prova_p2_calc2_2009_2_eng

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Universidade Federal Do Rio De Janeiro
Instituto de Matema´tica
Departamento de Me´todos Matema´ticos
2a Prova Unificada de Ca´lculo II
Escola Polite´cnica e Escola de Qu´ımica - 03/12/2009
1a Questa˜o: (2,5 pontos) Dada a func¸a˜o f(x, y) = cos x+ exy.
(a) Encontre todos os pontos da superf´ıcie gra´fico de f(x, y) onde o plano tangente e´
paralelo ao plano x− z = k, k ∈ IR.
(b) Ache uma equac¸a˜o para a curva de n´ıvel C de f que passa pelo ponto P = (pi
2
, 0) e
deˆ equac¸o˜es para as retas tangente e normal a` curva C no ponto P .
2a Questa˜o: Seja S a superf´ıcie de equac¸a˜o x2 − 2y2 + z2 − 2x+ 8y − 2z − 10 = 0.
(a) (0,5 pontos) Determine as curvas obtidas interceptando-se a superf´ıcie S com os
planos x = 1, y = 2 e z = 1.
(b) (1,0 ponto) Utilize as informac¸o˜es do item anterior para identificar e esboc¸ar a su-
perf´ıcie S.
(c) (1,0 ponto) Determine as equac¸o˜es do plano tangente e da reta normal a` superf´ıcie S
no ponto P = (2, 2 + 1√
2
, 3).
3a Questa˜o: (2,5 pontos) (a) Suponha que z = f(x, y) seja uma func¸a˜o diferencia´vel,
f(1, 3) = −1, fx(1, 3) = 4 e fy(1, 3) = −3. Sabe-se que a curva ~r(t) = 〈t2, 4t− 1, z(t)〉,
t ∈ IR, esta´ contida no gra´fico de z = f(x, y).
Calcule
~dr
dt
(1), isto e´, o vetor tangente a` curva para t = 1.
(b) Uma nave espacial esta´ no ponto P0 = (1, 1, 1), e a temperatura da blindagem da
espac¸onave e´ dada por T (x, y, z) = e−x
2−2y2−3z2 graus.
(i) Que direc¸a˜o (vetor unita´rio) ela deve tomar a partir de P0 para perder temperatura
o mais ra´pido poss´ıvel? Qual a taxa de variac¸a˜o da temperatura nesta direc¸a˜o?
(ii) Se a espac¸onave viaja a e8 unidades de comprimento por segundo, com que taxa (em
relac¸a˜o ao tempo) a temperatura ira´ diminuir quando ela seguir a direc¸a˜o do item (i)?
4a Questa˜o: Seja f(x, y, z) = 3x2 + 4xy + 6y2 + 4(z − 1)2 − 500 e W a esfera so´lida
definida por
W = {(x, y, z) ∈ IR3 : x2 + y2 + (z − 1)2 ≤ 125}.
(a) (0,5 pontos) Determine os pontos cr´ıticos de f(x, y, z) no interior de W .
(b) (1,5 pontos) Utilize o me´todo dos multiplicadores de Lagrange para determinar os
pontos de ma´ximo e mı´nimo e os valores ma´ximo e mı´nimo de f na fronteira de W (isto
e´, na superf´ıcie da esfera so´lida).
(c) (0,5 pontos) Utilize os resultados dos itens (a) e (b) para determinar os pontos de
ma´ximo e mı´nimo e os valores ma´ximo e mı´nimo de f(x, y, z) em W .