prova_pf_calc2_2009_1_eng
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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto deMatema´tica
Departamento de Me´todos Matema´ticos
www.dmm.im.ufrj.br
Prova Final Unificada de Ca´lculo II
Escola Polite´cnica, Escola de Qu´\u131mica e Instituto de F´\u131sica
25/06/2009
1a Questa\u2dco: (2,0 pontos) (a) Determine a soluc¸a\u2dco geral y(x) da equac¸a\u2dco diferencial de primeira ordem
y\u2032 + y = 3ex.
(b) Determine a soluc¸a\u2dco geral y(x) da equac¸a\u2dco diferencial de segunda ordem
y\u2032\u2032 + y = 0.
(c) Determine uma soluc¸a\u2dco particular da equac¸a\u2dco diferencial
y\u2032\u2032 + y = 8 cos(3x)\u2212 2 sen (x).
(d) Utilize os itens (b) e (c) para determinar a soluc¸a\u2dco do problema de valor inicial\uf8f1\uf8f2\uf8f3 y
\u2032\u2032 + y = 8 cos(3x)\u2212 2 sen (x)
y(pi/2) = \u22121, y\u2032(pi/2) = \u22123.
2a Questa\u2dco: (2,0 pontos) Considere uma populac¸a\u2dco P (t) de bacte´rias, com o tempo t medido em dias
e taxa de natalidade igual a \u3b1. Suponha que a taxa de variac¸a\u2dco da populac¸a\u2dco em relac¸a\u2dco ao tempo e´
igual ao produto da taxa de natalidade pela populac¸a\u2dco existente.
(a) Supondo \u3b1 constante, determine a populac¸a\u2dco P (t).
(b) Utilizando o item (a) e supondo que uma populac¸a\u2dco inicial dobra em oito dias, determine a constante
\u3b1.
(c) Supondo \u3b1(t) = \u22121 + cos t. sen t, determine a populac¸a\u2dco P (t).
(d) Utilizando o item (c) e supondo que a populac¸a\u2dco inicial e´ o quadrado da populac¸a\u2dco em oito dias,
determine a populac¸a\u2dco inicial.
3a Questa\u2dco: (3,0 pontos) Seja a func¸a\u2dco f(x, y) =
1\u221a
3
\u221a
42\u2212 9x2 \u2212 4y2.
(a) Determine a equac¸a\u2dco cartesiana do plano tangente ao gra´fico da func¸a\u2dco f(x, y) no ponto P0 = (
1
3
, 2,
5\u221a
3
).
(b) Seja F (s, t) = f(
1
3
s2 \u2212 t, 2se3t). Utilize a regra da cadeia para determinar a taxa de variac¸a\u2dco de
F (s, t), no ponto P1 = (1, 0), na direc¸a\u2dco do vetor ~u = ( 1\u221a2 ,
1\u221a
2
).
(c) Determine a equac¸a\u2dco cartesiana da curva de n´\u131vel C, da func¸a\u2dco f(x, y), que conte´m o ponto
P2 = (1,
3
\u221a
3
2
).
(d) Determine as equac¸o\u2dces parame´tricas da reta normal a` curva C do item (c) no ponto P2.
4a Questa\u2dco: (3,0 pontos) Sejam as superf´\u131cies S1 : z = x2+ y2, S2 : 2x+ y+ z = 10 e seja C a curva
obtida interceptando-se S1 com S2.
(a) Determine e identifique as curvas obtidas interceptando-se S1 com os planos x = k, y = k, z = k
(k constante real) e utilize para identificar e esboc¸ar S1.
(b) Utilize o me´todo dos multiplicadores de Lagrange para determinar as dista\u2c6ncias ma´xima e m\u131´nima
de C ao plano xy.
(c) Determine as equac¸o\u2dces parame´tricas da curva C.
(d) Determine equac¸o\u2dces parame´tricas da reta tangente a` curva C no ponto P0 que esta´ mais pro´ximo
do plano xy.