Sumário e Cap. 1

Por essa razão, vamos lançar mão
apenas da fórmula do montante na solução de qualquer problema de juros simples e,
por meio de operações algébricas básicas, encontrar as soluções para as várias situações
práticas possíveis.
Exemplo 1.4
Um capital de $ 500000.00 é aplicado a juros simples pelo período de 3 anos a uma taxa
de juros anual de 12%. Obter os juros recebidos e o montante.
P = 500000; iaa = 12%; S =?; J =?
Aplicando a fórmula do montante, obtemos:
S = 500000(1 + 0.12 × 3) = 680000.
Sendo os juros dados por
J = 500000 × 0.12 × 3 = 180000.
Ou
J = 680000 \u2212 500000 = 180000.
5. Isso não vale para prazos intermediários, como ficará claro na seção sobre inconsistência de juros simples. Por
isso a necessidade de prazo total.
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Regimes de Capitalização 7
Exemplo 1.5
Uma aplicação rendeu, após 3 anos, o montante de $ 250000.00, a uma taxa de juros anual
de 25%. Calcular o valor aplicado.
S = 250000; iaa = 25%; n = 3; P =?
Aplicando a fórmula do montante:
250000 = P(1 + 0.25 × 3)
e isolando o valor de P, obtemos:
P =
S
(1 + i × n) =
250000
(1 + 0.25 × 3) = 142857.14.
Na dedução da fórmula do montante a juros simples, considerou-se que o período da
taxa de juros é sempre igual ao de capitalização ou ao de pagamento de juros. Ou seja, se
a taxa de juros é anual, então o período de capitalização também deve ser anual. Como
decorrência, nessa fórmula, o número n de períodos pertence ao conjunto dos Números
Naturais.\u2076 No entanto, na maioria das situações práticas, o período da taxa de juros não
coincide, necessariamente, com o de capitalização. Normalmente, a taxa de juros é sempre
cotada ao ano, e necessitamos obter a taxa de juros equivalente para um subperíodo. Assim,
para contemplar todas as situações em que o período da taxa de juros não coincide com
o período de capitalização, na fórmula do montante, devemos considerar o número n de
períodos como pertencente ao conjunto dos Números Racionais, ou seja, o conjunto dos
números fracionários.
Nos exemplos já apresentados, o período de capitalização sempre coincidiu com o da
taxa de juros. Vejamos, agora, a situação em que o período da taxa de juros é maior que o
período de capitalização.
Exemplo 1.6
Suponha que $ 100.00 tenham sido aplicados por um período de 7 meses a uma taxa de
juros de 12% ao ano, com capitalização mensal. Como calcular o montante ao final
do sétimo mês de aplicação?
Como o montante cresce linearmente com o tempo, a taxa de juros é linearmente
proporcional ao tempo. Dessa forma, se a taxa de juros anual é 12%, a taxa de juros mensal
será 1%, e a taxa acumulada ao final de 7 meses será 7%. Portanto, o montante, ao final de
7 meses, será dado por:
P = 100; iam = 1%; n = 7.
6. Conjunto dos Números Naturais: N = {1, 2, 3, ..., n}.
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Assim:
S = 100(1 + 0.01 × 7) = 100 + 7 = 107.
Logo, sob o regime de juros simples, a taxa de juros de 1% ao mês é equivalente à taxa
de juros de 12% ao ano. Assim, se aplicarmos $ 100.00 a uma taxa de juros anual de 12%,
obteremos, após 12 meses de capitalização, $ 112.00. Logo, podemos escrever:
iaa = 12 × iam \u21d2 iam = iaa12 .
Nota 1.5
Em juros simples, taxas proporcionais são sempre equivalentes.
Podemos generalizar esse resultado observando que duas taxas de juros são ditas
equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital, produzem o mesmo montante no
mesmo período de tempo.
Sendo it a taxa de juros referente a um determinado período, tal que t > k, k \u2208 N; o
número de períodos de capitalização contidos no período de tempo t; e ik a taxa de juros
referente a cada período de capitalização, então pode-se escrever:
(1 + it) = (1 + k × ik)\u21d2 it = k × ik e ik = itk .
Exemplo 1.7
Calcular a taxa de juros mensal, bimestral e semestral, sabendo-se que a taxa de juros anual
é 10%.
iam =
0.10
12
= 0.83%; iab =
0.10
6
= 1.67%; ias =
0.10
2
= 5%.
Exemplo 1.8
Calcular a taxa de juros bimestral, semestral e anual, sabendo-se que a taxa de juros mensal
é 1.5%.
iab = 0.015 × 2 = 3%.
ias = 0.015 × 6 = 9%.
iaa = 0.015 × 12 = 18%.
Exemplo 1.9
Um capital de $ 200000.00 é aplicado a juros simples pelo período de 3 anos e meio, a
uma taxa de juros anual de 12%. Obter os juros recebidos e o montante.
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Regimes de Capitalização 9
P = 200000; n = 3.5 anos ou 42 meses; iaa = 12%; J =?
Então, calcula-se
iam =
0.12
12
= 0.01.
Aplicando a fórmula do montante, obtemos:
S = 200000(1 + 0.01 × 42) = 284000.
Sendo os juros dados por
J = 284000 \u2212 200000 = 84000.
1.2.2 Capitalizac¸a\u2dco perio´dica a juros compostos
Em juros compostos, a taxa de juros incide sobre o principal acrescido de juros, ou seja, os
juros também rendem juros, e o montante cresce exponencialmente com o tempo, como
em uma progressão geométrica. Considere um capital aplicado durante n períodos de
capitalização, sendo i a taxa de juros por período.
Por definição, podemos escrever:
S = P + Jn,
em que Jn representa os juros acumulados após n períodos.
Ao final do 1-o período de capitalização, o montante será dado pela expressão:
S 1 = P + iP = P(1 + i).
A segunda parcela iP representa os juros referentes ao primeiro período.
Supondo que a taxa de juros seja a mesma em todos os períodos subsequentes, o
montante, ao final do 2-o período, será dado pela expressão:
S 2 = P(1 + i) + i × P(1 + i) = P(1 + i)2.
Note que os juros acumulados até o segundo período são P× i+ i×P(1+ i) = P× i (2 + i).
E, naturalmente, tornam a fórmula bem mais complicada à medida que se acumulam mais
períodos. De qualquer forma, repetindo a operação para os demais períodos, obtemos após
n períodos:
S \u2261 S n = P(1 + i)n. (1.6)
Nota 1.6
Pode-se observar que essa fórmula foi deduzida considerando o período da taxa de
juros coincidente com o período de capitalização. Portanto, há um número inteiro
de períodos de capitalização, isto é, n pertence ao conjunto dos números naturais.
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10 Matemática Financeira Moderna
Da mesma forma que nos juros simples, pode-se expressar o valor presente como função
do valor futuro, da taxa de juros e do período de capitalização:
P =
S
(1 + i)n
.
A partir dessa fórmula, podemos construir um gráfico para ver qual a relação entre valor
presente e taxa de juros, e comparar os resultados entre juros simples e compostos. Há
duas perguntas a responder: primeira, o que acontece com o valor presente de um montante
a ser recebido no futuro se a taxa de juros aumenta? Segunda, que tipo de capitalização
desconta mais o mesmo valor presente, a capitalização a juros simples ou a capitalização a
juros compostos?
A Figura (1.1) mostra que, para n = 10 e S = $ 100, uma taxa de 5% representa um
valor presente de $ 60, no caso de juros compostos; e um valor maior que esse, no caso
de juros simples, representado pela linha tracejada. Disso se conclui que a capitalização
composta à mesma taxa resulta num valor presente menor que a capitalização a juros
simples. De fato, fixando qualquer outra taxa, pode-se ver que o valor presente gerado
pelos juros simples é maior que o gerado pelos juros compostos.
Figura 1.1 Valor presente capitalizado a juros simples e compostos: n = 10, S = 100. A linha
tracejada representa juros simples; a cheia, juros compostos.
Observa-se também que a relação entre valor presente e juros é inversa, decaindo
conforme os juros aumentam. No gráfico, é possível ver, por exemplo, que a uma taxa de
juros de 30% com capitalização composta, o montante de $ 100 vale algo menor que $ 10.
Pelas fórmulas, é possível ver também que juros compostos e simples se equivalem quando
n = 0 ou n = 1.
Nota 1.7
Se fizéssemos o gráfico de P como