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resmat2007a

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neste curso teˆm comportamento linear. O n´ıvel de
4Aparelho usado para medir a variac¸a˜o do comprimento
32
P
∆L
(a) Diagrama P ×∆L
ε
σ
x
x
(b) Diagrama σx × ²x - Tensa˜o-
deformac¸a˜o
Figura 2.34: Exemplos de diagramas do ensaio de trac¸a˜o
tensa˜o a partir do qual o material deixa de ter comportamento linear e´ chamado de limite
de proporcionalidade (ponto 1 - figuras 2.35).
Dentre os materias de comportamento linear, identifica-se 3 tipos mais comuns de
diagramas tensa˜o-deformac¸a˜o conforme os mostrados na figura 2.35.
εx
σx
5 %
R
1
2
α
(a) Material Fra´gil
εx
σx
5 %
R
0,2 %
1
2
3
α
(b) Material du´til sem pata-
mar de escoamento
εx
σx
R
3 4
2
1
5 %
α
(c) Material du´til com pata-
mar de escoamento
Figura 2.35: Exemplos de diagramas do ensaio de trac¸a˜o em materiais de comportamento
linear
As caracter´ısticas principais observadas nos diagramas da figura 2.35 sa˜o as seguintes:
• (a) Material fra´gil (concreto, vidro): A ruptura (ponto R) se da´ para valores
²x < 5 %;
• (b) Material du´til sem patamar de escoamento definido (ac¸os especiais com
alto teor de carbono). A ruptura (ponto R) se da´ para valores ²x >> 5 % e o
material na˜o apresenta patamar de escoamento, onde ha´ aumento de deformac¸a˜o
com a tensa˜o aproximadamente constante.
33
• (c) Material du´til com escoamento definido (ac¸os comuns, com baixo teor
de carbono). A ruptura (ponto R) se da´ para valores ²x >> 5 % e o material
apresenta patamar de escoamento (trecho entre os pontos 3 e 4), onde ha´ aumento
de deformac¸a˜o com a tensa˜o aproximadamente constante.
Para um CP em ac¸o pode-se verificar experimentalmente no diagrama tensa˜o-deformac¸a˜o
obtido num ensaio de trac¸a˜o, que existe um n´ıvel de tensa˜o pro´ximo ao limite de propor-
cionalidade, tal que, quando o CP e´ carregado acima deste n´ıvel, o mesmo na˜o retorna a
sua configurac¸a˜o original. Este ponto e´ chamado de limite de elasticidade (ponto 2 -
figuras 2.35). Apo´s este ponto passam a existir deformac¸o˜es permanentes ou pla´sticas.
No ac¸o os limites de elasticidade e proporcionalidade sa˜o muito pro´ximos, tanto que
normalmente na˜o se faz muita diferenc¸a entre esses dois n´ıveis de tensa˜o. Materiais
que possuem estes dois limites muito pro´ximos sa˜o chamados de materiais ela´sticos
lineares. Estes materiais, como e´ o caso do ac¸o, sera˜o os objetos de estudo deste curso.
O limite de elasticidade e o limite de proporcionalidade sa˜o dif´ıceis de se determinar
com precisa˜o. Em raza˜o disso, os engenheiros utilizam para uma definic¸a˜o mais utiliza´vel
do in´ıcio do comportamento na˜o-ela´stico a tensa˜o de escoamento ou ponto de escoamento.
Em ac¸os com baixo teor de carbono, este ponto e´ obtido diretamente da curva tensa˜o-
deformac¸a˜o (ver ponto 3 da figura 2.35(c)). Ja´ para ac¸os especiais com alto teor de
carbono, este ponto e´ arbitrado como sendo a tensa˜o que provoca uma pequena deformac¸a˜o
residual de 0,2 % apo´s o descarregamento.
Durante a fase ela´stica, ou seja, para n´ıveis de tenso˜es ate´ o limite de elasticidade (ou
tensa˜o de escoamento para efeitos pra´ticos) a relac¸a˜o entre a tensa˜o σx e a deformac¸a˜o ²x
pode ser escrita na forma:
σx = tanα ²x = E ²x (2.55)
onde E = tanα e´ o coeficiente angular da reta conhecido comoMo´dulo de Elasticidade
Longitudinal ou Mo´dulo de Young.
A equac¸a˜o 2.55 mostra que para materiais trabalhando em regime ela´stico linear tem-
se que a tensa˜o e´ diretamente proporcional a` deformac¸a˜o. Esta relac¸a˜o e´ conhecida como
lei de Hooke, em homenagem a Robert Hooke que obteve esta proporcionalidade ha´ mais
de 300 anos.
Ale´m de gerar deformac¸o˜es ²x, a tensa˜o σx aplicada ao CP, conforme ja´ destacado neste
texto, gera deformac¸o˜es lineares nas direc¸o˜es transversais (²y e ²z). Tomando-se enta˜o a
raza˜o entre a medida obtida para a variac¸a˜o do diaˆmetro (∆D) e o diaˆmetro inicial (D)
do CP pode-se escrever:
²y =
∆D
D
(2.56)
²z =
∆D
D
(2.57)
Conhecidos os valores de ²x, ²y e ²z (obtidos experimentalmente com as medidas dos
extensoˆmetros) e´ poss´ıvel estabelecer as relac¸o˜es:
²y
²x
= constante = −ν
²z
²x
= constante = −ν (2.58)
34
onde ν e´ denominado deCoeficiente de Poisson e e´ uma caracter´ıstica f´ısica do material.
Alternativamente as equac¸o˜es 2.58 podem ser escritas na forma:
²y = −ν ²x (2.59)
²z = −ν ²x (2.60)
Substituindo a equac¸a˜o 2.55 na equac¸a˜o 2.60 chega-se a`s relac¸o˜es entre tenso˜es normais
e deformac¸o˜es transversais:
²y = −ν σx
E
(2.61)
²z = −ν σx
E
(2.62)
Resumindo, caso estivessem atuando simultaneamente σx, σy e σz, ter-se-ia:
²x = +
σx
E
− ν σy
E
− ν σz
E
(2.63)
²y = −ν σx
E
+
σy
E
− ν σz
E
(2.64)
²z = −ν σx
E
− ν σy
E
+
σz
E
(2.65)
Fica claro que caracter´ıstica de isotropia do material reduz sensivelmente o nu´mero
de constantes ela´sticas que relacionam tensa˜o com deformac¸a˜o.
O estudo detalhado de cada fase do ensaio de trac¸a˜o e´ feito no curso de Laborato´rio
de Resisteˆncia dos Materiais, cadeira do pro´ximo per´ıodo.
2.3.2 Ensaio de Compressa˜o
E´ semelhante ao ensaio de trac¸a˜o, mas o CP deve ter dimenso˜es adequadas para se evitar
a flambagem. Para materiais meta´licos os CPs devem ser de tal forma que a raza˜o L/D
deve se situar entre 2 e 4 (ou entre 3 e 8 segundo alguns autores ).
O ensaio de compressa˜o do ac¸o apresenta um diagrama semelhante ao ensaio de trac¸a˜o
na fase ela´stica. Admite-se que as constantes ela´sticas E e ν obtidas experimentalmente
sa˜o os mesmos para trac¸a˜o ou compressa˜o.
O estudo detalhado de cada fase do ensaio de compressa˜o e´ feito no curso de Labo-
rato´rio de Resisteˆncia dos Materiais, cadeira do pro´ximo per´ıodo.
2.3.3 O ensaio de torc¸a˜o
O ensaio de torc¸a˜o e´ uma alternativa ao ensaio de cisalhamento face as dificuldades que
apresentam este u´ltimo na aplicac¸a˜o de cisalhamento puro num CP.
O ensaio de torc¸a˜o consiste em se aplicar um torque num CP analisando as distorc¸o˜es
angulares, conforme figura 2.36
Verifica-se experimentalmente que para pequenas deformac¸o˜es, a variac¸a˜o da dimensa˜o
do segmento ab da figura 2.36 pode ser desprezado. Consequ¨entemente, as deformac¸o˜es
medidas no ensaio de torc¸a˜o sa˜o distorc¸o˜es angulares.
De forma ana´loga ao ensaio de trac¸a˜o, e´ poss´ıvel se obter um diagrama tensa˜o-
deformac¸a˜o, pore´m neste caso relacionando tenso˜es cisalhantes com distorc¸o˜es angulares.
35
α
a b
Figura 2.36: Ensaio de torc¸a˜o
Este diagrama, para materiais ela´sticos lineares, tambe´m segue a lei Hooke conforme
equac¸a˜o que segue:
τxy = tanα γxy = Gγxy (2.66)
onde G e´ o Mo´dulo de Elasticidade Transversal e e´ uma outra caracter´ıstica do
material.
Finalmente, uma vez observado experimentalmente que tenso˜es tangenciais τxy causam
apenas distorc¸o˜es angulares γxy, completa-se as relac¸o˜es entre tenso˜es cisalhantes e dis-
torc¸o˜es angulares:
τxz = Gγxz (2.67)
τyz = Gγyz (2.68)
Mais uma vez, a caracter´ıstica de isotropia reduziu o nu´mero de constantes ela´sticas
do problema.
2.3.4 Lei de Hooke generalizada
Apo´s se analisar os ensaios de trac¸a˜o e torc¸a˜o, verifica-se que foram introduzidas treˆs
constantes ela´sticas, que sa˜o caracter´ısticas do material: E, G e ν. Pode-se demonstrar
(Mecaˆnica dos So´lidos I) que apenas duas destas constantes ela´sticas sa˜o independentes,
conforme indica equac¸a˜o 2.69:
G =
E
2(1 + ν)
(2.69)
A tabela que segue mostra alguns valores pra´ticos destas constantes ela´sticas, bem
como alguns limites ela´sticos (considerados como tenso˜es de escoamento) e massas es-
pec´ıficas.
Assim sendo, resume-se as relac¸o˜es tenso˜es deformac¸o˜es na equac¸a˜o 2.70, conhecida
como Lei de Hooke Generalizada.
²x
²y
²y
γxy
γxz
γyz

=

1/E −ν/E −ν/E 0 0 0
−ν/E 1/E −ν/E 0 0 0
−ν/E −ν/E 1/E 0 0 0
0 0 0 1/G 0 0
0 0 0 0 1/G 0
0 0 0 0 0 1/G


σx
σy
σy
τxy
τxz
τyz

(2.70)
Pode-se escrever a equac¸a˜o matricial 2.70 na forma compacta:
² = D−1σ

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