Lista de Exercícios de Probabilidade I

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Universidade Estadual do Ceará
PROBABILIDADE I
Prof. Jorge Luiz de Castro e Silva
LISTA 3 DE EXERCÍCIOS - NOVA
VARIÁVEL ALEATÓRIA – ESPERANÇA – VARIÂNCIA – DESVIO PADRÃO
A função P(x) = x/5, em que x assume os valores 0, 1, 2 e 3, define uma função de probabilidades? Justifique.
Encontre a média (, a variância (2 e o desvio padrão ( de cada uma das seguintes distribuições:
a) 						b)
	Xi
	2
	3
	8
	
	Xi
	-1
	0
	1
	2
	3
	P(Xi)
	1/4
	1/2
	1/4
	
	P(Xi)
	0,3
	0,1
	0,1
	0,3
	0,2
Um par de dados não viciados é lançado. Seja X a variável aleatória denotando o menor dos dois números observados. Encontre a distribuição de probabilidades de X.
Uma urna tem 4 bolas brancas e 3 pretas. Retiram-se 3 bolas sem reposição. Seja X: número de bolas brancas, determinar a distribuição de probabilidades de X.
Uma moeda não viciada é lançada 4 vezes. Seja X o número de caras que ocorrem. Encontre a distribuição, a média, a variância e o desvio padrão de X.
Dada a distribuição de probabilidades:
	X
	0
	1
	2
	3
	4
	5
	P(X)
	0
	A2
	A2
	A
	A
	A2
Ache A.
Calcule P(X ( 4). 
Calcule P(X ( 3).
Calcule P(|X – 3| < 2).
Duas cartas são selecionadas aleatoriamente de uma caixa que contém 5 cartas numeradas 1, 1, 2, 2 e 3. Seja X a soma e Y o máximo dos dois números obtidos. Encontre a distribuição, a média, a variância e o desvio padrão de: 
X
Y
As probabilidades de que haja 1, 2, 3, 4 ou 5 pessoas em cada carro que vá ao litoral num Sábado são, respectivamente 0,05; 0,20; 0,40; 0,25 e 0,10. Qual o número médio de pessoas por carro? SE chegam ao litoral 4000 carros por hora, qual o número esperado de pessoas em 10 horas de contagem?
Um produtor de sementes vende pacotes com 15 sementes cada um. O s pacotes que apresentam mais de duas sementes sem germinar são indenizados. A probabilidade de uma semente germinar é de 95%.
Qual a probabilidade de um pacote não ser indenizado?
Se o produtor vende 2000 pacotes, qual o número esperado de pacotes que serão indenizados?
Se um pacote é indenizado o produtor tem um prejuízo de R$ 24,50, e se o pacote não é indenizado, tem um lucro de R$ 50,40. Qual o lucro esperado por pacote?
Uma moeda é lançada até que seja observado uma cara ou quatro coroas, o que ocorrer primeiro. Encontre o número esperado de lançamentos da moeda.
Um caixa contém 10 transistores dos quais 2 são defeituosos. Um homem seleciona 3 objetos. Encontre o número esperado de objetos defeituosos selecionados.
A probabilidade do time A vencer qualquer jogo é 1/2. A joga com o time B num torneio. O primeiro time que ganhar dois jogos seguidos ou um total de três jogos, vence o torneio. Supondo que não exista a possibilidade de empate, encontre o número esperado de jogos do torneio.
Um jogador lança três moedas não viciadas. Ganha R$ 10,00 se 3 caras ocorrerem, R$ 5,00 se 2 caras ocorrerem, R$ 3,00 se 1 cara ocorrer e R$ 2,00 se nenhuma cara ocorrer. Supondo o jogo honesto, quanto poderia apostar?
Sendo P(X = x) = 0,5x, x = 1, 2, 3, ...., calcule E(X).
Uma turma de Estatística compreende 3 canhotos e 24 destros. Selecionam-se aleatoriamente dois estudantes diferentes para um projeto de coleta de dados, representando-se por X o número de estudantes canhotos escolhidos, calcule a média, a variância e o desvio padrão da variável aleatória X.
FUNÇÃO DE PROBABILIDADE CONJUNTA – COVARIÂNCIA – CORRELAÇÃO
Suponha que X e Y tenham a seguinte distribuição conjunta:
	X\Y
	-3
	2
	4
	1
	0,1
	1,2
	0,2
	3
	0,3
	0,1
	0,1
Encontre as distribuições de X e Y;
Calcule Cov (X; Y);
Determine ((X; Y);
X e Y são independentes?
Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes com as seguintes distribuições:
	X
	1
	2
	
	
	Y
	5
	10
	15
	
	P(X)
	0,6
	0,4
	
	
	P(Y)
	0,2
	0,5
	0,3
	
 Distribuição de X					Distribuição de Y
Encontre a distribuição conjunta de X e Y.
Uma moeda não viciada é lançada 3 vezes. Seja X igual a 0 ou 1, conforme ocorra cara ou coroa no primeiro lançamento, e seja Y o número de caras que ocorram. Determine:
as distribuições de X e Y;
a distribuição conjunta de X e Y;
Cov(X;Y).
Sejam X: renda familiar em R$ 1.000,00 e Y: N.º de aparelhos de TV em cores. Considere o quadro:
	X
	1
	2
	3
	1
	3
	2
	3
	1
	2
	3
	Y
	2
	1
	3
	1
	3
	3
	2
	1
	2
	3
Verificar, usando o coeficiente de correlação, se há dependência entre as duas variáveis;
Determinar a renda familiar média de quem possui 2 aparelhos de TV. Use a distribuição de probabilidades E(X/Y = 2).
20) Sejam X: renda familiar em R$ 1.000,00 e Y: número de carros da família. Considere o quadro:
	X
	2
	3
	4
	2
	3
	3
	4
	2
	2
	3
	Y
	1
	2
	2
	2
	1
	3
	3
	1
	2
	2
Calcule:
E(2X – 3Y)
Cov(X;Y)
Var(5X – 3Y)
(
Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 2 verdes. Dessa urna, retiram-se 2 bolas sem reposição. Sejam:
X = 0, se a primeira bola for verde, ou X = 1, se a primeira bola for vermelha; e Y = 0, se a segunda bola for verde, ou Y = 1, se segunda bola for vermelha.
Determinar a distribuição conjunta para X e Y.
Calcular E(X), E(Y), V(X) e V(Y).
Calcular E(X + Y) e V(X + Y).
d) Calcular o coeficiente de correlação de X e Y.
Suponha que (X,Y) tenha uma distribuição de probabilidade:
	X\Y
	1
	2
	3
	1
	1/18
	1/6
	0
	2
	0
	1/9
	1/5
	3
	1/12
	1/4
	2/15
Mostre que a tabela anterior é realmente uma distribuição de probabilidade.
Calcule E(X/Y = 2).
Calcule V(Y/X = 1)
a) Complete o quadro abaixo, supondo que X e Y são independentes.
b) Calcule a esperança de Y, dado que X = 2.
 c) Seja Z = 4X – 3Y, calcule E(Z) e V(Z). 
 d) Encontre a distribuição de Z e obtenha através da mesma os valores de E(Z) e V(Z) (observe que esses são os mesmos obtidos no item c).
Respostas:
Não, pois a soma das probabilidades é diferente de um.
a) ( = 4; (2 = 5,5; ( = 2,3
b) ( = 1; (2 = 2,4; ( = 1,5
3) 
	X
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	P(X)
	11/36
	9/36
	7/36
	5/36
	3/36
	1/36
	( = 2,5; (2 = 2,1; ( = 1,4
4) 
	X
	0
	1
	2
	3
	P(X)
	1/35
	12/35
	18/35
	4/35
5) 
	X
	0
	1
	2
	3
	4
	P(X)
	1/16
	4/16
	6/16
	4/16
	1/16
	( = 2; (2 = 1; ( = 1
6) a) 01
 b) 4/9
 c) 2/9
 d) 7/9
7) a) 
	X
	2
	3
	4
	5
	P(X)
	0,1
	0,4
	0,3
	0,2
	( = 3,6; (2 = 0,84; ( = 0,9
 b) 
	Y
	1
	2
	3
	P(Y)
	0,1
	0,5
	0,4
	( = 2,3; (2 = 0,41; ( = 0,64
8) 3,15 pessoas e 126.000 pessoas
9) a) 0,9638	b) 72,4	 c) R$ 47,69
10) 1,875
11) 0,6
12) 2,875
13) R$ 4,50
14) 02
15) ( = 0,222; (2 = 0,19; ( = 0,436
16) a) 
	X
	1
	3
	
	
	Y
	-3
	2
	4
	
	P(X)
	0,5
	0,5
	
	
	P(Y)
	0,4
	0,3
	0,3
	
b) –1,2		c) –0,4		d) Não, pois por exemplo, P(X = 1,Y = -3) ( P(X = 1).P(Y = -3)
17) 
	X\Y
	-3
	2
	4
	1
	0,1
	0,2
	0,2
	3
	0,3
	0,1
	0,1
18) a) 
	X
	0
	1
	
	
	Y
	0
	1
	2
	3
	P(X)
	1/2
	1/2
	
	
	P(Y)
	1/8
	3/8
	3/8
	1/8
b) 
	X\Y
	0
	1
	2
	3
	0
	0
	1/8
	2/8
	1/8
	1
	1/8
	2/8
	1/8
	0
c) –0,25
a) ( = 0,7113, há dependência linear entre X e Y
b) E(X/Y = 2) = 2
20) a) 0,1	b) 0,28		c) 10,01		d) 0,533
21) a)
	X\Y
	0
	1
	0
	1/10
	3/10
	1
	3/10
	3/10
b) 0,6; 0,6; 0,24 e 0,24 c) 1,2 e 0,36 d) –0,25
22) a) Todos os valores variam de 0 a 1 e a correspondente soma é 1
 b) 41/19 c) 3/16
23) a) Use p(xi,yj) = p(xi).p(yj), ( i, j 
 b) 3,3 c) –2,3 e 16,53