resmat2007a

\u3b3xy = \u3b1+ \u3b2 (2.29)
onde \u3b1 e \u3b2 esta\u2dco representados na figura 2.28.
Sera´ conveniente considerar uma rotac¸a\u2dco de corpo r´\u131gido do elemento em torno do eixo
x, de forma a se ter sempre \u3b1 igual a \u3b2. Assim, designa-se por ²yz, ²zy, as deformac¸o\u2dces
transversais.
26
dy
solido´z
y
x
dz
dx \u3b2
\u3b1
Figura 2.28: Paralelep´\u131pedo Retangular sob Deformac¸a\u2dco Cisalhante
²xy = ²yx =
1
2
\u3b3xy (2.30)
De forma ana´loga ao estado de tensa\u2dco, o estado de deformac¸a\u2dco fica completamente
determinado se forem conhecidas as componentes de deformac¸a\u2dco (deformac¸o\u2dces lineares
e distorc¸o\u2dces angulares) segundo eixos tri-ortogonais. O efeito de dilatac¸a\u2dco ou retrac¸a\u2dco
do paralelep´\u131pedo retangular infinitesimal deve-se a`s tre\u2c6s deformac¸o\u2dces lineares, enquanto,
independentemente, seis deformac¸o\u2dces transversais fornecem uma variac¸a\u2dco da configurac¸a\u2dco
de a\u2c6ngulo reto entre as faces do paralelep´\u131pedo. Usa-se apresentar estas nove quantidades
em um tensor de deformac¸o\u2dces, como feito para tenso\u2dces.
² =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 ²x ²xy ²xz²xy ²y ²yz
²xz ²yz ²z
\uf8f9\uf8fa\uf8fb (2.31)
2.2.4 Relac¸a\u2dco Deformac¸a\u2dco-Deslocamento
E´ poss´\u131vel, a partir das equac¸o\u2dces 2.28, definir-se as deformac¸a\u2dco longitudinais em func¸a\u2dco
do campo de deslocamentos ~d.
Observando a figura 2.29 e aplicando a primeira equac¸a\u2dco 2.28 tem-se:
²x = lim
\u2206x\u21920
[
A\u2032B\u2032 \u2212\u2206x
\u2206x
]
(2.32)
Se as deformac¸o\u2dces transversais que ocorrem sa\u2dco pequenas, o a\u2c6ngulo entre A\u2032B\u2032 e AB
tambe´m sera´ pequeno e pode-se enta\u2dco utilizar a projec¸a\u2dco de A\u2032B\u2032 na direc¸a\u2dco x (
\u2212\u2212\u2212\u2192
A
\u2032
B
\u2032
x) em
lugar do pro´prio segmento A\u2032B\u2032 , isto e´:
²x = lim
\u2206x\u21920
\uf8ee\uf8f0\u2212\u2212\u2192A\u2032B\u2032x \u2212\u2206x
\u2206x
\uf8f9\uf8fb (2.33)
Pode-se expressar
\u2212\u2212\u2212\u2192
A
\u2032
B
\u2032
x como sendo:
27
d(x+ x, y, z)\u2206d(x, y, z)
y
A\u2019 B\u2019
A Bx\u2206
z
x
Figura 2.29: Deformac¸o\u2dces longitudinais em func¸a\u2dco do campo de deslocamentos
\u2212\u2212\u2212\u2192
A
\u2032
B
\u2032
x = \u2206x+ [u(x+\u2206x, y z)\u2212 u(x, y z)] (2.34)
Substituindo a equac¸a\u2dco 2.34 na equac¸a\u2dco 2.33 tem-se:
²x = lim
\u2206x\u21920
[
u(x+\u2206x, y z)\u2212 u(x, y z)
\u2206x
]
(2.35)
O segundo membro da equac¸a\u2dco 2.35 e´ identificado como a derivada parcial de u(x, y, z)
com relac¸a\u2dco a x, ou seja:
²x =
\u2202u
\u2202x
(2.36)
De forma ana´loga pode-se obter:
²y =
\u2202v
\u2202y
(2.37)
²z =
\u2202w
\u2202z
(2.38)
De maneira semelhante, e´ poss´\u131vel, a partir da equac¸a\u2dco 2.29, definir-se as deformac¸o\u2dces
transversais em func¸a\u2dco do campo de deslocamentos ~d.
Partindo-se da figura 2.30 pode-se escrever:
\u3b1 = lim
\u2206x\u21920
DB
\u2032
A\u2032D
(2.39)
Mas DB
\u2032
pode ser escrito como:
DB
\u2032
= v(x+\u2206x, y, z)\u2212 v(x, y, z) (2.40)
e para pequenas deformac¸o\u2dces lineares, pode-de dizer que:
A
\u2032
D = \u2206x (2.41)
resultando para a equac¸a\u2dco 2.39:
28
(x+ x, y, z)\u2206(x, y, z)A
(x, y+ y, z)C \u2206
y\u2206
x\u2206
y
A\u2019 D
x
z
B
C\u2019
B\u2019
\u3b2
\u3b1
Figura 2.30: Deformac¸o\u2dces transversais em func¸a\u2dco do campo de deslocamentos
\u3b1 = lim
\u2206x\u21920
v(x+\u2206x, y, z)\u2212 v(x, y, z)
\u2206x
(2.42)
O segundo membro da equac¸a\u2dco 2.42 e´ identificado como a derivada parcial de v(x, y, z)
com relac¸a\u2dco a x, ou seja
\u3b1 =
\u2202v
\u2202x
(2.43)
De maneira similar pode-se obter:
\u3b2 =
\u2202u
\u2202y
(2.44)
Voltando a` equac¸a\u2dco 2.29, chega-se a:
\u3b3xy = \u3b1+ \u3b2 =
\u2202v
\u2202x
+
\u2202u
\u2202y
(2.45)
ou, utilizando equac¸a\u2dco 2.30:
²xy =
1
2
(
\u2202v
\u2202x
+
\u2202u
\u2202y
)
(2.46)
Analogamente:
²xz =
1
2
(
\u2202w
\u2202x
+
\u2202u
\u2202z
)
(2.47)
²yz =
1
2
(
\u2202w
\u2202y
+
\u2202v
\u2202z
)
(2.48)
Assim conhecendo-se o campo de deslocamentos ~d(u, v, w) pode-se obter o campo de
deformac¸o\u2dces ² como segue:
29
² =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
\u2202u
\u2202x
1
2
(
\u2202u
\u2202y
+ \u2202v
\u2202x
)
1
2
(
\u2202u
\u2202z
+ \u2202w
\u2202x
)
1
2
(
\u2202u
\u2202y
+ \u2202v
\u2202x
)
\u2202v
\u2202y
1
2
(
\u2202v
\u2202z
+ \u2202w
\u2202y
)
1
2
(
\u2202u
\u2202z
+ \u2202w
\u2202x
)
1
2
(
\u2202v
\u2202z
+ \u2202w
\u2202y
)
\u2202w
\u2202z
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb (2.49)
2.2.5 Exerc´\u131cios
1. Dado o seguinte campo de deslocamentos:
~d =
(
x2 + y
)
~\u131+ (3 + z)~\uf6be+
(
x2 + 2y
)
~k (2.50)
Qual a posic¸a\u2dco, apo´s deformac¸a\u2dco, de um ponto originalmente em (3, 1, -2)?
Resposta: P=(13;2;9)
2. Um campo de deslocamento e´ dado por:
~d =
(
0, 16x2 + sin y
)
~\u131+
(
0, 1x+
x
y3
)
~\uf6be+ 0, 004~k (2.51)
Como resultado da deformac¸a\u2dco, qual e´ o acre´scimo de dista\u2c6ncia entre dois ponto, os
quais, na configurac¸a\u2dco geome´trica indeformada, sa\u2dco dados pelos vetores de posic¸a\u2dco?
~r1 = 10~\u131+ 3~\uf6be
~r2 = 4~\u131+ 3~\uf6be
Resposta: d = 13,46
3. Dado o seguinte campo de deslocamentos:
~d =
[
xy~\u131+ (3 + y)~\uf6be+ (x+ z)~k
]
3× 10\u22121m (2.52)
Qual a perda em perpendicularidade entre dois segmentos de comprimento unita´rio,
inicialmente situados sobre os eixos x (1,0,0) e y (0,1,0) a partir da origem, como
resultado do citado campo de deslocamento?
Resposta: \u3b2 = 40, 69o
4. Dado o seguinte campo de deslocamentos:
~d =
(
x2~\u131+ 3y~\uf6be+ 10~k
)
3× 10\u22123m (2.53)
Quais sa\u2dco as componentes de deformac¸a\u2dco no ponto (1, 2, 0)?
Resposta: ² =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 2 0 00 3 0
0 0 0
\uf8f9\uf8fa\uf8fb 3× 10\u22123
30
2.3 Relac¸o\u2dces entre tenso\u2dces e deformac¸o\u2dces
As relac¸o\u2dces entre tenso\u2dces e deformac¸o\u2dces sa\u2dco estabelecidas a partir de ensaios experimentais
simples que envolvem apenas uma componente do tensor de tenso\u2dces. Ensaios complexos
com tenso\u2dces significativas nas 3 direc¸o\u2dces ortogonais tornam dif´\u131ceis as correlac¸o\u2dces entre as
tenso\u2dces e suas correspondentes deformac¸o\u2dces.
Assim sendo, destacam-se aqui os ensaios de trac¸a\u2dco, de compressa\u2dco e de torc¸a\u2dco.
2.3.1 O Teste ou Ensaio de Trac¸a\u2dco:
Objetivos:
\u2022 Relacionar tenso\u2dces normais e deformac¸o\u2dces lineares;
\u2022 Determinar as propriedades dos materiais;
\u2022 Verificar a qualidade dos mesmos.
O corpo de prova (CP) e´ uma amostra de material a ser testado, constitu´\u131da de uma
barra reta de sec¸a\u2dco constante (comprimento L, dia\u2c6metro D e a´rea A, na configurac¸a\u2dco
inicial), semelhante a´ barra ilustrada na figura 2.31
P PLD
Figura 2.31: Corpo de prova de um ensaio de trac¸a\u2dco
O ensaio consiste em aplicar ao CP uma carga P axial de trac¸a\u2dco que aumenta lenta e
gradualmente (carga \u201cesta´tica\u201d), medindo-se a carga P , a variac¸a\u2dco do comprimento L e
do dia\u2c6metro D do CP ate´ a rutura do CP.
O tensor de tenso\u2dces associado a este problema, com o referencial mostrado na figura
2.32 e´ apresentado na equac¸a\u2dco 2.54.
x
y
z
P
Figura 2.32: Referencial adotado
31
\u3c3 =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 \u3c3x 0 00 0 0
0 0 0
\uf8f9\uf8fa\uf8fb =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 P/A 0 00 0 0
0 0 0
\uf8f9\uf8fa\uf8fb (2.54)
Quais sa\u2dco as deformac¸o\u2dces causadas pela trac¸a\u2dco aplicada ao CP?
x
y
a
b c
d
antes do carregamento
depois do carregamento
Figura 2.33: Deformac¸o\u2dces no ensaio de trac¸a\u2dco
Observando o reta\u2c6ngulo abcd contido no plano xy antes e depois da aplicac¸a\u2dco da
carga, conforme mostrado na figura 2.33, e´ poss´\u131vel identificar que sua configurac¸a\u2dco apo´s
o tracionamento na\u2dco sofre distorc¸o\u2dces angulares. O que ocorre e´ um alongamento dos
lados bc e ad e um encurtamento dos lados ab e cd, caracterizando o surgimento das
deformac¸o\u2dces ²x e ²y. Obviamente, caso tivesse sido escolhido o plano xz para ana´lise,
seria verificado o surgimento das deformac¸o\u2dces ²x e ²z. Generalizando, caso o referencial
adotado tivesse como eixo longitudinal do CP a direc¸a\u2dco y ou z pode-se concluir que:
\u2022 \u3c3x causa ²x, ²y e ²z;
\u2022 \u3c3y causa ²x, ²y e ²z;
\u2022 \u3c3z causa ²x, ²y e ²z;
O pro´ximo passo e´ relacionar matematicamente estas tenso\u2dces e suas correspondentes
deformac¸o\u2dces.
Numa ma´quina capaz de tracionar continuamente o CP medindo a carga P de trac¸a\u2dco,
o alongamento \u2206L da parte do CP contida entre as extremidades de um extenso\u2c6metro4
(L) e a variac¸a\u2dco do dia\u2c6metro do CP \u2206D conforme mostrado na figura 2.31.
Com os dados do ensaio, e´ poss´\u131vel inicialmente se trac¸ar um gra´fico contendo no eixo
vertical a carga P e no eixo horizontal o alongamento \u2206L, conforme mostrado na figura
2.34(a). Atrave´s de uma mudanc¸a de varia´veis pode-se facilmente chegar a uma relac¸a\u2dco
entre a tensa\u2dco \u3c3x = P/A e a deformac¸a\u2dco ²x = \u2206L/L, conforme mostrado no gra´fico
da figura 2.34(b). Este gra´fico que relaciona ²x e \u3c3x e´ chamado diagrama tensa\u2dco-
deformac¸a\u2dco.
A forma do diagrama tensa\u2dco deformac¸a\u2dco depende do tipo de material. Existem ma-
teriais de comportamento linear, ou pelo menos com uma regia\u2dco linear (ac¸o, alum\u131´nio), e
de comportamento na\u2dco-linear (maioria das borrachas). Conforme ja´ destacado na sec¸a\u2dco
1.3.2, os materiais a serem tratados