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DisciplinaResistência dos Materiais II4.826 materiais119.088 seguidores
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neste curso te\u2c6m comportamento linear. O n´\u131vel de
4Aparelho usado para medir a variac¸a\u2dco do comprimento
32
P
\u2206L
(a) Diagrama P ×\u2206L
\u3b5
\u3c3
x
x
(b) Diagrama \u3c3x × ²x - Tensa\u2dco-
deformac¸a\u2dco
Figura 2.34: Exemplos de diagramas do ensaio de trac¸a\u2dco
tensa\u2dco a partir do qual o material deixa de ter comportamento linear e´ chamado de limite
de proporcionalidade (ponto 1 - figuras 2.35).
Dentre os materias de comportamento linear, identifica-se 3 tipos mais comuns de
diagramas tensa\u2dco-deformac¸a\u2dco conforme os mostrados na figura 2.35.
\u3b5x
\u3c3x
5 %
R
1
2
\u3b1
(a) Material Fra´gil
\u3b5x
\u3c3x
5 %
R
0,2 %
1
2
3
\u3b1
(b) Material du´til sem pata-
mar de escoamento
\u3b5x
\u3c3x
R
3 4
2
1
5 %
\u3b1
(c) Material du´til com pata-
mar de escoamento
Figura 2.35: Exemplos de diagramas do ensaio de trac¸a\u2dco em materiais de comportamento
linear
As caracter´\u131sticas principais observadas nos diagramas da figura 2.35 sa\u2dco as seguintes:
\u2022 (a) Material fra´gil (concreto, vidro): A ruptura (ponto R) se da´ para valores
²x < 5 %;
\u2022 (b) Material du´til sem patamar de escoamento definido (ac¸os especiais com
alto teor de carbono). A ruptura (ponto R) se da´ para valores ²x >> 5 % e o
material na\u2dco apresenta patamar de escoamento, onde ha´ aumento de deformac¸a\u2dco
com a tensa\u2dco aproximadamente constante.
33
\u2022 (c) Material du´til com escoamento definido (ac¸os comuns, com baixo teor
de carbono). A ruptura (ponto R) se da´ para valores ²x >> 5 % e o material
apresenta patamar de escoamento (trecho entre os pontos 3 e 4), onde ha´ aumento
de deformac¸a\u2dco com a tensa\u2dco aproximadamente constante.
Para um CP em ac¸o pode-se verificar experimentalmente no diagrama tensa\u2dco-deformac¸a\u2dco
obtido num ensaio de trac¸a\u2dco, que existe um n´\u131vel de tensa\u2dco pro´ximo ao limite de propor-
cionalidade, tal que, quando o CP e´ carregado acima deste n´\u131vel, o mesmo na\u2dco retorna a
sua configurac¸a\u2dco original. Este ponto e´ chamado de limite de elasticidade (ponto 2 -
figuras 2.35). Apo´s este ponto passam a existir deformac¸o\u2dces permanentes ou pla´sticas.
No ac¸o os limites de elasticidade e proporcionalidade sa\u2dco muito pro´ximos, tanto que
normalmente na\u2dco se faz muita diferenc¸a entre esses dois n´\u131veis de tensa\u2dco. Materiais
que possuem estes dois limites muito pro´ximos sa\u2dco chamados de materiais ela´sticos
lineares. Estes materiais, como e´ o caso do ac¸o, sera\u2dco os objetos de estudo deste curso.
O limite de elasticidade e o limite de proporcionalidade sa\u2dco dif´\u131ceis de se determinar
com precisa\u2dco. Em raza\u2dco disso, os engenheiros utilizam para uma definic¸a\u2dco mais utiliza´vel
do in´\u131cio do comportamento na\u2dco-ela´stico a tensa\u2dco de escoamento ou ponto de escoamento.
Em ac¸os com baixo teor de carbono, este ponto e´ obtido diretamente da curva tensa\u2dco-
deformac¸a\u2dco (ver ponto 3 da figura 2.35(c)). Ja´ para ac¸os especiais com alto teor de
carbono, este ponto e´ arbitrado como sendo a tensa\u2dco que provoca uma pequena deformac¸a\u2dco
residual de 0,2 % apo´s o descarregamento.
Durante a fase ela´stica, ou seja, para n´\u131veis de tenso\u2dces ate´ o limite de elasticidade (ou
tensa\u2dco de escoamento para efeitos pra´ticos) a relac¸a\u2dco entre a tensa\u2dco \u3c3x e a deformac¸a\u2dco ²x
pode ser escrita na forma:
\u3c3x = tan\u3b1 ²x = E ²x (2.55)
onde E = tan\u3b1 e´ o coeficiente angular da reta conhecido comoMo´dulo de Elasticidade
Longitudinal ou Mo´dulo de Young.
A equac¸a\u2dco 2.55 mostra que para materiais trabalhando em regime ela´stico linear tem-
se que a tensa\u2dco e´ diretamente proporcional a` deformac¸a\u2dco. Esta relac¸a\u2dco e´ conhecida como
lei de Hooke, em homenagem a Robert Hooke que obteve esta proporcionalidade ha´ mais
de 300 anos.
Ale´m de gerar deformac¸o\u2dces ²x, a tensa\u2dco \u3c3x aplicada ao CP, conforme ja´ destacado neste
texto, gera deformac¸o\u2dces lineares nas direc¸o\u2dces transversais (²y e ²z). Tomando-se enta\u2dco a
raza\u2dco entre a medida obtida para a variac¸a\u2dco do dia\u2c6metro (\u2206D) e o dia\u2c6metro inicial (D)
do CP pode-se escrever:
²y =
\u2206D
D
(2.56)
²z =
\u2206D
D
(2.57)
Conhecidos os valores de ²x, ²y e ²z (obtidos experimentalmente com as medidas dos
extenso\u2c6metros) e´ poss´\u131vel estabelecer as relac¸o\u2dces:
²y
²x
= constante = \u2212\u3bd
²z
²x
= constante = \u2212\u3bd (2.58)
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onde \u3bd e´ denominado deCoeficiente de Poisson e e´ uma caracter´\u131stica f´\u131sica do material.
Alternativamente as equac¸o\u2dces 2.58 podem ser escritas na forma:
²y = \u2212\u3bd ²x (2.59)
²z = \u2212\u3bd ²x (2.60)
Substituindo a equac¸a\u2dco 2.55 na equac¸a\u2dco 2.60 chega-se a`s relac¸o\u2dces entre tenso\u2dces normais
e deformac¸o\u2dces transversais:
²y = \u2212\u3bd \u3c3x
E
(2.61)
²z = \u2212\u3bd \u3c3x
E
(2.62)
Resumindo, caso estivessem atuando simultaneamente \u3c3x, \u3c3y e \u3c3z, ter-se-ia:
²x = +
\u3c3x
E
\u2212 \u3bd \u3c3y
E
\u2212 \u3bd \u3c3z
E
(2.63)
²y = \u2212\u3bd \u3c3x
E
+
\u3c3y
E
\u2212 \u3bd \u3c3z
E
(2.64)
²z = \u2212\u3bd \u3c3x
E
\u2212 \u3bd \u3c3y
E
+
\u3c3z
E
(2.65)
Fica claro que caracter´\u131stica de isotropia do material reduz sensivelmente o nu´mero
de constantes ela´sticas que relacionam tensa\u2dco com deformac¸a\u2dco.
O estudo detalhado de cada fase do ensaio de trac¸a\u2dco e´ feito no curso de Laborato´rio
de Resiste\u2c6ncia dos Materiais, cadeira do pro´ximo per´\u131odo.
2.3.2 Ensaio de Compressa\u2dco
E´ semelhante ao ensaio de trac¸a\u2dco, mas o CP deve ter dimenso\u2dces adequadas para se evitar
a flambagem. Para materiais meta´licos os CPs devem ser de tal forma que a raza\u2dco L/D
deve se situar entre 2 e 4 (ou entre 3 e 8 segundo alguns autores ).
O ensaio de compressa\u2dco do ac¸o apresenta um diagrama semelhante ao ensaio de trac¸a\u2dco
na fase ela´stica. Admite-se que as constantes ela´sticas E e \u3bd obtidas experimentalmente
sa\u2dco os mesmos para trac¸a\u2dco ou compressa\u2dco.
O estudo detalhado de cada fase do ensaio de compressa\u2dco e´ feito no curso de Labo-
rato´rio de Resiste\u2c6ncia dos Materiais, cadeira do pro´ximo per´\u131odo.
2.3.3 O ensaio de torc¸a\u2dco
O ensaio de torc¸a\u2dco e´ uma alternativa ao ensaio de cisalhamento face as dificuldades que
apresentam este u´ltimo na aplicac¸a\u2dco de cisalhamento puro num CP.
O ensaio de torc¸a\u2dco consiste em se aplicar um torque num CP analisando as distorc¸o\u2dces
angulares, conforme figura 2.36
Verifica-se experimentalmente que para pequenas deformac¸o\u2dces, a variac¸a\u2dco da dimensa\u2dco
do segmento ab da figura 2.36 pode ser desprezado. Consequ¨entemente, as deformac¸o\u2dces
medidas no ensaio de torc¸a\u2dco sa\u2dco distorc¸o\u2dces angulares.
De forma ana´loga ao ensaio de trac¸a\u2dco, e´ poss´\u131vel se obter um diagrama tensa\u2dco-
deformac¸a\u2dco, pore´m neste caso relacionando tenso\u2dces cisalhantes com distorc¸o\u2dces angulares.
35
\u3b1
a b
Figura 2.36: Ensaio de torc¸a\u2dco
Este diagrama, para materiais ela´sticos lineares, tambe´m segue a lei Hooke conforme
equac¸a\u2dco que segue:
\u3c4xy = tan\u3b1 \u3b3xy = G\u3b3xy (2.66)
onde G e´ o Mo´dulo de Elasticidade Transversal e e´ uma outra caracter´\u131stica do
material.
Finalmente, uma vez observado experimentalmente que tenso\u2dces tangenciais \u3c4xy causam
apenas distorc¸o\u2dces angulares \u3b3xy, completa-se as relac¸o\u2dces entre tenso\u2dces cisalhantes e dis-
torc¸o\u2dces angulares:
\u3c4xz = G\u3b3xz (2.67)
\u3c4yz = G\u3b3yz (2.68)
Mais uma vez, a caracter´\u131stica de isotropia reduziu o nu´mero de constantes ela´sticas
do problema.
2.3.4 Lei de Hooke generalizada
Apo´s se analisar os ensaios de trac¸a\u2dco e torc¸a\u2dco, verifica-se que foram introduzidas tre\u2c6s
constantes ela´sticas, que sa\u2dco caracter´\u131sticas do material: E, G e \u3bd. Pode-se demonstrar
(Meca\u2c6nica dos So´lidos I) que apenas duas destas constantes ela´sticas sa\u2dco independentes,
conforme indica equac¸a\u2dco 2.69:
G =
E
2(1 + \u3bd)
(2.69)
A tabela que segue mostra alguns valores pra´ticos destas constantes ela´sticas, bem
como alguns limites ela´sticos (considerados como tenso\u2dces de escoamento) e massas es-
pec´\u131ficas.
Assim sendo, resume-se as relac¸o\u2dces tenso\u2dces deformac¸o\u2dces na equac¸a\u2dco 2.70, conhecida
como Lei de Hooke Generalizada.\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
²x
²y
²y
\u3b3xy
\u3b3xz
\u3b3yz
\uf8fc\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8fd\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8fe
=
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1/E \u2212\u3bd/E \u2212\u3bd/E 0 0 0
\u2212\u3bd/E 1/E \u2212\u3bd/E 0 0 0
\u2212\u3bd/E \u2212\u3bd/E 1/E 0 0 0
0 0 0 1/G 0 0
0 0 0 0 1/G 0
0 0 0 0 0 1/G
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb
\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
\u3c3x
\u3c3y
\u3c3y
\u3c4xy
\u3c4xz
\u3c4yz
\uf8fc\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8fd\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8fe
(2.70)
Pode-se escrever a equac¸a\u2dco matricial 2.70 na forma compacta:
² = D\u22121\u3c3