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DisciplinaResistência dos Materiais II4.834 materiais119.145 seguidores
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Tabela 2.1: Constantes ela´sticas de alguns materiais
Material E (GPa) G (GPa) \u3bd Tensa\u2dco de escoamento Massa espec´\u131fica
(MPa) (kg/m3)
Ac¸o CA-25 210 79 0,33 250 7860
Ac¸o CA-50 210 79 0,33 500 7860
Ac¸o CA-60 210 79 0,33 600 7860
Ac¸o CP-150 210 79 0,33 1500 7860
Ac¸o ASTM A-36 253 7860
Concreto 22 a 30 \u223c= 0,1 15 a 40 na compressa\u2dco 2400
Alum\u131´nio 69 26 0,33 290 2710
Tita\u2c6nio 114 825 4460
ou
\u3c3 = D² (2.72)
onde D e´ chamada de matriz constitutiva do material.
2.3.5 Exerc´\u131cios
1. Deduza a Matriz D da equac¸a\u2dco 2.72. Resposta:
D =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
E(\u3bd\u22121)
2 \u3bd2+\u3bd\u22121 \u2212 E\u3bd2 \u3bd2+\u3bd\u22121 \u2212 E\u3bd2 \u3bd2+\u3bd\u22121 0 0 0
\u2212 E\u3bd
2 \u3bd2+\u3bd\u22121
E(\u3bd\u22121)
2 \u3bd2+\u3bd\u22121 \u2212 E\u3bd2 \u3bd2+\u3bd\u22121 0 0 0
\u2212 E\u3bd
2 \u3bd2+\u3bd\u22121 \u2212 E\u3bd2 \u3bd2+\u3bd\u22121 E(\u3bd\u22121)2 \u3bd2+\u3bd\u22121 0 0 0
0 0 0 G 0 0
0 0 0 0 G 0
0 0 0 0 0 G
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb
2. Para o estado de tenso\u2dces num certo ponto de uma estrutura de ac¸o definido pelo
tensor de tenso\u2dces que segue, pede-se calcular as componentes de deformac¸a\u2dco neste
ponto. Considere E = 210 GPa e \u3bd = 0,3.
Dado: \u3c3 =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 21 0 00 14 \u22123, 5
0 \u22123, 5 0
\uf8f9\uf8fa\uf8fb. Resposta: ² =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 80 0 00 36, 7 \u221221, 6
0 \u221221, 6 \u221250
\uf8f9\uf8fa\uf8fb× 10\u22126.
3. Para um coeficiente de Poisson de 0,30 mo´dulo de e um mo´dulo de Young de 210000
MPa, determinar o tensor de deformac¸o\u2dces para o seguinte estado de tenso\u2dces:
\u3c3 =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 0 7 \u2212147 3, 5 \u221221
\u221214 \u221221 7
\uf8f9\uf8fa\uf8fb. Resposta: ² =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
\u221215.0 43.34 \u221286.65
43.34 6.667 \u2212130.0
\u221286.65 \u2212130.0 28.33
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb× 10\u22126
37
4. idem exerc´\u131cio 3 para \u3c3 =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
\u221210 0 \u22123
0 5 \u221210
\u22123 \u221210 0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb.
Resposta ² =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
\u221254.76 0 \u221218.57
0 38.10 \u221261.90
\u221218.57 \u221261.90 7.143
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb
5. Para o estado de deformac¸o\u2dces num ponto de uma estrutura dado pelo tensor de
deformac¸o\u2dces que segue, calcular o estado de tenso\u2dces atuante neste ponto, sendo E
= 175 GPa e G = 70 GPa.
Dado: ² =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 0, 55 \u22122, 5 0\u22122, 5 0, 30 0, 25
0 0, 25 \u22120, 95
\uf8f9\uf8fa\uf8fb× 10\u22124
Resposta \u3c3 =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 7 \u221235 0\u221235 3, 5 3, 5
0 3, 5 \u221214
\uf8f9\uf8fa\uf8fb MPa
6. idem exerc´\u131cio 5 sendo: ² =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
2.856 7.143 7.143
7.143 2.856 7.143
7.143 7.143 2.856
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb× 10\u22126 .
Resposta: \u3c3 =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1 1 1
1 1 1
1 1 1
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb MPa
7. Numa ana´lise experimental foram determinados os deslocamentos dos pontos 1, 2,
3 e 4 de uma estrutura de ac¸o. Tais pontos sa\u2dco mostrados na figura 2.37 e seus
respectivos deslocamentos sa\u2dco:
ponto 1: u1 = 0, 10× 10\u22123 m, v1 = 0, 20× 10\u22123 m e w1 = 0
ponto 2: u2 = 0, 15× 10\u22123 m e v2 = 0, 15× 10\u22123 m e w2 = 0
ponto 3: u3 = 0, 20× 10\u22123 m e v3 = \u22120, 20× 10\u22123 m e w3 = 0
ponto 4: u4 = \u22120, 10× 10\u22123 m e v4 = 0, 10× 10\u22123 m e w4 = 0
Calcule o valor aproximado das tenso\u2dces \u3c3x, \u3c3y e \u3c4xy no ponto P em func¸a\u2dco dos
dados experimentais obtidos. Considere as constantes ela´sticas apresentadas nesta
apostila e ²z = 0.
Reposta admitindo uma func¸a\u2dco de interpolac¸a\u2dco de deslocamentos do tipo
u = \u3b11x+ \u3b12y + \u3b13xy + \u3b14 e
v = \u3b21x+ \u3b22y + \u3b23xy + \u3b24: \u3c3x = -19,97 MPa\u2d9
Resposta: \u3c3x = \u221219, 97 MPa; \u3c3y = 43, 19 MPa;\u3c4xy = 19, 75 MPa;
38
x,u
y,v
2
4
P(0,5;0,5)
1 (1,0; 1,0)
3 (0,0; 0,0)
Figura 2.37: Figura do exerc´\u131cio 7
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Cap´\u131tulo 3
Tenso\u2dces e Deformac¸o\u2dces em Barras de
Eixo Reto
Ate´ aqui foram estudadas as tenso\u2dces, as deformac¸o\u2dces e suas relac¸o\u2dces em casos gerais (Lei
de Hooke generalizada). Neste cap´\u131tulo estas grandezas sera\u2dco abordadas em estruturas
do tipo barra de eixo reto.
O ca´lculo das tenso\u2dces em barras fica simplificado quando comparado com casos gerais
de estruturas pois, tomando como eixo x o de direc¸a\u2dco longitudinal da barra, considera-
se nestas estruturas as tenso\u2dces \u3c3y e \u3c3z iguais a zero. Assim sendo, fica claro que as
componentes de tensa\u2dco no plano yz (~\u3c1x) sera\u2dco fundamentais no estudo das barras conforme
se destaca na figura 3.1.
x
\u3c1
x
\u3c3
xy\u3c4xz\u3c4
..
x
y
z
Figura 3.1: Tensa\u2dco ~\u3c1x
Normalmente, o ca´lculo de tenso\u2dces em barras e´ feito a partir de seus esforc¸os internos
solicitantes, que podem ser obtidos atrave´s de princ´\u131pios ba´sicos da Ana´lise Estrutural.
Faz-se a seguir uma ra´pida abordagem destes princ´\u131pios, definindo-se os esforc¸os simples
numa barra atrave´s do me´todo das sec¸o\u2dces (ver notas de aula de Ana´lise Estrutural).
A relac¸a\u2dco entre esforc¸os e tenso\u2dces em uma barra e´ o principal ponto de ligac¸a\u2dco entre
as disciplinas Resite\u2c6ncia dos Materiais e Ana´lise Estrutural.
Seja um ponto P (y, z) gene´rico de uma sec¸a\u2dco transversal conforme figura 3.2.
Sendo ~dF a forc¸a elementar na a´rea elementar dA, em torno de P , reescrevendo
equac¸a\u2dco 2.2 tem-se:
~\u3c1x =
~dF
dA
(3.1)
Analisando-se as componentes de forc¸a e tensa\u2dco e equac¸a\u2dco, observando figuras 3.1 e
3.2 tem-se:
~dF = dFx~i+ dFy~j + dFz~k (3.2)
40
dFx
dFydFz
..
x
y
z
dF
y z
P
Figura 3.2: Relac¸a\u2dco entre esforc¸os e tenso\u2dces
~\u3c1x = \u3c3x~i+ \u3c4xy~j + \u3c4xz~k (3.3)
logo, utilizando equac¸a\u2dco 3.1, tem-se:
dFx = \u3c3xdA (3.4)
dFy = \u3c4xydA (3.5)
dFz = \u3c4xzdA (3.6)
Da Meca\u2c6nica Geral e Ana´lise Estrutural, obtem-se:
N = Fx =
\u222b
A
dFx =
\u222b
A
\u3c3xdA (3.7)
Qy = Fy =
\u222b
A
dFy =
\u222b
A
\u3c4xydA (3.8)
Qz = Fz =
\u222b
A
dFz =
\u222b
A
\u3c4xzdA (3.9)
T = Mx =
\u222b
A
(dFyz \u2212 dFzy) =
\u222b
A
(\u3c4xyz \u2212 \u3c4xzy)dA (3.10)
My =
\u222b
A
(\u2212dFxz) = \u2212
\u222b
A
\u3c3xzdA (3.11)
Mz =
\u222b
A
(dFxy) =
\u222b
A
\u3c3xydA (3.12)
Portanto:
N =
\u222b
A
\u3c3xdA (3.13)
Qy =
\u222b
A
\u3c4xydA (3.14)
Qz =
\u222b
A
\u3c4xzdA (3.15)
T =
\u222b
A
(\u3c4xyz \u2212 \u3c4xzy)dA (3.16)
My = \u2212
\u222b
A
z\u3c3xdA (3.17)
Mz =
\u222b
A
y\u3c3xdA (3.18)
Estas relac¸o\u2dces deixam claro que:
41
\u2022 Esforc¸o normal e momentos fletores causam tenso\u2dces normais.
\u2022 Esforc¸os cortantes e momento de torc¸a\u2dco causam tenso\u2dces tangenciais.
Exemplo 1: Calcular as tenso\u2dces em uma barra submetida a esforc¸o normal constante.
Verifica-se, experimentalmente, que a as tenso\u2dces normais (\u3c3x) neste caso se distribuem de
maneira uniforme na sec¸a\u2dco, isto e´, todos os pontos da sec¸a\u2dco esta\u2dco sujeitos a uma mesma
tensa\u2dco normal (constante), e que as tenso\u2dces cisalhantes (\u3c4xy e \u3c4xz) sa\u2dco nulas.
As figuras 3.3 e 3.4 representam a tensa\u2dco normal constante em uma sec¸a\u2dco retangular
ABCD, em perspectiva isome´trica e em vista lateral, respectivamente. O diagrama espa-
cial e´ chamado \u201cso´lido de tenso\u2dces\u201d e o plano A\u2019B\u2019C\u2019D\u2019, que contem as extremidades dos
vetores, e´ a \u201csuperf´\u131cie de tenso\u2dces\u201d.
A
B
C\u2019
B\u2019
A\u2019
C
D
D\u2019
Figura 3.3: So´lidos de Tenso\u2dces
A = B
C\u2019 = D\u2019
A\u2019 = B\u2019 
C = D
Figura 3.4: Vista lateral do So´lido de Tenso\u2dces
Desta maneira, pode-se afirmar, observando equac¸o\u2dces 3.16 a 3.18, que Qy = 0, Qz = 0
e T = 0 Enta\u2dco, utilizando-se equac¸a\u2dco 3.13 tem-se:
N =
\u222b
A
\u3c3xdA
N = \u3c3xA
\u3c3x =
N
A
sendo A a a´rea da sec¸a\u2dco transversal da barra.
Outra maneira de se obter a relac¸a\u2dco entre a tensa\u2dco normal e esforc¸o normal e´ identificando
que
\u222b
A \u3c3xdA e´ o volume do so´lido de tenso\u2dces. Assim sendo tem-se:
N =
\u222b
A
\u3c3xdA = volume do so´lido de tenso\u2dces = \u3c3xA
42
\u3c3x =
N
A
De forma ana´loga, pode-se calcular os momentos fletores My e Mz multiplicando-se a
resultande de forc¸as (volume do so´lido de tenso\u2dces) pela respectiva dista\u2c6ncia ate´ o centro
da sec¸a\u2dco. Isso equivale a se resolver as equac¸o\u2dces 3.17 e 3.18. Como em ambos os casos a
dista\u2c6ncia e´ nula, tem-se que os esforc¸os My e Mz tambe´m os sa\u2dco.
Exemplo 2: Na sec¸a\u2dco quadrada de uma barra de lado a na\u2dco existem tenso\u2dces tangenciais e
as tenso\u2dces normais variam de acordo com o diagrama espacial dado na figura 3.5. Calcular
os esforc¸os simples na sec¸a\u2dco.
Resposta: N = \u3c3oa
2/2 e Mz = \u3c3oa
3/12. Demais esforc¸oes nulos.
z
x
y
x\u3c3
\u3c3o...
a/2
\u2212a/2
0
y
Figura 3.5: Figura do exemplo 2
Exemplo 3: Em uma sec¸a\u2dco reta\u2c6ngular b×h na\u2dco existem tenso\u2dces tangenciais e as tenso\u2dces
normais variam de acordo com o so´lido de tenso\u2dces dado nas figuras 3.6. Calcule os esforc¸os
simples nestas sec¸o\u2dces.
Respostas: primeiro caso: Mz = \u3c3obh
2/6 e demais esforc¸os nulos; segundo caso: N =
\u3c3obh/3, Mz = \u3c3obh
2/9 e demais esforc¸os nulos.
\u3c3o
\u3c3o
\u3c3o
\u3c3o/3
Figura 3.6: Figura do exemplo 3
43
3.1 Solicitac¸a\u2dco por esforc¸o normal
Barras submetidas a esforc¸os normais sofrem deformac¸o\u2dces lineares longitudinais e transver-
sais (²x, ²y e ²z) e, conforme observado no exemplo 1 deste cap´\u131tulo, a distribuic¸a\u2dco de
tenso\u2dces \u3c3x numa determinada sec¸a\u2dco transversal e´ constante e na\u2dco