prova_p2_gab_calc2_2011_2_eng
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1a Questa\u2dco (2,5 pontos):
Seja z = f(x, y) uma func¸a\u2dco diferencia´vel em IR2.
i. Se o plano tangente ao gra´fico de f no ponto (1,\u22121, 2) e´ dado por
x\u2212 y + 2z = 6,
encontre \u2207f(1,\u22121).
ii. Sejam
x = x(s, t) = es+tet, y = y(s, t) = s+t\u22121, G(s, t) = f(x(s, t), y(s, t)).
Usando o item i, calcule \u2207G(0, 0).
iii. Determine a direc¸a\u2dco na qual a taxa de variac¸a\u2dco de f no ponto (1,\u22121)
e´ a maior poss´\u131vel. Determine esta taxa de variac¸a\u2dco.
Resoluc¸a\u2dco:
i. Escrevendo o plano tangente ao gra´fico de f no ponto (1,\u22121, 2) na
forma
z \u2212 2 = \u22121
2
(x\u2212 1) + 1
2
(y + 1),
obtemos \u2207f(1,\u22121) =
(
\u22121
2
,
1
2
)
.
ii. Como
x = x(s, t) = es + tet, y = y(s, t) = s+ t\u2212 1, f(x, y)
sa\u2dco func¸o\u2dces diferencia´veis,
G(s, t) = f(x(s, t), y(s, t))
e´ diferencia´vel. Usando a regra da cadeia obtemos;{
Gs(s, t) = fx(x, y)xs(s, t) + fy(x, y)ys(s, t),
Gs(s, t) = fx(x, y)xs(s, t) + fy(x, y)ys(s, t),
Do item i, obtemos \uf8f1\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f3
fx(1,\u22121) = \u221212 ,
fy(1,\u22121) = 12 .
Por outro lado, xs(0, 0) = ys(0, 0) = xt(0, 0) = yt(0, 0) = 1, isto nos
da´ \u2207G(0, 0) = (0, 0)
1
iii. A maior taxa de variac¸a\u2dco de f no ponto (1,\u22121) e´ dada na direc¸a\u2dco
do vetor gradiende de f , isto e´ \u2207f(1,\u22121) =
(
\u22121
2
,
1
2
)
. Esta taxa de
variac¸a\u2dco e´ |\u2207f(1,\u22121)| =
\u221a
2
2
.
2a Questa\u2dco (2,5 pontos):
Determine os pontos em que a func¸a\u2dco abaixo e´ cont´\u131nua:
f(x, y, z) =
\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f3
sin2
(
z
x2 + y2 + z2
)
y4x2
(x2 + y2 + z2)2
, se (x, y, z) 6= (0, 0, 0),
0, se (x, y, z) = (0, 0, 0).
Resoluc¸a\u2dco: Se (x, y, z) 6= (0, 0, 0) a func¸a\u2dco f(x, y, z) e´ a composic¸a\u2dco de
func¸o\u2dces cont´\u131nuas e portanto e´ ela continua.
No caso (x, y, z) 6= (0, 0, 0) usaremos o teorema do confronto, para isto
observe que:
0 \u2264 f(x, y, z) = sin2
(
z
x2 + y2 + z2
)
y2
x2 + y2 + z2
x2
x2 + y2 + z2
y2 \u2264 y2
A ultima desigualdade prove´m do fato que y2 \u2264 x2 + y2 + z2 e x2 \u2264
x2 + y2 + z2. Logo tamando o limite obtemos:
lim
(x,y,z)\u2212\u2192(0,0,0)
f(x, y, z) = 0 = f(0, 0, 0)
Portanto a func¸a\u2dco e´ cont´\u131nua.
3a Questa\u2dco (2,5 pontos):
Mostre que o valor ma´ximo de a2b2c2 sobre uma esfera de raio r centrada
na origem de um sistema de coordenadas cartesianas (a, b, c) e´ (r2/3)3.
Usando este fato, prove que, para nu´meros na\u2dco negativos a, b e c,
(abc)1/3 \u2264 a+ b+ c
3
.
2
Resoluc¸a\u2dco: Queremos maximizar a func¸a\u2dco f(a, b, c) = a2b2c2 sujeito a`
condic¸a\u2dco g(a, b, c) = a2 + b2 + c2 \u2212 r2 = 0. Veja que f e g sa\u2dco func¸o\u2dces de
classe C\u221e. Ale´m disso, \u2207g(a, b, c) 6= (0, 0, 0) para os pontos (a, b, c) tais
que g(a, b, c) = 0. Portanto, existe um nu´mero \u3bb tal que, nos pontos onde
g(a, b, c) = 0 e f assume um extremo, tem-se:
\u2207f(a, b, c) + \u3bb\u2207g(a, b, c) = (0, 0, 0)
com g(a, b, c) = 0.
Isto e´: \uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f3
ab2c2 + \u3bba = 0,
a2bc2 + \u3bbb = 0,
a2b2c+ \u3bbc = 0,
a2 + b2 + c2 = 0.
Multiplicando as trE\u2c6s primeiras equac¸o\u2dces por a, b e c respectiva´mente,
obtemos:
3x2y2z2 + \u3bbr2 = 0
. Substituindo este valor de lambda nas primeiras tre\u2c6s equac¸o\u2dces e obser-
vando que se ou a = 0, b = 0 ou c = 0, f assumiria um valor minimo,
obteremos que
a = b = c = ± r\u221a
3
e o ma´ximo de f e´ enta\u2dco: f
(
± r\u221a
3
,± r\u221a
3
,± r\u221a
3
)
=
(
r2
3
)3
Logo para f(a, b, c) \u2264
(
r2
3
)3
para os pontos (a, b, c) tais que a2+b2+c2 =
r2, isto mostra que:
a2b2c2 \u2264
(
a2 + b2 + c2
3
)3
Concluimos enta\u2dco que para nu´mero na\u2dco negativos, obtemos:
(abc)1/3 \u2264 a+ b+ c
3
4a Questa\u2dco (2,5 pontos):
Estude os pontos cr´\u131ticos da func¸a\u2dco
f(x, y) = (x2 \u2212 3)e\u2212(x2+y2),
detalhando, se poss´\u131vel, quais sa\u2dco os pontos de ma´ximo local, m\u131´nimo local
e de sela.
3
Resoluc¸a\u2dco: Vamos primeiro encontrar os pontos cr´\u131ticos de f . Calcu-
lando o gradiente da func¸a\u2dco f(x, y) = (x2 \u2212 3)e\u2212(x2+y2) obtemos:
\u2207f(x, y) = ( 2x(4\u2212 x2),\u22122y(x2 \u2212 3) )e\u2212(x2+y2).
Igualando a primeira coordenada a zero, obtemos que x = 0,±2. De
maneira similar, igualando a segunda coordenada a zero, obtemos x =
±\u221a3 ou y = 0. Mas como x = ±\u221a3 na\u2dco zera a primeira coordenada, os
u´nicos pontos cr´\u131ticos de f sa\u2dco (0, 0), (2, 0) e (\u22122, 0).
Para classificar os pontos cr´\u131ticos vamos usar o teste da derivada segunda.
Precisamos calcular
H(x, y) =
\u22022f
\u2202x2
(x, y)
\u22022f
\u2202y2
(x, y)\u2212
(
\u22022f
\u2202x\u2202y
(x, y)
)2
nos pontos cr´\u131ticos. Usando que\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
\u22022f
\u2202x2
(x, y) = 2(2x4 \u2212 11x2 + 4)e\u2212(x2+y2)
\u22022f
\u2202y2
(x, y) = 2(x2 \u2212 3)(2y2 \u2212 1)e\u2212(x2+y2)
\u22022f
\u2202x\u2202y
(x, y) = 4xy(x2 \u2212 4)e\u2212(x2+y2)
temos H(0, 0) = 48, H(2, 0) = H(\u22122, 0) = 32e\u22128. Finalmente, como
\u22022f
\u2202x2
(0, 0) = 8 > 0,
\u22022f
\u2202x2
(2, 0) =
\u22022f
\u2202x2
(\u22122, 0) = \u221216e\u22124 < 0, podemos
afirmar que (0, 0) e´ um ponto de m\u131´nimo local e (±2, 0) sa\u2dco pontos de
ma´ximo local.
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