Processo_Poisson

Probabilidades e Estat´ıstica
2004/05
Algumas notas sobre Processo de
Poisson
LEIC, LERCI, LEE
Comecemos por ver o seguinte exemplo:
Exemplo: considere a transmissa˜o de n bits num canal de comunicac¸a˜o digital. Assuma que
na transmissa˜o podem ocorrer erros. Admita que:
• A probabilidade de um bit ser transmitido com erro e´ constante, e igual a p;
• A ocorreˆncia ou na˜o de erro na transmissa˜o dos bits e´ independente de bit para bit.
Nestas condic¸o˜es se Xn designar o nu´mero de bits, de entre n, transmitidos com erro,
decorre que
Xn ∼ Bin(n, p).
Seja λ = E[Xn] = np, donde
P (Xn = x) = (
n
x) p
x(1− p)n−x = (nx)
(
λ
n
)x(
1−
λ
n
)n−x
.
Admita que n aumenta e que p diminui, mas de forma a que np se mante´m constante, i.e., λ
mante´m-se constante. Enta˜o e´ poss´ıvel demonstrar que
lim
n→∞,p→0,np=λ
P (Xn = x) =
e−λλx
x!
, x ∈ IN0.
Posto isto podemos apresentar a distribuic¸a˜o Poisson, cuja func¸a˜o de distribuic¸a˜o se encontra
tabela (ver tabelas da pa´gina da cadeira).
Definic¸a˜o: uma varia´vel aleato´ria X diz-se ter distribuic¸a˜o de Poisson de paraˆmetro λ, X ∼
Poi(λ), se
P (X = x) =
e−λλx
x!
, x ∈ IN0.
Pode-se provar (fac¸a-o!) que nesta situac¸a˜o
E[X] = V ar[X] = λ.
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Este tipo de racioc´ınio e´ t´ıpico do utilizado em experieˆncias aleato´rias em que o horizonte (seja
ele temporal, a´rea, volume, etc) pode ser extendido, mantendo-se fixa a taxa a que os aconteci-
mentos ocorrem.
Definic¸a˜o: Dado um intervalo (de tempo, de a´rea, volume, etc) de nu´meros reais, assuma
que acontecimentos ocorrem de forma aleato´ria ao longo do intervalo. Seja N(s, t) o nu´mero de
acontecimentos que ocorrem no intervalo [s, t[, e N = {N(s, t), s ≤ t, s, t ∈ IR+}.
Se o intervalo puder ser dividido em subintervalos de amplitude arbitrariamente pequena,
com as seguintes propriedades:
(a) A probabilidade de ocorrer mais do que um acontecimento num subintervalo e´ nula;
(b) A probabilidade de ocorrer um acontecimento num dado subintervalo e´ igual a` probabil-
idade de outros subintervalos de igual amplitude, sendo a probabilidade proporcional a`
amplitude do subintervalo em questa˜o;
(c) A ocorreˆncia de acontecimentos em intervalos disjuntos e´ independente
enta˜o a contagem de acontecimentos N constitui um Processo de Poisson de taxa λ, onde λ e´ o
nu´mero esperado de acontecimentos por subintervalo de amplitude unita´ria (taxa), e
N(s, t) ∼ Poi((t− s)λ).
Exemplo A emissa˜o de part´ıculas por uma fonte radioactiva e´ feita segundo um processo de
Poisson. Sabendo que a probabilidade de na˜o ser emitida qualquer part´ıcula num intervalo de
tempo de amplitude unita´ria e´ 1/3, calcule:
(a) A probabilidade de que a fonte emita pelo menos 2 part´ıculas num intervalo de tempo de
amplitude unita´ria.
(b) A probabilidade de decorrerem pelo menos 3 unidades de tempo entre duas emisso˜es con-
secutivas de part´ıculas.
(exerc´ıcio 3.10 da colectaˆnea)
Resoluc¸a˜o: Seja N(s, t) o nu´mero de particulas emitidas no intervalo [s, t), com
N(s, t) ∼ Poi((t− s)λ)
onde λ e´ a taxa do processo.
Dado que P (N(0, 1) = 0) = 13 , e como P (N(0, 1) = 0) =
e−λλ0
0! = e
−λ, vem que λ = ln 3.
(a) P (N(0, 1) ≥ 2) = 1− P (N(0, 1) ≤ 1) = 1−
∑1
i=0
e− ln 3 ln 3i
i! = 0.3005.
(b) Note-se que o acontecimento
A = {decorrerem pelo menos 3 unidades de tempo entre duas emisso˜es consecutivas de part´ıculas}
e´ equivalente a que N(0, 3) = 0, sendo que N(0, 3) ∼ Poi(3 ln 3). Logo
P (A) = P (N(0, 3) = 0) =
e−3 ln 3(3 ln 3)0
0!
= 1/27.
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Refira-se ainda uma propriedade importante do processo de Poisson:
Filtragem de processos de Poisson: suponha que cada acontecimento de um processo
de Poisson N = {N(s, t), s ≤ t, s, t,∈ IR+0 } de taxa λ e´ registado com probabilidade p, inde-
pendentemente do instante em que ocorre o acontecimento e do nu´mero de acontecimentos. Se
Y (s, t) designar o nu´mero de acontecimentos registados no intervalo [s, t), enta˜o vem que
(Y (s, t)|N(s, t) = x) ∼ Bin(x, p), Y (s, t) ∼ Poi((t− s)λp)
pelo que, em particular Y = {Y (s, t), s ≤ t, s, t,∈ IR+0 } e´ um processo de Poisson de taxa λp.
Se ao exemplo anterior juntarmos a seguinte al´ınea:
(c) Suponha que cada part´ıcula emitida e´ registada com probabilidade 0.7, independentemente
umas das outras. Determine a probabilidade de serem registadas 2 part´ıculas no intervalo
de tempo [2, 4[.
Resoluc¸a˜o: seja Y (s, t) a v.a. que designa o nu´mero de part´ıculas registadas no intervalo
[s, t[. Dado que Y = {Y (s, t), s ≤ t, s, t,∈ IR+0 } e´ uma filtragem do processo de Poisson N , enta˜o
vem que Y (s, t) ∼ Poi(0.7(t − s) ln 3), pelo que
P (Y (2, 4) = 2) =
e−1.4 ln 3(1.4 ln 3)2
2
.
Finalmente em certas condic¸o˜es podemos aproximar a Binomial pela Poisson:
Aproximac¸a˜o Poisson da Binomial: seja X ∼ Bin(n, p), com n > 20 e p < 0.1. Enta˜o
FBin(n,p)(x) ≈ FPoi(np)(x)
(i.e., sob certas condic¸o˜es ditas de aproximac¸a˜o, a func¸a˜o de distribuic¸a˜o de uma Bin(n, p) pode
ser numericamente aproximada pela func¸a˜o de distribuic¸a˜o de uma Poi(np)).
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