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\u3b3xy = \u3b1+ \u3b2 (2.29) onde \u3b1 e \u3b2 esta\u2dco representados na figura 2.28. Sera´ conveniente considerar uma rotac¸a\u2dco de corpo r´\u131gido do elemento em torno do eixo x, de forma a se ter sempre \u3b1 igual a \u3b2. Assim, designa-se por ²yz, ²zy, as deformac¸o\u2dces transversais. 26 dy solido´z y x dz dx \u3b2 \u3b1 Figura 2.28: Paralelep´\u131pedo Retangular sob Deformac¸a\u2dco Cisalhante ²xy = ²yx = 1 2 \u3b3xy (2.30) De forma ana´loga ao estado de tensa\u2dco, o estado de deformac¸a\u2dco fica completamente determinado se forem conhecidas as componentes de deformac¸a\u2dco (deformac¸o\u2dces lineares e distorc¸o\u2dces angulares) segundo eixos tri-ortogonais. O efeito de dilatac¸a\u2dco ou retrac¸a\u2dco do paralelep´\u131pedo retangular infinitesimal deve-se a`s tre\u2c6s deformac¸o\u2dces lineares, enquanto, independentemente, seis deformac¸o\u2dces transversais fornecem uma variac¸a\u2dco da configurac¸a\u2dco de a\u2c6ngulo reto entre as faces do paralelep´\u131pedo. Usa-se apresentar estas nove quantidades em um tensor de deformac¸o\u2dces, como feito para tenso\u2dces. ² = \uf8ee\uf8ef\uf8f0 ²x ²xy ²xz²xy ²y ²yz ²xz ²yz ²z \uf8f9\uf8fa\uf8fb (2.31) 2.2.4 Relac¸a\u2dco Deformac¸a\u2dco-Deslocamento E´ poss´\u131vel, a partir das equac¸o\u2dces 2.28, definir-se as deformac¸a\u2dco longitudinais em func¸a\u2dco do campo de deslocamentos ~d. Observando a figura 2.29 e aplicando a primeira equac¸a\u2dco 2.28 tem-se: ²x = lim \u2206x\u21920 [ A\u2032B\u2032 \u2212\u2206x \u2206x ] (2.32) Se as deformac¸o\u2dces transversais que ocorrem sa\u2dco pequenas, o a\u2c6ngulo entre A\u2032B\u2032 e AB tambe´m sera´ pequeno e pode-se enta\u2dco utilizar a projec¸a\u2dco de A\u2032B\u2032 na direc¸a\u2dco x ( \u2212\u2212\u2212\u2192 A \u2032 B \u2032 x) em lugar do pro´prio segmento A\u2032B\u2032 , isto e´: ²x = lim \u2206x\u21920 \uf8ee\uf8f0\u2212\u2212\u2192A\u2032B\u2032x \u2212\u2206x \u2206x \uf8f9\uf8fb (2.33) Pode-se expressar \u2212\u2212\u2212\u2192 A \u2032 B \u2032 x como sendo: 27 d(x+ x, y, z)\u2206d(x, y, z) y A\u2019 B\u2019 A Bx\u2206 z x Figura 2.29: Deformac¸o\u2dces longitudinais em func¸a\u2dco do campo de deslocamentos \u2212\u2212\u2212\u2192 A \u2032 B \u2032 x = \u2206x+ [u(x+\u2206x, y z)\u2212 u(x, y z)] (2.34) Substituindo a equac¸a\u2dco 2.34 na equac¸a\u2dco 2.33 tem-se: ²x = lim \u2206x\u21920 [ u(x+\u2206x, y z)\u2212 u(x, y z) \u2206x ] (2.35) O segundo membro da equac¸a\u2dco 2.35 e´ identificado como a derivada parcial de u(x, y, z) com relac¸a\u2dco a x, ou seja: ²x = \u2202u \u2202x (2.36) De forma ana´loga pode-se obter: ²y = \u2202v \u2202y (2.37) ²z = \u2202w \u2202z (2.38) De maneira semelhante, e´ poss´\u131vel, a partir da equac¸a\u2dco 2.29, definir-se as deformac¸o\u2dces transversais em func¸a\u2dco do campo de deslocamentos ~d. Partindo-se da figura 2.30 pode-se escrever: \u3b1 = lim \u2206x\u21920 DB \u2032 A\u2032D (2.39) Mas DB \u2032 pode ser escrito como: DB \u2032 = v(x+\u2206x, y, z)\u2212 v(x, y, z) (2.40) e para pequenas deformac¸o\u2dces lineares, pode-de dizer que: A \u2032 D = \u2206x (2.41) resultando para a equac¸a\u2dco 2.39: 28 (x+ x, y, z)\u2206(x, y, z)A (x, y+ y, z)C \u2206 y\u2206 x\u2206 y A\u2019 D x z B C\u2019 B\u2019 \u3b2 \u3b1 Figura 2.30: Deformac¸o\u2dces transversais em func¸a\u2dco do campo de deslocamentos \u3b1 = lim \u2206x\u21920 v(x+\u2206x, y, z)\u2212 v(x, y, z) \u2206x (2.42) O segundo membro da equac¸a\u2dco 2.42 e´ identificado como a derivada parcial de v(x, y, z) com relac¸a\u2dco a x, ou seja \u3b1 = \u2202v \u2202x (2.43) De maneira similar pode-se obter: \u3b2 = \u2202u \u2202y (2.44) Voltando a` equac¸a\u2dco 2.29, chega-se a: \u3b3xy = \u3b1+ \u3b2 = \u2202v \u2202x + \u2202u \u2202y (2.45) ou, utilizando equac¸a\u2dco 2.30: ²xy = 1 2 ( \u2202v \u2202x + \u2202u \u2202y ) (2.46) Analogamente: ²xz = 1 2 ( \u2202w \u2202x + \u2202u \u2202z ) (2.47) ²yz = 1 2 ( \u2202w \u2202y + \u2202v \u2202z ) (2.48) Assim conhecendo-se o campo de deslocamentos ~d(u, v, w) pode-se obter o campo de deformac¸o\u2dces ² como segue: 29 ² = \uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0 \u2202u \u2202x 1 2 ( \u2202u \u2202y + \u2202v \u2202x ) 1 2 ( \u2202u \u2202z + \u2202w \u2202x ) 1 2 ( \u2202u \u2202y + \u2202v \u2202x ) \u2202v \u2202y 1 2 ( \u2202v \u2202z + \u2202w \u2202y ) 1 2 ( \u2202u \u2202z + \u2202w \u2202x ) 1 2 ( \u2202v \u2202z + \u2202w \u2202y ) \u2202w \u2202z \uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb (2.49) 2.2.5 Exerc´\u131cios 1. Dado o seguinte campo de deslocamentos: ~d = ( x2 + y ) ~\u131+ (3 + z)~\uf6be+ ( x2 + 2y ) ~k (2.50) Qual a posic¸a\u2dco, apo´s deformac¸a\u2dco, de um ponto originalmente em (3, 1, -2)? Resposta: P=(13;2;9) 2. Um campo de deslocamento e´ dado por: ~d = ( 0, 16x2 + sin y ) ~\u131+ ( 0, 1x+ x y3 ) ~\uf6be+ 0, 004~k (2.51) Como resultado da deformac¸a\u2dco, qual e´ o acre´scimo de dista\u2c6ncia entre dois ponto, os quais, na configurac¸a\u2dco geome´trica indeformada, sa\u2dco dados pelos vetores de posic¸a\u2dco? ~r1 = 10~\u131+ 3~\uf6be ~r2 = 4~\u131+ 3~\uf6be Resposta: d = 13,46 3. Dado o seguinte campo de deslocamentos: ~d = [ xy~\u131+ (3 + y)~\uf6be+ (x+ z)~k ] 3× 10\u22121m (2.52) Qual a perda em perpendicularidade entre dois segmentos de comprimento unita´rio, inicialmente situados sobre os eixos x (1,0,0) e y (0,1,0) a partir da origem, como resultado do citado campo de deslocamento? Resposta: \u3b2 = 40, 69o 4. Dado o seguinte campo de deslocamentos: ~d = ( x2~\u131+ 3y~\uf6be+ 10~k ) 3× 10\u22123m (2.53) Quais sa\u2dco as componentes de deformac¸a\u2dco no ponto (1, 2, 0)? Resposta: ² = \uf8ee\uf8ef\uf8f0 2 0 00 3 0 0 0 0 \uf8f9\uf8fa\uf8fb 3× 10\u22123 30 2.3 Relac¸o\u2dces entre tenso\u2dces e deformac¸o\u2dces As relac¸o\u2dces entre tenso\u2dces e deformac¸o\u2dces sa\u2dco estabelecidas a partir de ensaios experimentais simples que envolvem apenas uma componente do tensor de tenso\u2dces. Ensaios complexos com tenso\u2dces significativas nas 3 direc¸o\u2dces ortogonais tornam dif´\u131ceis as correlac¸o\u2dces entre as tenso\u2dces e suas correspondentes deformac¸o\u2dces. Assim sendo, destacam-se aqui os ensaios de trac¸a\u2dco, de compressa\u2dco e de torc¸a\u2dco. 2.3.1 O Teste ou Ensaio de Trac¸a\u2dco: Objetivos: \u2022 Relacionar tenso\u2dces normais e deformac¸o\u2dces lineares; \u2022 Determinar as propriedades dos materiais; \u2022 Verificar a qualidade dos mesmos. O corpo de prova (CP) e´ uma amostra de material a ser testado, constitu´\u131da de uma barra reta de sec¸a\u2dco constante (comprimento L, dia\u2c6metro D e a´rea A, na configurac¸a\u2dco inicial), semelhante a´ barra ilustrada na figura 2.31 P PLD Figura 2.31: Corpo de prova de um ensaio de trac¸a\u2dco O ensaio consiste em aplicar ao CP uma carga P axial de trac¸a\u2dco que aumenta lenta e gradualmente (carga \u201cesta´tica\u201d), medindo-se a carga P , a variac¸a\u2dco do comprimento L e do dia\u2c6metro D do CP ate´ a rutura do CP. O tensor de tenso\u2dces associado a este problema, com o referencial mostrado na figura 2.32 e´ apresentado na equac¸a\u2dco 2.54. x y z P Figura 2.32: Referencial adotado 31 \u3c3 = \uf8ee\uf8ef\uf8f0 \u3c3x 0 00 0 0 0 0 0 \uf8f9\uf8fa\uf8fb = \uf8ee\uf8ef\uf8f0 P/A 0 00 0 0 0 0 0 \uf8f9\uf8fa\uf8fb (2.54) Quais sa\u2dco as deformac¸o\u2dces causadas pela trac¸a\u2dco aplicada ao CP? x y a b c d antes do carregamento depois do carregamento Figura 2.33: Deformac¸o\u2dces no ensaio de trac¸a\u2dco Observando o reta\u2c6ngulo abcd contido no plano xy antes e depois da aplicac¸a\u2dco da carga, conforme mostrado na figura 2.33, e´ poss´\u131vel identificar que sua configurac¸a\u2dco apo´s o tracionamento na\u2dco sofre distorc¸o\u2dces angulares. O que ocorre e´ um alongamento dos lados bc e ad e um encurtamento dos lados ab e cd, caracterizando o surgimento das deformac¸o\u2dces ²x e ²y. Obviamente, caso tivesse sido escolhido o plano xz para ana´lise, seria verificado o surgimento das deformac¸o\u2dces ²x e ²z. Generalizando, caso o referencial adotado tivesse como eixo longitudinal do CP a direc¸a\u2dco y ou z pode-se concluir que: \u2022 \u3c3x causa ²x, ²y e ²z; \u2022 \u3c3y causa ²x, ²y e ²z; \u2022 \u3c3z causa ²x, ²y e ²z; O pro´ximo passo e´ relacionar matematicamente estas tenso\u2dces e suas correspondentes deformac¸o\u2dces. Numa ma´quina capaz de tracionar continuamente o CP medindo a carga P de trac¸a\u2dco, o alongamento \u2206L da parte do CP contida entre as extremidades de um extenso\u2c6metro4 (L) e a variac¸a\u2dco do dia\u2c6metro do CP \u2206D conforme mostrado na figura 2.31. Com os dados do ensaio, e´ poss´\u131vel inicialmente se trac¸ar um gra´fico contendo no eixo vertical a carga P e no eixo horizontal o alongamento \u2206L, conforme mostrado na figura 2.34(a). Atrave´s de uma mudanc¸a de varia´veis pode-se facilmente chegar a uma relac¸a\u2dco entre a tensa\u2dco \u3c3x = P/A e a deformac¸a\u2dco ²x = \u2206L/L, conforme mostrado no gra´fico da figura 2.34(b). Este gra´fico que relaciona ²x e \u3c3x e´ chamado diagrama tensa\u2dco- deformac¸a\u2dco. A forma do diagrama tensa\u2dco deformac¸a\u2dco depende do tipo de material. Existem ma- teriais de comportamento linear, ou pelo menos com uma regia\u2dco linear (ac¸o, alum\u131´nio), e de comportamento na\u2dco-linear (maioria das borrachas). Conforme ja´ destacado na sec¸a\u2dco 1.3.2, os materiais a serem tratados