prova_p1_calc2_2009_2_eng
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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto deMatema´tica
Departamento de Me´todos Matema´ticos
www.dmm.im.ufrj.br
1a Prova Unificada de Ca´lculo II
Escola Polite´cnica e Escola de Qu´\u131mica - 15/10/2009
1a Questa\u2dco: (2,5 pontos) Suponha que no instante t = 0, a metade de uma populac¸a\u2dco
de 100.000 coelhos e´ infectada por um v´\u131rus que comec¸a crescendo com uma taxa de
1.000 coelhos por dia. Assumindo que a taxa com que o v´\u131rus se espalha e´ proporcional a`
quantidade de coelhos infectados vezes a quantidade de coelhos na\u2dco infectados, determine
o tempo que levara´ para que o v´\u131rus se espalhe por 80% da populac¸a\u2dco.
2a Questa\u2dco: (a) (0,5 pontos) Determine a soluc¸a\u2dco geral da equac¸a\u2dco
y\u2032\u2032 + 4y\u2032 + 4y = 0
(b) (1,5 pontos) Utilize o resultado do item (a) para determinar a soluc¸a\u2dco geral da equac¸a\u2dco
y\u2032\u2032 + 4y\u2032 + 4y = e\u22122x(x+ 2)
(c) (0,5 pontos) Utilize o resultado do item (b) para determinar a soluc¸a\u2dco do problema
de valor inicial \uf8f1\uf8f2\uf8f3 y
\u2032\u2032 + 4y\u2032 + 4y = e\u22122x(x+ 2)
y(0) = \u22121, y\u2032(0) = 1.
3a Questa\u2dco: Dada a curva \u393 definida por ~r (t) = \u3008 et cos t, et sen t, et \u3009, t \u2265 0.
(a) (0,5 pontos) Esboce a curva \u393 e indique com setas a direc¸a\u2dco na qual o para\u2c6metro
cresce.
(b) (1,5 pontos) Determine as equac¸o\u2dces parame´tricas da reta tangente a` curva no ponto
P = (\u2212epi, 0, epi). Determine, tambe´m, uma equac¸a\u2dco do plano normal (ortogonal) a` curva
no ponto P .
(c) (0,5 pontos) Determine o comprimento da curva quando t varia de 0 ate´ 1.
4a Questa\u2dco: Dada a func¸a\u2dco f(x, y) = 5\u2212
\u221a
4x2 + y2.
(a) (0,5 pontos) Determine e identifique as curvas de n´\u131vel de f(x, y).
(b) (0,8 pontos) Determine, justificando, um esboc¸o para a superf´\u131cie S que e´ o gra´fico
de f(x, y).
(c) (0,7 pontos) Determine uma parametrizac¸a\u2dco para a curva C obtida pela intersec¸a\u2dco da
superf´\u131cie S com o elipso´ide 4x2 + y2 + (z \u2212 5)2 = 8.
(d) (0,5 pontos) Determine os pontos sobre a curva C nos quais a reta tangente e´ paralela
a` reta y = 2x do plano xy.