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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto deMatema´tica
Departamento de Me´todos Matema´ticos
www.dmm.im.ufrj.br
1a Prova Unificada de Ca´lculo II
Escola Polite´cnica e Escola de Qu´ımica - 15/10/2009
1a Questa˜o: (2,5 pontos) Suponha que no instante t = 0, a metade de uma populac¸a˜o
de 100.000 coelhos e´ infectada por um v´ırus que comec¸a crescendo com uma taxa de
1.000 coelhos por dia. Assumindo que a taxa com que o v´ırus se espalha e´ proporcional a`
quantidade de coelhos infectados vezes a quantidade de coelhos na˜o infectados, determine
o tempo que levara´ para que o v´ırus se espalhe por 80% da populac¸a˜o.
2a Questa˜o: (a) (0,5 pontos) Determine a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o
y′′ + 4y′ + 4y = 0
(b) (1,5 pontos) Utilize o resultado do item (a) para determinar a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o
y′′ + 4y′ + 4y = e−2x(x+ 2)
(c) (0,5 pontos) Utilize o resultado do item (b) para determinar a soluc¸a˜o do problema
de valor inicial  y
′′ + 4y′ + 4y = e−2x(x+ 2)
y(0) = −1, y′(0) = 1.
3a Questa˜o: Dada a curva Γ definida por ~r (t) = 〈 et cos t, et sen t, et 〉, t ≥ 0.
(a) (0,5 pontos) Esboce a curva Γ e indique com setas a direc¸a˜o na qual o paraˆmetro
cresce.
(b) (1,5 pontos) Determine as equac¸o˜es parame´tricas da reta tangente a` curva no ponto
P = (−epi, 0, epi). Determine, tambe´m, uma equac¸a˜o do plano normal (ortogonal) a` curva
no ponto P .
(c) (0,5 pontos) Determine o comprimento da curva quando t varia de 0 ate´ 1.
4a Questa˜o: Dada a func¸a˜o f(x, y) = 5−
√
4x2 + y2.
(a) (0,5 pontos) Determine e identifique as curvas de n´ıvel de f(x, y).
(b) (0,8 pontos) Determine, justificando, um esboc¸o para a superf´ıcie S que e´ o gra´fico
de f(x, y).
(c) (0,7 pontos) Determine uma parametrizac¸a˜o para a curva C obtida pela intersec¸a˜o da
superf´ıcie S com o elipso´ide 4x2 + y2 + (z − 5)2 = 8.
(d) (0,5 pontos) Determine os pontos sobre a curva C nos quais a reta tangente e´ paralela
a` reta y = 2x do plano xy.

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