prova_p2_calc2_2009_1_eng
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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de Matema´tica
Departamento de Me´todos Matema´ticos
2a Prova de Ca´lculo II - EE/EQ/IF- 2009/01
1a Questa\u2dco: (2,5 pontos) Seja S uma superf´\u131cie cuja equac¸a\u2dco cartesiana e´ x2 =
y2
4
+ z2.
(a) Determine algebricamente, identifique e esboce as curvas obtidas interceptando-
se S com os planos x = 0, x = ±1, y = 0, y = ±1, z = 0 e z = ±1.
(b) Utilize as informac¸o\u2dces do item (a) para esboc¸ar a superf´\u131cie S.
(c) Determine equac¸a\u2dco cartesiana do plano tangente a S em P0(
\u221a
2, 2,\u22121) e equac¸o\u2dces
parame´tricas da reta normal a S em P0.
2a Questa\u2dco: (2,5 pontos) Seja C uma curva obtida interceptando-se a superf´\u131cie
x2 + y2 + z2 \u2212 2y \u2212 6z + 9 = 0 com o plano y + z = 5.
(a) Determine uma parametrizac¸a\u2dco para a curva C.
(b) Determine equac¸o\u2dces parame´tricas da reta tangente a` curva C no ponto P0(
\u22121\u221a
2
, 3
2
, 7
2
).
(c) Utilize a fo´rmula integral para o comprimento de arco, para determinar o com-
primento da curva C.
3a Questa\u2dco: (2,5 pontos) Seja T (x, y, z) uma func¸a\u2dco diferencia´vel e suponha que
ela representa a temperatura em graus Celsius em cada ponto de uma sala (as
dimenso\u2dces x, y e z sa\u2dco medidas em metros). Suponha ainda que T possui as
seguintes propriedades: T (5, 4, 2) = 300, \u2202T
\u2202x
(5, 4, 2) = 30/m, \u2202T
\u2202y
(5, 4, 2) = \u221210/m e
\u2202T
\u2202z
(5, 4, 2) = 10/m. Uma mosca esta´ voando por esta sala.
(a) Se a posic¸a\u2dco da mosca em cada instante t (dado em segundos) for representada
pelo caminho x = t2 + 1, y = 2t, z = 10\u2212 t3, determine a taxa de variac¸a\u2dco da
temperatura em relac¸a\u2dco ao tempo neste caminho, no instante t = 2 segundos.
(b) Se a mosca estiver no ponto P0(5, 4, 2) e voar na direc¸a\u2dco definida pelo vetor
~v = (2, 1,\u22122), determine a taxa de variac¸a\u2dco da temperatura nesta direc¸a\u2dco. Se
a mosca escolher voar nesta direc¸a\u2dco, ela vai sentir mais ou menos calor do que
no ponto P0?
(c) Se a mosca escolher voar, a partir do ponto P0 do item (b), seguindo a direc¸a\u2dco
em que a temperatura decresce mais rapidamente, determine qual devera´ ser
esta direc¸a\u2dco.
4a Questa\u2dco: (2,5 pontos) Seja T (x, y, z) = 4+2x+4y+2z\u2212x2\u22122y2\u2212z2 a temperatura
no elipso´ide so´lido D = { (x, y, z) \u2208 IR3 , x2 + 2y2 + z2 \u2264 16 }.
(a) Determine os pontos cr´\u131ticos da func¸a\u2dco T (x, y, z) no interior de D.
(b) Utilize o me´todo dos multiplicadores de Lagrange para determinar os pontos
de temperatura ma´xima e m\u131´nima e o valor da temperatura ma´xima e m\u131´nima,
na fronteira de D (isto e´, na superf´\u131cie do elipso´ide so´lido).
(c) Utilize os resultados dos itens (a) e (b) para determinar os pontos de tem-
peratura ma´xima e m\u131´nima e o valor da temperatura ma´xima e m\u131´nima em
D.