prova_p1_gab_calc2_2010_2_eng
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Universidade Federal do Rio de Janeiro
INSTITUTO DE MATEMA´TICA
Departamento de Me´todos Matema´ticos
Gabarito da 1a Prova Unificada de Ca´lculo II - Engenharia
29/09/2010
1a Questa\u2dco: (2,5 pontos)
Suponhamos que um compartimento tenha 1200 l de ar, inicialmente isento do mono´xido
de carbono. No instante t = 0, uma corrente de ga´s, com 4% de mono´xido de carbono,
e´ injetada no compartimento a` raza\u2dco de 0, 1 l/min e a mistura gasosa homoge\u2c6nea sai do
compartimento a esta mesma raza\u2dco.
1. Achar a expressa\u2dco da quantidade total q(t) de mono´xido de carbono no comparti-
mento, em qualquer instante t > 0. (1 ponto) E a expressa\u2dco da concentrac¸a\u2dco x(t) de
mono´xido de carbono?
2. A exposic¸a\u2dco demorada ao mono´xido de carbono, em concentrac¸a\u2dco ta\u2dco baixa quanto
0, 00012, e´ danosa para o organismo humano. Em que instante t esta concentrac¸a\u2dco
sera´ atingida no compartimento?
Modelagem:
dq
dt
=
4
100
1
10
\u2212 q
1200
1
10
, q(0) = 0.
A quantidade total:
dq
dt
=
4
1000
\u2212 q
12000
=
48\u2212 q
12000
=\u21d2
\u222b
dq
48\u2212 q =
\u222b
dt
12000
=\u21d2
\u2212 ln |48\u2212 q(t)| = t
12000
+ C =\u21d2 ln |48\u2212 q(t)| = \u2212 t
12000
\u2212 C =\u21d2
|48\u2212 q(t)| = e\u2212 t12000\u2212C = e\u2212 t12000 e\u2212C = Ce\u2212 t12000 .
Como q(0) = 0, 48 = C e |48\u2212 q(t)| = 48 e\u2212 t12000 , para t > 0.
Como a concentrac¸a\u2dco ma´xima sera´ de 4%, q(t) ma´ximo sera´ 48, |48\u2212 q| = 48\u2212 q e:
q(t) = 48\u2212 48e\u2212 t12000 , para t > 0.
A concentrac¸a\u2dco:
x(t) =
q(t)
volume
=
48\u2212 48e\u2212 t12000
1200
, para t > 0.
Quando x(t) =
12
100000
?
12
100000
=
48\u2212 48e\u2212 t12000
1200
\u21d0\u21d2 3
1000
= 1\u2212 e\u2212 t12000 \u21d0\u21d2 e\u2212 t12000 = 997
1000
\u21d0\u21d2
\u2212 t
12000
= ln
(
997
1000
)
\u21d0\u21d2 t = \u221212000 ln
(
997
1000
)
. minutos
2a Questa\u2dco: (2,5 pontos)
Determine a soluc¸a\u2dco geral da equac¸a\u2dco
y\u2032\u2032 \u2212 6y\u2032 + 10y = 2 sen 2x .
Soluc¸a\u2dco:
A soluc¸a\u2dco da equac¸a\u2dco homogenea e´: yh(x) = C1e
3x cosx+ C2e
3x senx.
Reescrevendo 2 sen 2x = 1\u2212 cos(2x), buscamos uma soluc¸a\u2dco particular do tipo
yp(x) = A+B cos(2x) + C sen (2x), A, B e C, constantes a determinar.
Calculando as derivadas primeira e segunda de yp(x) e substituindo na equac¸a\u2dco, determi-
namos as constantes, A = 1/10, B = \u22121/30 e C = 1/15.
Soluc¸a\u2dco geral: y(x) = C1e
3x cosx+ C2e
3x senx+
1
10
\u2212 cos(2x)
30
+
sen (2x)
15
.
3a Questa\u2dco: (2,5 pontos)
Uma part´\u131cula P1 se move ao longo da curva C1 definida por
\u3c31(t) = (t
2, t3) , t \u2208 IR
e uma part´\u131cula P2 se move ao longo da curva C2 definida por
\u3c32(t) = (cos(2t),
\u221a
2 cos2 t\u2212 1) , t \u2208 [0, pi/4].
1. Determine as equac¸o\u2dces cartesianas das curvas acima.
2. Esboce a trajeto´ria das part´\u131culas P1 e P2, separadamente, mostrando o sentido de
percurso em cada uma delas.
3. Determine as equac¸o\u2dces parame´tricas da reta tangente a` curva \u3c31, no ponto (4,8).
4. Em que pontos as trajeto´rias dos pontos P1 e P2 se cruzam? As part´\u131culas va\u2dco colidir?
Soluc¸a\u2dco
1. Como (t2)3 = (t3)2, a equac¸a\u2dco cartesiana de C1 e´ x
3 = y2.
Como
\u221a
2 cos2 t\u2212 1 =
\u221a
2
(
cos(2t) + 1
2
)
\u2212 1 =
\u221a
cos(2t), a equac¸a\u2dco cartesiana de C2
e´ y =
\u221a
x.
2. Esboc¸o das curvas
3. Temos \u3c31(t) = (4, 8) \u21d0\u21d2 t = 2. Como V (t) = \u3c3\u20321(t) = (2t, 3t2), o vetor tangente em
t = 2 e´ V (2) = (4, 12).
Equac¸o\u2dces parame´tricas da reta tangente: x(t) = 4 + 4t , y(t) = 8 + 12t, para
t \u2208 IR.
4. As trajeto´rias se cruzam quando x3 = y2 = x, isto e´, nos pontos (0, 0) e (1, 1). As
part´\u131culas na\u2dco colidem porque passam por estes pontos em valores distintos de t.
2
4a Questa\u2dco: (2,5 pontos)
Uma part´\u131cula partindo do ponto (0, 0, 1) se move com o vetor posic¸a\u2dco r(t) = (x(t), y(t), z(t))
e vetor velocidade V (t) = (\u22123z(t), 4, 3x(t)).
1. Determine o vetor posic¸a\u2dco r(t) = (x(t), y(t), z(t)).
2. Reconhec¸a a curva e fac¸a um esboc¸o da mesma indicando o sentido do percurso.
3. Determine a dista\u2c6ncia percorrida desde o instante t = 0 ao instante t = 2pi.
Soluc¸a\u2dco
1. (x\u2032(t), y\u2032(t), z\u2032(t)) = V (t) = (\u22123z(t), 4, 3x(t)) =\u21d2
x\u2032\u2032 = \u22123z\u2032 = \u22129x , y\u2032 = 4 e z\u2032\u2032 = 3x\u2032 = \u22129z.
As equac¸o\u2dces x\u2032\u2032 + 9x = 0 e z\u2032\u2032 + 9z = 0 tem soluc¸a\u2dco x(t) = A cos(3t) +B sen (3t)
e z(t) = C cos(3t) +D sen (3t), respectivamente.
A equac¸a\u2dco y\u2032 = 4 tem soluc¸a\u2dco y(t) = 4t+ E.
Como r(0) = (x(0), y(0), z(0)) = (0, 0, 1), enta\u2dco A = 0, E = 0 e C = 1.
Como V (0) = (\u22123z(0), 4, 3x(0)) = (\u22123, 4, 0) e
V (t) = (3B cos(3t), 4,\u22123 sen (3t) + 3D cos(3t)), enta\u2dco B = \u22121 e D = 0.
Vetor posic¸a\u2dco: r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (\u2212 sen (3t), 4t, cos(3t)).
2. Repare que x2 + z2 = 1 e a coordenada y(t) e´ linear no para\u2c6metro t. Logo a curva e´
uma he´lice partindo do ponto com coordenadas (0, 0, 1) sobre o eixo z, e enrolando-se
ao redor do eixo y, no sentido trigonome´trico, na direc¸a\u2dco do aumento de y.
3. A dista\u2c6ncia e´ dada por
\u222b 2pi
0
||V (t)|| dt =
\u222b 2pi
0
\u221a
9 + 16 dt = 10pi.
3