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neste curso teˆm comportamento linear. O n´ıvel de 4Aparelho usado para medir a variac¸a˜o do comprimento 32 P ∆L (a) Diagrama P ×∆L ε σ x x (b) Diagrama σx × ²x - Tensa˜o- deformac¸a˜o Figura 2.34: Exemplos de diagramas do ensaio de trac¸a˜o tensa˜o a partir do qual o material deixa de ter comportamento linear e´ chamado de limite de proporcionalidade (ponto 1 - figuras 2.35). Dentre os materias de comportamento linear, identifica-se 3 tipos mais comuns de diagramas tensa˜o-deformac¸a˜o conforme os mostrados na figura 2.35. εx σx 5 % R 1 2 α (a) Material Fra´gil εx σx 5 % R 0,2 % 1 2 3 α (b) Material du´til sem pata- mar de escoamento εx σx R 3 4 2 1 5 % α (c) Material du´til com pata- mar de escoamento Figura 2.35: Exemplos de diagramas do ensaio de trac¸a˜o em materiais de comportamento linear As caracter´ısticas principais observadas nos diagramas da figura 2.35 sa˜o as seguintes: • (a) Material fra´gil (concreto, vidro): A ruptura (ponto R) se da´ para valores ²x < 5 %; • (b) Material du´til sem patamar de escoamento definido (ac¸os especiais com alto teor de carbono). A ruptura (ponto R) se da´ para valores ²x >> 5 % e o material na˜o apresenta patamar de escoamento, onde ha´ aumento de deformac¸a˜o com a tensa˜o aproximadamente constante. 33 • (c) Material du´til com escoamento definido (ac¸os comuns, com baixo teor de carbono). A ruptura (ponto R) se da´ para valores ²x >> 5 % e o material apresenta patamar de escoamento (trecho entre os pontos 3 e 4), onde ha´ aumento de deformac¸a˜o com a tensa˜o aproximadamente constante. Para um CP em ac¸o pode-se verificar experimentalmente no diagrama tensa˜o-deformac¸a˜o obtido num ensaio de trac¸a˜o, que existe um n´ıvel de tensa˜o pro´ximo ao limite de propor- cionalidade, tal que, quando o CP e´ carregado acima deste n´ıvel, o mesmo na˜o retorna a sua configurac¸a˜o original. Este ponto e´ chamado de limite de elasticidade (ponto 2 - figuras 2.35). Apo´s este ponto passam a existir deformac¸o˜es permanentes ou pla´sticas. No ac¸o os limites de elasticidade e proporcionalidade sa˜o muito pro´ximos, tanto que normalmente na˜o se faz muita diferenc¸a entre esses dois n´ıveis de tensa˜o. Materiais que possuem estes dois limites muito pro´ximos sa˜o chamados de materiais ela´sticos lineares. Estes materiais, como e´ o caso do ac¸o, sera˜o os objetos de estudo deste curso. O limite de elasticidade e o limite de proporcionalidade sa˜o dif´ıceis de se determinar com precisa˜o. Em raza˜o disso, os engenheiros utilizam para uma definic¸a˜o mais utiliza´vel do in´ıcio do comportamento na˜o-ela´stico a tensa˜o de escoamento ou ponto de escoamento. Em ac¸os com baixo teor de carbono, este ponto e´ obtido diretamente da curva tensa˜o- deformac¸a˜o (ver ponto 3 da figura 2.35(c)). Ja´ para ac¸os especiais com alto teor de carbono, este ponto e´ arbitrado como sendo a tensa˜o que provoca uma pequena deformac¸a˜o residual de 0,2 % apo´s o descarregamento. Durante a fase ela´stica, ou seja, para n´ıveis de tenso˜es ate´ o limite de elasticidade (ou tensa˜o de escoamento para efeitos pra´ticos) a relac¸a˜o entre a tensa˜o σx e a deformac¸a˜o ²x pode ser escrita na forma: σx = tanα ²x = E ²x (2.55) onde E = tanα e´ o coeficiente angular da reta conhecido comoMo´dulo de Elasticidade Longitudinal ou Mo´dulo de Young. A equac¸a˜o 2.55 mostra que para materiais trabalhando em regime ela´stico linear tem- se que a tensa˜o e´ diretamente proporcional a` deformac¸a˜o. Esta relac¸a˜o e´ conhecida como lei de Hooke, em homenagem a Robert Hooke que obteve esta proporcionalidade ha´ mais de 300 anos. Ale´m de gerar deformac¸o˜es ²x, a tensa˜o σx aplicada ao CP, conforme ja´ destacado neste texto, gera deformac¸o˜es lineares nas direc¸o˜es transversais (²y e ²z). Tomando-se enta˜o a raza˜o entre a medida obtida para a variac¸a˜o do diaˆmetro (∆D) e o diaˆmetro inicial (D) do CP pode-se escrever: ²y = ∆D D (2.56) ²z = ∆D D (2.57) Conhecidos os valores de ²x, ²y e ²z (obtidos experimentalmente com as medidas dos extensoˆmetros) e´ poss´ıvel estabelecer as relac¸o˜es: ²y ²x = constante = −ν ²z ²x = constante = −ν (2.58) 34 onde ν e´ denominado deCoeficiente de Poisson e e´ uma caracter´ıstica f´ısica do material. Alternativamente as equac¸o˜es 2.58 podem ser escritas na forma: ²y = −ν ²x (2.59) ²z = −ν ²x (2.60) Substituindo a equac¸a˜o 2.55 na equac¸a˜o 2.60 chega-se a`s relac¸o˜es entre tenso˜es normais e deformac¸o˜es transversais: ²y = −ν σx E (2.61) ²z = −ν σx E (2.62) Resumindo, caso estivessem atuando simultaneamente σx, σy e σz, ter-se-ia: ²x = + σx E − ν σy E − ν σz E (2.63) ²y = −ν σx E + σy E − ν σz E (2.64) ²z = −ν σx E − ν σy E + σz E (2.65) Fica claro que caracter´ıstica de isotropia do material reduz sensivelmente o nu´mero de constantes ela´sticas que relacionam tensa˜o com deformac¸a˜o. O estudo detalhado de cada fase do ensaio de trac¸a˜o e´ feito no curso de Laborato´rio de Resisteˆncia dos Materiais, cadeira do pro´ximo per´ıodo. 2.3.2 Ensaio de Compressa˜o E´ semelhante ao ensaio de trac¸a˜o, mas o CP deve ter dimenso˜es adequadas para se evitar a flambagem. Para materiais meta´licos os CPs devem ser de tal forma que a raza˜o L/D deve se situar entre 2 e 4 (ou entre 3 e 8 segundo alguns autores ). O ensaio de compressa˜o do ac¸o apresenta um diagrama semelhante ao ensaio de trac¸a˜o na fase ela´stica. Admite-se que as constantes ela´sticas E e ν obtidas experimentalmente sa˜o os mesmos para trac¸a˜o ou compressa˜o. O estudo detalhado de cada fase do ensaio de compressa˜o e´ feito no curso de Labo- rato´rio de Resisteˆncia dos Materiais, cadeira do pro´ximo per´ıodo. 2.3.3 O ensaio de torc¸a˜o O ensaio de torc¸a˜o e´ uma alternativa ao ensaio de cisalhamento face as dificuldades que apresentam este u´ltimo na aplicac¸a˜o de cisalhamento puro num CP. O ensaio de torc¸a˜o consiste em se aplicar um torque num CP analisando as distorc¸o˜es angulares, conforme figura 2.36 Verifica-se experimentalmente que para pequenas deformac¸o˜es, a variac¸a˜o da dimensa˜o do segmento ab da figura 2.36 pode ser desprezado. Consequ¨entemente, as deformac¸o˜es medidas no ensaio de torc¸a˜o sa˜o distorc¸o˜es angulares. De forma ana´loga ao ensaio de trac¸a˜o, e´ poss´ıvel se obter um diagrama tensa˜o- deformac¸a˜o, pore´m neste caso relacionando tenso˜es cisalhantes com distorc¸o˜es angulares. 35 α a b Figura 2.36: Ensaio de torc¸a˜o Este diagrama, para materiais ela´sticos lineares, tambe´m segue a lei Hooke conforme equac¸a˜o que segue: τxy = tanα γxy = Gγxy (2.66) onde G e´ o Mo´dulo de Elasticidade Transversal e e´ uma outra caracter´ıstica do material. Finalmente, uma vez observado experimentalmente que tenso˜es tangenciais τxy causam apenas distorc¸o˜es angulares γxy, completa-se as relac¸o˜es entre tenso˜es cisalhantes e dis- torc¸o˜es angulares: τxz = Gγxz (2.67) τyz = Gγyz (2.68) Mais uma vez, a caracter´ıstica de isotropia reduziu o nu´mero de constantes ela´sticas do problema. 2.3.4 Lei de Hooke generalizada Apo´s se analisar os ensaios de trac¸a˜o e torc¸a˜o, verifica-se que foram introduzidas treˆs constantes ela´sticas, que sa˜o caracter´ısticas do material: E, G e ν. Pode-se demonstrar (Mecaˆnica dos So´lidos I) que apenas duas destas constantes ela´sticas sa˜o independentes, conforme indica equac¸a˜o 2.69: G = E 2(1 + ν) (2.69) A tabela que segue mostra alguns valores pra´ticos destas constantes ela´sticas, bem como alguns limites ela´sticos (considerados como tenso˜es de escoamento) e massas es- pec´ıficas. Assim sendo, resume-se as relac¸o˜es tenso˜es deformac¸o˜es na equac¸a˜o 2.70, conhecida como Lei de Hooke Generalizada. ²x ²y ²y γxy γxz γyz = 1/E −ν/E −ν/E 0 0 0 −ν/E 1/E −ν/E 0 0 0 −ν/E −ν/E 1/E 0 0 0 0 0 0 1/G 0 0 0 0 0 0 1/G 0 0 0 0 0 0 1/G σx σy σy τxy τxz τyz (2.70) Pode-se escrever a equac¸a˜o matricial 2.70 na forma compacta: ² = D−1σ