s deformac¸o\u2dces unita´rias, como segue:
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dx+ x\u2206
dy+ y\u2206
dz+ z\u2206
solido´z
y
x
dz
dx
dy
Figura 2.27: Paralelep´\u131pedo Retangular sob Deformac¸a\u2dco Linear
²x =
\u2206dx
dx
²y =
\u2206dy
dy
²z =
\u2206dz
dz
(2.28)
E´ interessante observar que a utilizac¸a\u2dco da deformac¸a\u2dco linear permite a comparac¸a\u2dco
entre deformac¸o\u2dces deste mesmo tipo obtidas em diferentes estruturas e/ou amostras en-
saiadas ja´ que esta quantidade e´ admensional. Usualmente refere-se a ela em cm / cm
ou mm / mm. A quantidade ² e´ bastante pequena e algumas vezes pode ser dada em
porcentagem.
Deformac¸a\u2dco Cisalhante ou Distorc¸a\u2dco
Um so´lido deforma´vel pode ainda, estar sujeito a um outro tipo de deformac¸a\u2dco: aquela
causada pelas tenso\u2dces cisalhantes. Como consequ¨e\u2c6ncia de tal solicitac¸a\u2dco surgem mu-
danc¸as na orientac¸a\u2dco relativa entre as faces do elemento envolvendo variac¸o\u2dces desprez´\u131veis
de volume. A figura 2.28 representa o so´lido infinitesimal sujeito somente a` ac¸a\u2dco de tenso\u2dces
cisalhantes \u3c4xy
Em outras palavras, pressupo\u2dce-se que as tenso\u2dces cisalhantes causem variac¸a\u2dco de forma,
isto e´, uma distorc¸a\u2dco, mas na\u2dco uma dilatac¸a\u2dco aprecia´vel. Essa medida de variac¸a\u2dco relativa
entre as faces do elemento pode ser dada pela variac¸a\u2dco do a\u2c6ngulo inicialmente reto e e´
definida como deformac¸a\u2dco de cisalhamento ou distorc¸a\u2dco, representado por \u3b3xy: