prova_p2_calc2_2009_2_eng
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Universidade Federal Do Rio De Janeiro
Instituto de Matema´tica
Departamento de Me´todos Matema´ticos
2a Prova Unificada de Ca´lculo II
Escola Polite´cnica e Escola de Qu´\u131mica - 03/12/2009
1a Questa\u2dco: (2,5 pontos) Dada a func¸a\u2dco f(x, y) = cos x+ exy.
(a) Encontre todos os pontos da superf´\u131cie gra´fico de f(x, y) onde o plano tangente e´
paralelo ao plano x\u2212 z = k, k \u2208 IR.
(b) Ache uma equac¸a\u2dco para a curva de n´\u131vel C de f que passa pelo ponto P = (pi
2
, 0) e
de\u2c6 equac¸o\u2dces para as retas tangente e normal a` curva C no ponto P .
2a Questa\u2dco: Seja S a superf´\u131cie de equac¸a\u2dco x2 \u2212 2y2 + z2 \u2212 2x+ 8y \u2212 2z \u2212 10 = 0.
(a) (0,5 pontos) Determine as curvas obtidas interceptando-se a superf´\u131cie S com os
planos x = 1, y = 2 e z = 1.
(b) (1,0 ponto) Utilize as informac¸o\u2dces do item anterior para identificar e esboc¸ar a su-
perf´\u131cie S.
(c) (1,0 ponto) Determine as equac¸o\u2dces do plano tangente e da reta normal a` superf´\u131cie S
no ponto P = (2, 2 + 1\u221a
2
, 3).
3a Questa\u2dco: (2,5 pontos) (a) Suponha que z = f(x, y) seja uma func¸a\u2dco diferencia´vel,
f(1, 3) = \u22121, fx(1, 3) = 4 e fy(1, 3) = \u22123. Sabe-se que a curva ~r(t) = \u3008t2, 4t\u2212 1, z(t)\u3009,
t \u2208 IR, esta´ contida no gra´fico de z = f(x, y).
Calcule
~dr
dt
(1), isto e´, o vetor tangente a` curva para t = 1.
(b) Uma nave espacial esta´ no ponto P0 = (1, 1, 1), e a temperatura da blindagem da
espac¸onave e´ dada por T (x, y, z) = e\u2212x
2\u22122y2\u22123z2 graus.
(i) Que direc¸a\u2dco (vetor unita´rio) ela deve tomar a partir de P0 para perder temperatura
o mais ra´pido poss´\u131vel? Qual a taxa de variac¸a\u2dco da temperatura nesta direc¸a\u2dco?
(ii) Se a espac¸onave viaja a e8 unidades de comprimento por segundo, com que taxa (em
relac¸a\u2dco ao tempo) a temperatura ira´ diminuir quando ela seguir a direc¸a\u2dco do item (i)?
4a Questa\u2dco: Seja f(x, y, z) = 3x2 + 4xy + 6y2 + 4(z \u2212 1)2 \u2212 500 e W a esfera so´lida
definida por
W = {(x, y, z) \u2208 IR3 : x2 + y2 + (z \u2212 1)2 \u2264 125}.
(a) (0,5 pontos) Determine os pontos cr´\u131ticos de f(x, y, z) no interior de W .
(b) (1,5 pontos) Utilize o me´todo dos multiplicadores de Lagrange para determinar os
pontos de ma´ximo e m\u131´nimo e os valores ma´ximo e m\u131´nimo de f na fronteira de W (isto
e´, na superf´\u131cie da esfera so´lida).
(c) (0,5 pontos) Utilize os resultados dos itens (a) e (b) para determinar os pontos de
ma´ximo e m\u131´nimo e os valores ma´ximo e m\u131´nimo de f(x, y, z) em W .