Por essa razão, vamos lançar mão apenas da fórmula do montante na solução de qualquer problema de juros simples e, por meio de operações algébricas básicas, encontrar as soluções para as várias situações práticas possíveis. Exemplo 1.4 Um capital de $ 500000.00 é aplicado a juros simples pelo período de 3 anos a uma taxa de juros anual de 12%. Obter os juros recebidos e o montante. P = 500000; iaa = 12%; S =?; J =? Aplicando a fórmula do montante, obtemos: S = 500000(1 + 0.12 × 3) = 680000. Sendo os juros dados por J = 500000 × 0.12 × 3 = 180000. Ou J = 680000 − 500000 = 180000. 5. Isso não vale para prazos intermediários, como ficará claro na seção sobre inconsistência de juros simples. Por isso a necessidade de prazo total. Matemática Financeira Moderna — Prova 5 — 10/12/2010 — Maluhy&Co. — página (local 7, global #21)i i i i i i i i Regimes de Capitalização 7 Exemplo 1.5 Uma aplicação rendeu, após 3 anos, o montante de $ 250000.00, a uma taxa de juros anual de 25%. Calcular o valor aplicado. S = 250000; iaa = 25%; n = 3; P =? Aplicando a fórmula do montante: 250000 = P(1 + 0.25 × 3) e isolando o valor de P, obtemos: P = S (1 + i × n) = 250000 (1 + 0.25 × 3) = 142857.14. Na dedução da fórmula do montante a juros simples, considerou-se que o período da taxa de juros é sempre igual ao de capitalização ou ao de pagamento de juros. Ou seja, se a taxa de juros é anual, então o período de capitalização também deve ser anual. Como decorrência, nessa fórmula, o número n de períodos pertence ao conjunto dos Números Naturais.⁶ No entanto, na maioria das situações práticas, o período da taxa de juros não coincide, necessariamente, com o de capitalização. Normalmente, a taxa de juros é sempre cotada ao ano, e necessitamos obter a taxa de juros equivalente para um subperíodo. Assim, para contemplar todas as situações em que o período da taxa de juros não coincide com o período de capitalização, na fórmula do montante, devemos considerar o número n de períodos como pertencente ao conjunto dos Números Racionais, ou seja, o conjunto dos números fracionários. Nos exemplos já apresentados, o período de capitalização sempre coincidiu com o da taxa de juros. Vejamos, agora, a situação em que o período da taxa de juros é maior que o período de capitalização. Exemplo 1.6 Suponha que $ 100.00 tenham sido aplicados por um período de 7 meses a uma taxa de juros de 12% ao ano, com capitalização mensal. Como calcular o montante ao final do sétimo mês de aplicação? Como o montante cresce linearmente com o tempo, a taxa de juros é linearmente proporcional ao tempo. Dessa forma, se a taxa de juros anual é 12%, a taxa de juros mensal será 1%, e a taxa acumulada ao final de 7 meses será 7%. Portanto, o montante, ao final de 7 meses, será dado por: P = 100; iam = 1%; n = 7. 6. Conjunto dos Números Naturais: N = {1, 2, 3, ..., n}. Matemática Financeira Moderna — Prova 5 — 10/12/2010 — Maluhy&Co. — página (local 8, global #22)i i i i i i i i 8 Matemática Financeira Moderna Assim: S = 100(1 + 0.01 × 7) = 100 + 7 = 107. Logo, sob o regime de juros simples, a taxa de juros de 1% ao mês é equivalente à taxa de juros de 12% ao ano. Assim, se aplicarmos $ 100.00 a uma taxa de juros anual de 12%, obteremos, após 12 meses de capitalização, $ 112.00. Logo, podemos escrever: iaa = 12 × iam ⇒ iam = iaa12 . Nota 1.5 Em juros simples, taxas proporcionais são sempre equivalentes. Podemos generalizar esse resultado observando que duas taxas de juros são ditas equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital, produzem o mesmo montante no mesmo período de tempo. Sendo it a taxa de juros referente a um determinado período, tal que t > k, k ∈ N; o número de períodos de capitalização contidos no período de tempo t; e ik a taxa de juros referente a cada período de capitalização, então pode-se escrever: (1 + it) = (1 + k × ik)⇒ it = k × ik e ik = itk . Exemplo 1.7 Calcular a taxa de juros mensal, bimestral e semestral, sabendo-se que a taxa de juros anual é 10%. iam = 0.10 12 = 0.83%; iab = 0.10 6 = 1.67%; ias = 0.10 2 = 5%. Exemplo 1.8 Calcular a taxa de juros bimestral, semestral e anual, sabendo-se que a taxa de juros mensal é 1.5%. iab = 0.015 × 2 = 3%. ias = 0.015 × 6 = 9%. iaa = 0.015 × 12 = 18%. Exemplo 1.9 Um capital de $ 200000.00 é aplicado a juros simples pelo período de 3 anos e meio, a uma taxa de juros anual de 12%. Obter os juros recebidos e o montante. Matemática Financeira Moderna — Prova 5 — 10/12/2010 — Maluhy&Co. — página (local 9, global #23)i i i i i i i i Regimes de Capitalização 9 P = 200000; n = 3.5 anos ou 42 meses; iaa = 12%; J =? Então, calcula-se iam = 0.12 12 = 0.01. Aplicando a fórmula do montante, obtemos: S = 200000(1 + 0.01 × 42) = 284000. Sendo os juros dados por J = 284000 − 200000 = 84000. 1.2.2 Capitalizac¸a˜o perio´dica a juros compostos Em juros compostos, a taxa de juros incide sobre o principal acrescido de juros, ou seja, os juros também rendem juros, e o montante cresce exponencialmente com o tempo, como em uma progressão geométrica. Considere um capital aplicado durante n períodos de capitalização, sendo i a taxa de juros por período. Por definição, podemos escrever: S = P + Jn, em que Jn representa os juros acumulados após n períodos. Ao final do 1-o período de capitalização, o montante será dado pela expressão: S 1 = P + iP = P(1 + i). A segunda parcela iP representa os juros referentes ao primeiro período. Supondo que a taxa de juros seja a mesma em todos os períodos subsequentes, o montante, ao final do 2-o período, será dado pela expressão: S 2 = P(1 + i) + i × P(1 + i) = P(1 + i)2. Note que os juros acumulados até o segundo período são P× i+ i×P(1+ i) = P× i (2 + i). E, naturalmente, tornam a fórmula bem mais complicada à medida que se acumulam mais períodos. De qualquer forma, repetindo a operação para os demais períodos, obtemos após n períodos: S ≡ S n = P(1 + i)n. (1.6) Nota 1.6 Pode-se observar que essa fórmula foi deduzida considerando o período da taxa de juros coincidente com o período de capitalização. Portanto, há um número inteiro de períodos de capitalização, isto é, n pertence ao conjunto dos números naturais. Matemática Financeira Moderna — Prova 5 — 10/12/2010 — Maluhy&Co. — página (local 10, global #24)i i i i i i i i 10 Matemática Financeira Moderna Da mesma forma que nos juros simples, pode-se expressar o valor presente como função do valor futuro, da taxa de juros e do período de capitalização: P = S (1 + i)n . A partir dessa fórmula, podemos construir um gráfico para ver qual a relação entre valor presente e taxa de juros, e comparar os resultados entre juros simples e compostos. Há duas perguntas a responder: primeira, o que acontece com o valor presente de um montante a ser recebido no futuro se a taxa de juros aumenta? Segunda, que tipo de capitalização desconta mais o mesmo valor presente, a capitalização a juros simples ou a capitalização a juros compostos? A Figura (1.1) mostra que, para n = 10 e S = $ 100, uma taxa de 5% representa um valor presente de $ 60, no caso de juros compostos; e um valor maior que esse, no caso de juros simples, representado pela linha tracejada. Disso se conclui que a capitalização composta à mesma taxa resulta num valor presente menor que a capitalização a juros simples. De fato, fixando qualquer outra taxa, pode-se ver que o valor presente gerado pelos juros simples é maior que o gerado pelos juros compostos. Figura 1.1 Valor presente capitalizado a juros simples e compostos: n = 10, S = 100. A linha tracejada representa juros simples; a cheia, juros compostos. Observa-se também que a relação entre valor presente e juros é inversa, decaindo conforme os juros aumentam. No gráfico, é possível ver, por exemplo, que a uma taxa de juros de 30% com capitalização composta, o montante de $ 100 vale algo menor que $ 10. Pelas fórmulas, é possível ver também que juros compostos e simples se equivalem quando n = 0 ou n = 1. Nota 1.7 Se fizéssemos o gráfico de P como