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Calculo II - resumo com exerc-cios

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA 
DO RIO GRANDE DO SUL 
FACULDADE DE MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Francisco Leal Moreira 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2004/2 
 
SUMÁRIO 
1. INTEGRAL INDEFINIDA .............................................................................................................................................1 
1.1. EXERCÍCIOS DE REVISÃO .................................................................................................................................1 
1.2. RESPOSTAS .............................................................................................................................................................2 
2. INTEGRAÇÃO POR PARTES .....................................................................................................................................3 
2.1. RESPOSTAS.............................................................................................................................................................3 
3. INTEGRAL DEFINIDA .................................................................................................................................................4 
3.1. PROPRIEDADES BÁSICAS ................................................................................................................................4 
3.2. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL DEFINIDA ..............................................................5 
3.3. ÁREA ENTRE DUAS CURVAS..........................................................................................................................6 
3.4. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS .................................................................................................................................7 
3.4. RESPOSTAS.............................................................................................................................................................7 
4. CÁLCULO SOMATÓRIO.............................................................................................................................................8 
4.1. NÚMERO DE PARCELAS DO SOMATÓRIO .................................................................................................8 
4.2. PROPRIEDADES DO SOMATÓRIO .................................................................................................................9 
4.3. PRINCÍPIO DA INDUÇÃ O FINITA(PIF) ........................................................................................................11 
4.4. SOMATÓRIO DUPLO .........................................................................................................................................12 
4.5. RESPOSTAS...........................................................................................................................................................13 
5. SEQÜÊNCIAS E SÉRIES ............................................................................................................................................14 
5.1. INTRODUÇÃO......................................................................................................................................................14 
5.2. SEQÜÊNCIAS INFINITAS.................................................................................................................................14 
5.3. LIMITE DE UMA SEQÜÊNCIA ........................................................................................................................15 
5.4. SÉRIES INFINITAS..............................................................................................................................................15 
5.5. SOMA DE UMA SÉRIE.......................................................................................................................................17 
5.6. SÉRIES GEOMÉTRICAS....................................................................................................................................17 
5.7. PROPRIEDADES DAS SÉRIES .........................................................................................................................18 
5.8. TESTE DA DIVERGÊNCIA ...............................................................................................................................19 
5.9. TESTE DA INTEGRAL .......................................................................................................................................19 
5.10. SÉRIE-P..................................................................................................................................................................19 
5.11. TESTE DA COMPARAÇÃO DO LIMITE......................................................................................................20 
5.12. SÉRIES ALTERNADAS.....................................................................................................................................20 
5.13. TESTE DE LEIBNIZ............................................................................................................................................20 
5.14. CONVERGÊNCIA ABSOLUTA E CONVERGÊNCIA CONDICIONAL..............................................21 
5.15. TESTE DA RAZÃO.............................................................................................................................................21 
5.16. SÉRIES DE POTÊNCIAS...................................................................................................................................22 
5.17. INTERVALO DE CONVERGÊNCIA ..............................................................................................................22 
5.18. FUNÇÕES DEFINIDAS POR SÉRIES DE POTÊNCIAS............................................................................23 
5.19. DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO DE SÉRIES DE POTÊNCIAS................................................................24 
5.20. SÉRIES DE TAYLOR .........................................................................................................................................24 
5.21. RESPOSTAS .........................................................................................................................................................26 
6. OS CONJUNTOS 
2
 E 
3
 ................................................................................................................................27 
6.1. O CONJUNTO 
2
 ...........................................................................................................................................27 
6.2. O CONJUNTO 
3
 ............................................................................................................................................27 
7. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS......................................................................................................................28 
7.2. CURVAS DE NÍVEL............................................................................................................................................29 
7.3. RESPOSTAS...........................................................................................................................................................30 
8. DERIVADAS PARCIAIS............................................................................................................................................31 
8.1. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DAS DERIVADAS PARCIAIS.......................................................31 
8.2. DERIVADAS PARCIAIS DE SEGUNDA ORDEM ......................................................................................32 
8.3. HESSIANO .............................................................................................................................................................328.4. RESPOSTAS...........................................................................................................................................................33 
9. MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS.....................................................................34 
9.1. PONTO CRÍTICO DE UMA FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS................................................................35 
9.2. CRITÉRIO PARA CARACTERIZAÇÃO DE PONTOS EXTREMANTES ..............................................35 
9.3. MÁXIMOS E MÍNIMOS CONDICIONADOS................................................................................................36 
9.4. RESPOSTAS...........................................................................................................................................................37 
10. BIBLIOGRAFIA ..........................................................................................................................................................38 
 
 
 1 
1. INTEGRAL INDEFINIDA 
 
 
 DERIVAÇÃO 
 
 
 
 
 F F’= f 
 
 
 
 
 PRIMITIVAÇÃO 
 
1.1. EXERCÍCIOS DE REVISÃO 
 
E1) Encontre: 
 
 1) 2dx1)(2x 3ò - 2) xdx2.1x 2ò - 3) xdx)4x3( 52ò + 
 
 4) ò
- 2x5
xdx 5) ò - 4)x1(
dx 6) ò + 32 2)(x
xdx 
 
 7) ò
-3 2x3
xdx 8) ò - 12x
dx
 9) ò + 53)(2x
dx 
 
 10) dx
x
3
x2
5
e3 2
xò ÷ø
ö
ç
è
æ
+- 11) ò - dxe 1x3 12) ò + 1x
dxx
3
2
 
 
 13) ò -1xe
dx2
 14) ò - 2x4
dx
 15) ò + dxxe3 3
2x 
 
 16) ò + 10x
xdx20
2
 17) dxe5 2
x
ò 18) ò xe
dx
 
 
 19) ò + dxe)2e( x25x2 20) ò xdx3cos 21) ò xdx5sen 
 
 22) ò + dx)1x3cos( 23) ò dxxcosx2 2 24) ò + dx)x4x2(senx 32 
 
 25) ò xdxcose xsen 26) ò xdxcos)x(sen 5 27) xdxcos.xsenò 
 
 28) ò - 3)xcos5(
xdxsen 
 
 
 
 2 
1.2. RESPOSTAS 
 
 
E1) 1) k
4
)1x2( 4
+
-
 2) k
3
)1x(2 32
+
-
 3) k
36
)4x3( 62
+
+ 
 
 4) – kx5 2 +- 5) k
)x1(3
1
3
+
-
 6) k
)2x(4
1
22
+
+-
 
 
 7) k
4
)x3(33 22
+
--
 8) k1x2 +- 9) k
)3x2(8
1
4
+
+
- 
 
 10) k
x
3
|x|ln
2
5
e3 x +-- 11) k
3
e 1x3
+
-
 12) k|1x|ln
3
1 3 ++ 
 
 13) k
e
2
1x
+-
-
 14) k|2x4|ln
4
1
+- 15) k
2
e3 3x
2
+
+
 
 
 16) 10ln(x2 +10) + k 17) 10 ke 2
x
+ 18) k
e
1
x
+- 
 
 19) k
12
)2e( 6x2
+
+
 20) k
3
x3sen
+ 21) k
5
x5cos
+- 
 
 22) k
3
)1x3(sen
+
+
 23) sen x2 + k 24) kx
6
x2cos 4
3
++- 
 
 25) esen x+ k 26) k
6
xsen6
+ 27) k
3
xsen2 3
+ 
 
 28) k
)xcos5(2
1
2
+
-
- 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3 
2. INTEGRAÇÃO POR PARTES 
 
 
 Sabemos que [ f (x).g(x) ]’ = f(x).g’(x) + g(x).f ’(x) ou f(x).g’(x) = [ f(x) . g(x) ]’ – g (x). f ’(x) 
 
Integrando ambos os membros dessa equação , obtemos ò ò-= dx)x('f).x(g)x(g)x(fdx)x('g).x(f 
 
 Fazendo f(x) = u e g(x) = v, vem: 
 
 ò ò-= du.vv.udv.u 
 
 
E1)Calcule : 
 
 
1) ò dxxe x 2) ò xdxsenx 3) ò xdxln 
 
4) ò - xdxcos)1x2( 5) ò dxxlnx 6) ò dxxlnx2 
 
7) ò dxxsecx 2 8) ò + xdx2cos)1x( 9) ò xdx3lnx 
 
10) ò dxxe x4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.1. RESPOSTAS 
 
 
E1) 1) xex – ex + k 2) – xcos x + sen x + k 3)xln x – x + k 
 
 
 4) (2x – 1)sen x + 2cos x + k 5) k
9
x4
xln
3
x2 33
+- 6) k
9
x
3
xlnx 33
+- 
 
 7) xtg x + ln | cos x | + k 8) k
4
x2cos
2
x2sen)1x(
++
+
 9) k
4
x
2
x3lnx 22
+- 
 
10) k
16
e
4
xe x4x4
+- 
 
 4 
3. INTEGRAL DEFINIDA 
 
 
 Seja f uma função e F uma primitiva de f. A integral definida de f de a até b é o núme ro real 
 
 representado por ò
b
a
f(x)dx e calculado por F(b) - F(a). 
 
 ò
b
a
f(x)dx = ba[F(x)] = F(b) - F(a) 
 
 
E1) Calcule: 
 
 1) dxx
3
0
2ò 2) dxx)(1
41
1ò- - 
 
 
3.1. PROPRIEDADES BÁSICAS 
 
a) ò
a
a
f(x)dx = 0 
 
b) ò
b
a
f(x)dx = - ò
a
b
f(x)dx 
 
c) ò
b
a
c.f(x)dx = c. ò
b
a
f(x)dx , sendo c uma constante 
 
d) ò ±
b
a
g(x)]dx[f(x) = ò
b
a
f(x)dx ± ò
b
a
g(x)dx 
 
e) ò
b
a
f(x)dx = ò
c
a
f(x)dx + ò
b
c
f(x)dx , com a < c < b 
 
f) ò
b
a
f(x)dx ³ 0, se f(x) ³0, Î"x [a,b] 
 
 
E2)Calcule: 
 
 1) ò +-
1
0
34 dx)1x3x( 2) ò- -+-
0
1
25 dx)1x2x3x3( 3) ò ++
5
2
2 du)u3u22( 
 
 4) dt
t
1
t
9
1ò ÷÷ø
ö
ç
ç
è
æ
- 5) ò
2
0
2 1)dx -(x x 6) ò
+1
2 2t
1t
dt 
 
 7) ò
2
1
5 dx4) -(2x 8) ò
2
4
4 dx6) -(2x 9) ò +
1
0
32 dx 1) 8x(x 
 
 5 
10) ò
+
4
0 16u
1
du 11) ò +
2
1 23
2
)1x(
x
 dx 12) du12uu)uu( 24
1
0
3 +++ò 
 
13) ò- -
3
2
dx|1x| 14) ò +-
2
0 2 96xx
dx
 15) ò
0
1- x-1
dx
 
 
16) dx
2
|x|
x
1
1ò- ÷ø
öç
è
æ
- 17) ò- -
5
2
dt|42t| 18) ò
-3
1
34
x
xx
 dx 
 
 
 
3.2. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL DEFIN IDA 
 
 
 Seja f uma função continua em [a,b] com f(x) ³ 0, Î"x [a,b]. 
 
 Vamos calcular a área da região situada entre o gráfico de f e o eixo das abscissas de a até b. 
 y f 
 
 f(x+ ? x ) 
 A1 A2 
 f(x) 
 A3 
 
 A ? A 
 
 0 a x x + ? x b x 
 
 A é a área da região hachurada, ? A é o acréscimo que sofre a área A quando x recebe um acréscimo ? x . 
 
 A3 £ ( A2 + A3 ) £ (A1 + A2 + A3 ) Û f(x). ? x £ ? A £ f(x + x). ? x Þ f(x) £ 
? x
? A £ f(x + ? x ) 
 
 
0x
lim
®D
f(x) £
0
lim
®Dx ? x
? A
£ 
0x
lim
®D
f(x + ? x ) Û f(x) £
0
lim
®Dx ? x
? A
£ f(x ) Þ
0
lim
®Dx ? x
? A
 = f(x) Û A’ = f(x) 
 
 Então A é uma primitiva de f(x) , logo A = F(x) + k. 
 
 Para x = a, A = 0 e k = -F(a), logo A = F(x) - F(a) 
 
 Para calcular a área de a até b basta tomar x = b. 
 
 Para x = b, A = F(b) - F(a) = ò
b
a
f(x)dx 
 
 
 Se f é uma função continua e não negativa em [a,b], o número ò
b
a
f(x)dx representa a área da região 
 limitada pelo gráfico de f, pelo eixo Ox e pelas retas verticais x = a e x = b. 
 
 
 
 6 
 y 
 
 f 
 
 
 
 R 
 
 
 0 a b x 
 
 AR = ò
b
a
f(x)dx 
 
 
 
3.3. ÁREA ENTRE DUAS CURVAS 
 
 Sejam f e g funções continuas em [a,b] , com f(x) ³ g(x) , Î"x [a,b]. Se R é a região limitada pelos 
 
 gráficos de f, g, x=a e x=b então AR = ò
b
a
g(x)]dx-[f(x) 
 
 y 
 
 f 
 
 R 
 g 
 
 
 0 a b x 
 
 
E3)Calcule a área da região limitada por: 
 
1) y=-x2 + 4 e y=0 
 
2) y=x2 – 4, y=0, x=-1 e x=2 
 
3) y=x, y=0, x=-2 e x=1 
 
4) y=x2 – 1 e y=3 
 
5) y=x2 + 1, y=2x - 2, x=-1 e x=2 
 
6) y=x3, y=-x + 2 e y=0 
 
7) y= x e y=x2 
 
 8) y=x e y=x3 
 
 
 
 7 
 
3.4. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS 
 
 A integral imprópria de f sobre o intervalo ),a[ +¥ é definida por òò ¥®
¥
=
t
ata
dx)x(flimdx)x(f . 
 
 Se o resultado é um número real, dizemos que a integral imprópria converge. 
 
 Se o limite não existe ou é infinito, dizemos que a integral imprópria diverge. 
 
 
E4) Determine se cada integral abaixo converge ou diverge. No caso de convergência, ache seu valor. 
 
 1) ò
¥
1 3x
dx
 2) ò
¥
1 x
dx 3) ò
¥
1 x
dx
 4) ò
¥
0 x
2
dx
e
x
3
 5) ò
¥
+0 3
2
dx
1x
x
 
 
 
 
 
 
3.4. RESPOSTAS 
 
E1) 1) 9 2) 
5
32 
 
E2) 1) 
20
9 2)
2
7
- 3) 144 4)
3
40 5) 
3
4 6) 2ln
2
1
-- 7) 
3
16
- 8)
5
32
- 9) 15 
 
10) 
3
4 . 11)
54
7 12)
6
7 13)
2
13
 14)
3
2 15) 222 - 16)
2
1
- 17) 25 18)
3
34 
 
E3) 1) 
3
32
 2) 9 3) 
2
5
 4)
3
32
 5) 9 6)
4
3
 7)
3
1
 8)
2
1
 
 
E4) 1) Converge, 1/2 2) Diverge 3) Diverge 4) Converge, 1/3 5) Diverge 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 8 
4. CÁLCULO SOMATÓRIO 
 
 Consideremos a seguinte soma indicada : 0 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + ... + 100 
 
 Podemos observar que cada parcela é um número par e portanto pode ser representada pela forma 2n, 
neste caso, com n variando de 0 a 50. Esta soma pode ser representada abreviadamente por: å
=
50
0n
n.2 que se 
lê: “somatório de 2n com n variando de 0 a 50”. 
 
 A letra å que é o esse maiúsculo grego (sigma) é denominada sinal de somatório e é usada para 
 
indicar uma soma de várias parcelas. 
 
 Seja {a1, a2, a3, ..., an} um conjunto de n números reais, o símbolo å
=
n
1i
ia representa a sua soma, 
 isto é, å
=
n
1i
ia = a1 + a2 + a3 + ... + an. 
 
 Em å
=
n
1i
ia : 
 a) A letra i é denominada índice do somatório e, em seu lugar, pode figurar qualquer outra letra. 
 
 b) Os valores 1 e n, neste caso, são denominados, respectivamente, limites inferior e superior. 
 
 
E1)Desenvolva os seguintes somatórios: 
 1) å
=
-
5
1x
2 )xx( 2) å
¥
=
-
2j
j j.)1( 3) å
=
5
0n
na!n 
 
E2)Escreva sob a forma de somatório as seguintes expressões: 
 1) 1 – 3 + 5 – 7 + ... 2)
5
24
4
6
3
2
2
1
1 ++++ 3) 
11.9
10
...
6.4
5
5.3
4
4.2
3
3.1
2
+++++ 
 
E3)Calcule o valor de: 
 1) å
=
-
5
0n
n !n.)1( 2) åå
==
-÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ 5
0i
2
25
0i
ii 
 
4.1. NÚMERO DE PARCELAS DO SOMATÓRIO 
 
na1papa
n
pi
ia ++++
=
=å L , logo å
=
n
pi
ia tem ( n – p + 1 ) parcelas 
 
E4)Destaque a parcela central e a décima parcela de å
=
-
100
0n
n n3.)1( . 
 9 
4.2. PROPRIEDADES DO SOMATÓRIO 
 
 1. Somatório de uma constante 
 
 Sejam a i = k , com i = p,...,n. 
 k)1pn(kkkaaaak n1pp
n
pi
i
n
pi
+-=+++=+++== +
==
åå LL 
 
å
=
+-=
n
pi
k).1pn(k 
 
 2. Somatório do produto de uma constante por uma variável 
 
 Sejam ka i , com i = p,...,n. 
 åå
=
++
=
=+++=+++=
n
pi
in1ppn1pp
n
pi
i ak)aaa(kkakakaka LL 
 
åå
==
=
n
pi
i
n
pi
i akka 
 
 
 3.Somatório de uma soma algébrica 
 
 Sejam a i ± bi , com i = p,...,n. 
 )bbb()aaa()ba()ba()ba()ba( n1ppn1ppnn1p1ppp
n
pi
ii +++±+++=±++±+±=± ++++
=
å LLL 
 åå
==
±=
n
pi
i
n
pi
i ba 
 
ååå
===
±=±
n
pi
i
n
pi
i
n
pi
ii ba)ba( 
 
 4. Separação do último termo 
 
n
1n
pi
i
n
pi
i aaa += åå
-
==
 
 
 5. Separação do primeiro termo 
 
åå
+=
+=
=
n
1pi
iapa
n
pi
ia 
 
 
 
 
 10 
 6. Avanço dos limites 
 
 j)jn(j1)jp(j)jp()jj(n)jj(1p)jj(pn1pp
n
pi
i aaa)aaaaaaa -+-++-+-+-++-++
=
+++=+++=+++=å LLL 
 å
+
+=
-=
jn
jpi
jia 
åå
+
+=
-
=
=
jn
jpi
ji
n
pi
i aa 
 
 
 
E5) Complete a tabela abaixo: 
 
 i xi yi xi
2 yi
2 xi
2yi xiyi 
 
 1 1 2 
 
 2 1 3 
 
 3 2 2 
 
 4 3 4 
 
 5 4 1 
 
 6 0 5 
 
 å 
 
 
E6) Com os valores da tabela acima e o uso das propriedades do somatório, calcule: 
 
 1) å
=
+-
6
1i
ii )4y3x2( 2) åå
==
-÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ 5
1i
2
i
25
1i
i xx 3) )yx()yx( ii
6
2i
ii +-å
=
 
 
 4) 10x
5
2i
2
i +å
=
 5) å
=
-
6
1i
2
ii )yx( 6) å
=
+
5
1i
2
i )3y( 
 
 7) å
=
--
5
2i
1ii )xx( 8) å
=
+
3
0i
2iy 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 11 
4.3. PRINCÍPIO DA INDUÇÃO FINITA(PIF) 
 
E7) Para n ÎN, p(n) = n 2 + n + 41 sempre dá um número primo ? 
 
 
 Uma proposição P(n) é verdadeira para todo natural n 0n³ se e somente se: 
 
 i) P(n) é verdadeira para n = n0 ; 
 
 ii) Se P(k) é verdadeira para um certo k natural então P(k+1) também é verdadeira. 
 
 Exemplo: 
 Use o PIF para mostrar que å
=
+
=++++=
n
1i 2
)1n(n
n321i L 
 Solução: Vamos mostrar queå
=
+
=
n
1i 2
)1n(n
i . 
 i) Para n = 1, os dois membros da expressão assumem o valor 1, logo P(1) é verdadeira; 
 ii) Vamos supor P(k) verdadeira , isto é, å
=
+
=
k
1i 2
)1k(k
i é verdadeira. Agora devemos mostrar 
 que P(k+1) também é verdadeira, isto é, que å
+
=
+++
=
1k
1i 2
]1)1k)[(1k(
i também é verdadeira. 
 Da propriedade 4 , pagina 14, åå
=
+
=
++=
k
1i
1k
1i
)1k(ii (1), da hipótese, å
=
+
=
k
1i 2
)1k(k
i (2) 
 
 Substituindo a (2) em (1) vem, 
 
 
2
]1)1k)[(1k(
2
)2k)(1k(
2
)1k(2)1k(k
)1k(
2
)1k(k
i
1k
1i
+++
=
++
=
+++
=++
+
=å
+
=
 
 Logo, por indução matemática, mostramos que a expressão å
=
+
=
n
1i 2
)1n(n
i é verdadeira para n .1³ 
E8) Use o PIF para mostrar que: 
1) 
r1
ara
arararaar
n
1n2
n
1i
1i
-
-
=++++= -
=
-å L , r ¹ 1 
 
 2) å
=
++
=++++=
n
1i
22
6
)1n2)(1n(n
n941i L 
 
 3) å
=
+
=++++=
n
1i
22
33
4
)1n(n
n2781i L 
 
E9) Encontre uma fórmula(em função de n) para cada um dos somatórios abaixo: 
 
 1) å
=
-
n
1i
2)1i( 2) å
=
+
n
1i
)2i(n 3) å
=
+
n
1i
)1i(ni 4) å
=
n
0i
i2 5) å
+
=
3n
1i
ni 
 12 
4.4. SOMATÓRIO DUPLO 
 
 Seja a matriz A =
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
mn3m2m1m
n2232221
n1131211
xxxx
xxxx
xxxx
L
MMMM
L
L
 
 
 As somas dos elementos de cada uma das linhas de A são: 
 
 ååå
===
n
1j
mj
n
1j
j2
n
1j
j1 x,,x,x L 
 
 A soma de todos os elementos da matriz A é: 
 
 åååååå
= =====
=+++=+++
n
1j
m
1i
ijmjj2
n
1j
j1
n
1j
mj
n
1j
j2
n
1j
j1 x)xxx(xxx LL 
 
 Observações: 
 
 a) åååå
= == =
=
m
qi
n
pj
ij
n
pj
m
qi
ij xx 
 
 b) åå
= =
n
pj
m
qi
ijx tem (n – p + 1)(m – q + 1) parcelas. 
 
 
E10) Desenvolva os seguintes somatórios: 
 
 1) åå
= =
-
3
1x
4
2y
)10xy( 2) åå
= =
+
5
2x
3
2y
2)yx( 3) åå
= =
3
2x
4
1y
yx 4) åå
= =
-
3
1i
4
2j
ij )xy( 
 
E11) Calcule o valor de: 
 
 1) åå
= =
-
3
1x
2
1y
)5xy( 2) åå
= =
-
3
1i
4
2j
)jx( 3) åå
= =
5
2x
3
2y
2z 4) åå
= =
+
4
2x
3
2y
2)1x( 
 
 
E12) Escrever sob a forma de somatório as expressões: 
 
 1) 23 + 24 + 25 + 33 + 34 +35 2) 
5
4
4
4
5
3
4
3
5
2
4
2
5
1
4
1
+++++++ 
 
E13) Encontre uma fórmula(em função de n) para cada um dos somatórios abaixo: 
 
 1) åå
=
+
=
n2
1i
1i
0j
n 2) åå
= =
+
n
1i
n
1j
)ji( 3) åå
= =
+
n
1i
n
1j
)in( 4) åå
= =
n
1i
i
3j
i 
 13 
 
4.5. RESPOSTAS 
 
 
E1) 1) 0 + 2 + 6 + 12 + 20 2) 2 – 3 + 4 – 5 + ... 3) a0 + a1 + 2a2 + 6a3 + 24a4 + 120a5 
 
E2) 1) å
¥
=
+-
0i
i )1i2.()1( 2) å
= +
4
0i 1i
!i
 3) å
= +
+9
1i )2i(i
1i
 
 
E3) 1) – 100 2)170 
 
E4) a50 =150 e a 10 = -27 
 
E6) 1) –5 2) 90 3) –25 4) 40 5) 40 6) 151 7) 3 8) 10 
 
E7) p(40) = 1681 não é primo, pois é divisível por 41. 
 
E9) 1)
6
)1n3n2(n 2 +- 2) 
2
)5n(n 2 +
 3)
3
)2n)(1n(n 2 ++ 4) 2n+1 – 1 5) 
2
)4n)(3n(n ++
 
 
E10) 1) –8 – 7 – 6 – 6 – 4 – 2 – 4 – 1 + 2 2) 16 + 25 + 25 + 36 + 36 + 49 + 49 + 64 
 
 3) 2 + 4 + 8 + 16 + 3 + 9 + 27 + 81 
 
 4) (y2 – x1) + (y3 – x1) + (y4 – x1) + (y2 – x2) + (y3 – x2) + (y4 – x2)+ (y2 – x3) + (y3 – x3) + (y4 – x3) 
 
E11)1) – 12 2) 9x – 27 3) 8z2 4) 100 
 
E12) 1) åå
= =
3
2i
5
3j
ji 2) åå
= =
4
1i
5
4j j
i
 
 
E13) 1) )5n2(n 2 + 2) n2 (n + 1) 3)
2
)1n3(n 2 +
 4)
6
)5n2)(1n(n -+
 
 14 
5. SEQÜÊNCIAS E SÉRIES 
 
5.1. INTRODUÇÃO 
 
 As séries infinitas podem ser usadas para obter valores funcionais. Podemos representar certas funções 
 
como séries infinitas cujos termos contêm potências de uma variável x. Substituindox por um número real c e 
 
determinando a soma infinita resultante, obtemos o valor de f(c). Isto é, em essência, o que uma calculadora 
 
faz quando calcula valores de funções. 
 
 A representação por séries infinitas, de sen x , ex e outras expressões nos permite abordar problemas que 
 
não podem ser resolvidos por métodos finitos, como por exemplo, a integral .dxe
2x
ò
- 
 
5.2. SEQÜÊNCIAS INFINITAS 
 
 Uma seqüência infinita é uma lista de números numa certa ordem. 
 
 a1, a2, a3,...,an,... 
 
 onde: 
 
 a1 : 1
0 termo 
 
 a2 : 2
0 termo 
 .................. 
 
 an: n-ésimo termo ou termo geral 
 
 Notações: { a1, a2, a3,...,an,... } ou {an} 
 
Exemplos: 
a) Os termos da seqüência 
þ
ý
ü
î
í
ì
+ 1n
n
 são: ,...
5
4
,
4
3
,
3
2
,
2
1 
 
 Representação gráfica da seqüência : 
 an 
 1 
 0,9 
 Observa-se que: se n cresce sem limites, an cresce 
 aproximando-se de 1, isto é, 
 
 =÷
ø
ö
ç
è
æ=
+¥®¥® 1n
n
limlim
n
n
n
a 1 0,5 
 
 
 
 Neste caso, dizemos que a seqüência converge para 1. 0,1 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n 
 
 15 
 
 b)Os termos da seqüência { }¥=- 2n2n são: 0, 1, 2 , 3 , 2, 5 ,... 
 
 Representação gráfica da seqüência : 
 
 an 
 3 
 
 Observa-se que: se n cresce sem limites, an também 
 cresce sem limites, isto é, 2 
 =-=
¥®¥®
2na limlim
n
n
n
¥ 
 1 
 
 Neste caso, dizemos que a seqüência diverge. 
 n 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 
 
 
5.3. LIMITE DE UMA SEQÜÊNCIA 
 
 
 Dizemos que a seqüência {an} converge para um número real L, ou que tem por limite L quando 
 
 .Lalim n
n
=
¥®
 Se n
n
alim
¥®
não existe, dizemos que a seqüência {an} não converge(diverge). 
 
 
 
 Outros exemplos de seqüências: 
 
 a) an =
1n
1n
+
-
 é o termo geral da seqüência 0, ,...
5
3
,
4
2
,
3
1
 
 
 b)A seqüência de Fibonacci é definida por a1 = 1, a 2 = 1 e an+1 = an + an-1 , para n 2³ 
 
 Os termos da seqüência de Fibonacci são 1, 1, 2, 3, 5, 8,... 
 
 Esta seqüência tem importância especial na ciência da computação; o estado de um computador, a cada 
 
 tique do seu relógio interno, depende do seu estado no tique anterior. 
 
 c) A seqüência dos números primos: {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,...} 
 
 
 
5.4. SÉRIES INFINITAS 
 
 
 Se {an} é uma seqüência infinita, então uma expressão ...a...aaa n21
1n
n ++++=å
¥
=
 é chamada série 
 
 numérica infinita de termo geral an. 
 16 
Exemplos: 
 a) ...n...321n
1n
+++++=å
¥
=
 
 
 Soma parciais: S1 = 1, S2 = 3, S3 = 6, S4 = 10, S5 = 15, ..., Sn=
2
)1n(n +
 
 
 Representação gráfica da seqüência {Sn} 
 
 =
+
=
¥®¥® 2
)1n(n
S limlim
nn
n ¥ Sn 
 15 
 Portanto, a seqüência das somas parciais diverge. 
 10 
 Dizemos, neste caso, que a série å
¥
=1n
n diverge. 5 
 0 1 2 3 4 5 n 
 
b) ...)1(...111)1( n
1n
n +-++-+-=å -
¥
=
 
 Soma parciais: S1 = -1, S2 = 0 , S3 = -1, S4 = 0, S5 = -1, Sn=
î
í
ì-
parénse,0
imparénse,1
 , Sn oscila 
 
 Representação gráfica da seqüência {Sn} 
 Sn 
 .existenãoSnlim
n ¥®
 
 
 Portanto, a seqüência das somas parciais diverge. 
 0 n 
 Dizemos, neste caso, que a série å
¥
=
-
1n
n)1( diverge. 
 
c) ...
2
1
...
8
1
4
1
2
1
2
1
n
1n
n
+++++=å
¥
=
 
 Soma parciais: S1 =
2
1
 , S2 = 
4
3
 , S3 = 
8
7 , S4 = 
16
15 , ..., Sn= n
n
2
12 - 
 Representação gráfica da seqüência {Sn} 
 Sn 
 =
¥®
n
n
Slim 1
2
1
1lim
2
12
lim
nnn
n
n
=÷
ø
ö
ç
è
æ -=-
¥®¥®
 1 
 
 
 Portanto, a seqüência das somas parciais converge para 1. 0,5 
 Dizemos, neste caso, que a série å
¥
=1n
n2
1 converge para 1. 
 0 1 2 3 4 5 6 n 
 17 
5.5. SOMA DE UMA SÉRIE 
 
 Dizemos que o número real S é a soma da série å
¥
=1n
na , ou que a série å
¥
=1n
na converge para S, se e 
 somente se SSlim n
n
=
¥®
 (o limite da seqüência das somas parciais S1, S2, S3,...,Sn é S). Neste caso, 
 escrevemos S = å
¥
=1n
na . Quando n
n
Slim
¥®
 não existe, dizemos que a série å
¥
=1n
na diverge. A divergência 
 pode ocorrer porque Sn torna-se infinita ou Sn oscila quando n ¥® . 
 
 
Outros exemplos de séries:d) 2,4,6,8,10,12,14,16 é uma seqüência finita e 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 = å
=
8
1n
n2 é uma série 
 finita de termo geral an = 2n. 
 e) 1, 2, 6, 24, 120,... é uma seqüência infinita e 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + ... = å
¥
=1n
!n é uma série infinita de 
 de termo geral an = n!. 
 
 f) A série harmônica å
¥
=
=+++++
1n n
1
...
n
1
...
3
1
2
1
1 cujo termo geral an = 
n
1
 
 
 
5.6. SÉRIES GEOMÉTRICAS 
 
 Uma série geométrica é uma série da forma a + ar + ar2 +ar3 + ...+arn-1 + ... = å
¥
=
-
1n
1nar com a ¹ 0. 
Da página 16, exercício E8, 1, a n-ésima soma parcial da série geométrica é 
 
 Sn= a + ar + ar
2
 + ar
3 + ... + arn-1 = 
r1
)r1(a n
-
-
, r ¹ 1 
 
Se | r | < 1 , 0rlim n
n
=
¥®
, e assim 
r1
a
r1
)r1(a
lim
n
n -
=
-
-
¥®
. 
 
Se | r | > 1, n
n
rlim
¥®
não existe, e assim 
r1
)r1(a
lim
n
n -
-
¥®
 não existe. 
 
Se r = 1, então Sn= na e portanto, n
n
Slim
¥®
 não existe. 
 
Se r = -1, então Sn oscila e portanto, n
n
Slim
¥®
não existe. 
 
 
 A a s érie geométrica converge se | r | < 1 e sua soma é S = 
r1
a
-
. 
 A a série geométrica diverge se | r | ³ 1 
 
 
 
 18 
E1) Determine se a série é convergente ou divergente, se convergente encontre a soma. 
 
1) ...
8
1
4
1
2
1
1 ++++ 2) ...
8
27
4
9
2
3
1 ++++ 3) å -
¥
=
+
1n
1n)1( 
 
E2) Determine a série infinita que tem a seguinte seqüência de somas parciais: 
1){Sn} = 
þ
ý
ü
î
í
ì
+1n
n4
 2){Sn} = 
þ
ý
ü
î
í
ì
+1n3
n2
 3){Sn} = 
ïþ
ï
ý
ü
ïî
ï
í
ì
+ 1n
n 2
 4){Sn} = { }n2 
 
E3) Expresse a dizima periódica 0,222... como uma fração comum. 
 
 
5.7. PROPRIEDADES DAS SÉRIES 
 
a) Se å
¥
=1n
na converge e c é um número real, então å
¥
=1n
nca também converge e å
¥
=1n
nca = c å
¥
=1n
na . 
Exemplo: å
¥
=1n
n2
5
é convergente. Justifique. 
 
b) Se å
¥
=1n
na e å
¥
=1n
nb convergem , então å ±
¥
=1n
nn )ba( também converge e å ±
¥
=1n
nn )ba( = å
¥
=1n
na ± å
¥
=1n
nb . 
Exemplo: )
3
1
2
1
(
1n nn
å -
¥
=
é convergente. Justifique. 
c) Se å
¥
=1n
na converge e å
¥
=1n
nb diverge, então å ±
¥
=1n
nn )ba( diverge. 
Exemplo: )2
3
1
(
1n
n
nå +
¥
=
é divergente. Justifique. 
 
Observação: Se å
¥
=1n
na diverge e å
¥
=1n
nb diverge, então å ±
¥
=1n
nn )ba( pode convergir ou divergir. 
d) Se å
¥
=1n
na converge, então 0alim n
n
=
¥®
. 
Justificativa: Se å
¥
=1n
na converge, n
n
Slim
¥®
= S e 1n
n
Slim -
¥®
= S. Como Sn= a1 + a2 + ... an-1 + an , an = Sn – Sn-1. 
Logo, n
n
alim
¥®
= n
n
Slim
¥®
- 1n
n
Slim -
¥®
= S – S = 0 
E4) Verifique se a série converge, em caso afirmativo, determine a sua soma: 
 1) å
¥
=1n n2
1 2) å
¥
=1n
1 3) å
+
¥
=1n )1n(n
1
 (série telescópica) 
 
 Para muitas séries é difícil ou praticamente impossível encontrar uma fórmula simples para Sn . Em 
 
tais casos, são usados alguns testes que não nos fornecem a soma S da série; dizem-nos apenas se a soma 
 
existe. Isto é suficiente na maioria das aplicações porque, sabendo que a soma existe, podemos aproximar 
 
o seu valor com um grau arbitrário de precisão, bastando somar um número suficiente de termos da série. 
 19 
 
5.8. TESTE DA DIVERGÊNCIA 
 
 Se 0alim n
n
¹
¥®
, então a série infinita å
¥
=1n
na diverge. 
 
 
Observação: O 0alim n
n
=
¥®
 não garante a convergência da série. 
 
E5) Prove que as séries seguintes são divergentes: 
 
1) å
+¥
=1n 2
2
n
1n
 2) å -
¥
=
+
1n
1n)1.(2 3) ...
1n2
n
...
7
3
5
2
3
1
+
+
++++ 
 
5.9. TESTE DA INTEGRAL 
 
 Sejam å
¥
=1n
na uma série de termos positivos e f uma função continua, tal que f(n) = an , para todo n. 
 Então å
¥
=1n
na converge Û ò
¥
1
dx)x(f converge. 
 
 
E6) Determine se a série dada é convergente ou divergente. 
 
1) å
¥
=1n n
1 2) å
¥
=1n
2n
1
 3) å
¥
=1n n
1
 4) å
¥
=
-
1n
ne 5) å
¥
=1n nlnn
1
 6) å
¥
=
-
1n
nne 
 
5.10. SÉRIE-P 
 
 Uma série do tipo å
¥
=1n
pn
1 é denominada série- p e, converge se p >1 e diverge se p £ 1. 
 
 Justificativa: Para p = 1, a série -p torna-se å
¥
=1n n
1
, e é chamada série harmônica. Diverge(exercícioE6, 1) 
 Se p ¹ 1, )1b(lim
p1
1
1p
x
limdxxlim
x
dx p1
b
b
1
1p
b1
b
1
p
bp
-
-
=
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+-
== -
¥®
+-
¥®
¥
-
¥®ò ò 
Para p > 1, 
p1
1
)1
b
1
(lim
p1
1
)1b(lim
p1
1
1pb
p1
b -
=-
-
=-
- -¥®
-
¥®
. Logo a série p converge. 
Para 0 < p < 1, ¥=-
-
-
¥®
)1b(lim
p1
1 p1
b
. Logo a série p diverge. 
Para p< 0, ¥=== -
¥®¥®¥®
p
npnnn
nlim
n
1
limalim . Logo, a série p diverge. 
 Para p = 0, a série-p torna-se å
¥
=1n
1 que é uma série divergente. 
 Portanto, a série-p é convergente somente quando p > 1. 
 
 20 
5.11. TESTE DA COMPARAÇÃO DO LIMITE 
 
 Sejam å
¥
=1n
na e å
¥
=1n
nb séries de termos positivos . Se ,cb
a
lim
n
n
n
=
¥®
onde c é um número positivo, 
 
 então ambas as séries convergem ou ambas as séries divergem. 
 
 
 
 
E7) Determine se a série dada é convergente ou divergente. 
1) å
¥
= +1n
n31
1 2) å
¥
= +1n
2 2n
1 3) å
¥
= -1n 1n2
2
 4) å
¥
= ++1n
24 2nn
1 
 
5) å
¥
= +1n
2 1n
n 6) å
¥
=
+
1n
3n
1n 
 
 
 
 
5.12. SÉRIES ALTERNADAS 
 
 
 Uma série alternada é uma série da forma å -å -
¥
=
¥
=
+
1n
n
n
1n
n
1n a)1(oua)1( com a n > 0. 
 
 
 
5.13. TESTE DE LEIBNIZ 
 
 
 Seja uma série alternada. Se an ³ an+1 e 0alim n
n
=
¥®
, então a série converge. 
 
 
 
E8) Determine se as séries alternadas convergem ou divergem. 
 
1) å -
¥
=
+
1n
1n)1( 2) å
-¥
=1n
n
n
)1(
 3) 
3n4
n2
)1(
1n
1n
-
å -
¥
=
- 
 
4) 
)1n(n
2n
)1(
1n
n
+
+
å -
¥
=
 5) 
3n4
n2
)1(
2
1n
1n
-
å -
¥
=
- 
 
 
 
 
O conceito a seguir permite que utilizemos testes para séries de termos positivos para determinar a 
 
convergência de outros tipos de séries. 
 
 21 
5.14. CONVERGÊNCIA ABSOLUTA E CONVERGÊNCIA CONDICIONAL 
 
a)Se å
¥
=1n
n |a| =|a1| + |a2| + |a3| +...+|an| +... converge, dizemos que uma série å
¥
=1n
na é absolutamente 
 convergente. 
 b)Se å
¥
=1n
na converge e |a|
1n
nå
¥
=
 diverge, dizemos que å
¥
=1n
na converge condicionalmente 
 
E9) Determine se a série dada é absolutamente convergente. 
 
1) å
-¥
=
+
1n 2
1n
n
)1(
 2) å
-¥
=
+
1n
1nn
)1(
 3) å
-¥
= -
+
1n 1n
1n
2
)1(
 4) å
¥
=1n
n3 
 
5) å
¥
=
+-
1n
1n
n
)1(
 6) å
¥
=
+-
1n
2
n
n
)1n()1(
 
 
Observações: 
a)Se å
¥
=1n
na é uma série de termos positivos, então |an | = an , portanto a convergência absoluta coincide 
 com a convergência. 
 
 b) Se uma série infinita å
¥
=1n
na é absolutamente convergente, então å
¥
=1n
na é convergente. 
 
5.15. TESTE DA RAZÃO 
 
 Seja å
¥
=1n
na uma série infinita com an ¹ 0, para todo n. 
 
 a) Se 
n
1n
n a
a
lim
+
¥®
 < 1, então å
¥
=1n
na converge absolutamente. 
 b) Se 
n
1n
n a
a
lim +
¥®
 > 1 ou 
n
1n
n a
a
lim +
¥®
= ¥ , então å
¥
=1n
na diverge. 
 c) Se 
n
1n
n a
a
lim
+
¥®
= 1, então nenhuma conclusão quanto à convergência pode ser tirada do teste. 
 
 
E10) Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. 
 1) å
¥
=1n !n
1 2) å
¥
=1n 2n
1 3) å
¥
=
+-
1n
2
1n
n
!n
)1( 4) å
¥
=1n n2
!n 
 
 5) å
¥
=
+-
1n
1n
n
)1(
 6) å -
¥
=1n
n
n
!n
3
)1( 7) å
¥
=1n
2
n
n
3
 8) å
¥
=
+
-
-
1n
1n
1n2
n
)1( 
 
Observação: O teste da razão é mais adequado quando an contém potências e produtos e não funciona 
 
 em série -p. 
 22 
 
5.16. SÉRIES DE POTÊNCIAS 
 
Série de potências de x é uma série infinita da forma å
¥
=0n
n
n xb = b0 + b1 x + b2 x
2 + b3x3 + ... + bnxn + ... 
Uma série infinita da forma å
¥
=
-
0n
n
n )cx(b = b0 + b1(x-c) + b2(x-c)
2 + b3(x-c)
3 + ... + bn(x-c)
n + ... é uma 
série de potências centrada em c. 
 
 Quando em uma série de potências a variável for substituída por um número, a série resultante é 
 
 numérica e pode convergir ou não. 
 
 
5.17. INTERVALO DE CONVERGÊNCIA 
 
 Para cada série de potências å
¥
=
-
0n
n
n )cx(b , exatamente uma das seguintes afirmações é verdadeira. 
a) A série converge somente quando x = c. c 
 
b) A série converge absolutamente para todo x real. Â 
 
c) Existe um número real positivo R, tal que a série é absolutamente convergente se | x – c | < R e é 
 
 divergente se | x – c | > R. Neste caso, R é chamado raio de convergência da série e (c – R , c+ R) 
 
 é o intervalo de convergência da série. c-R c c+R 
 ? ? 
 
 
 Procedimento para encontrar o intervalo de convergência de uma série de potências. 
 
1. Aplicar o teste da razão. 
 
2. Resolver a inequação resultante. 
 
3. Analisar os extremos individualmente. 
 
 
E11) Determine os intervalos de convergência das séries: 
 
 1) å
¥
=1n
n
n
x
 2) å
+¥
=0n
n3
2n
(x-2)n 3) å
¥
=0n
n
!n
x
 4) å
-¥
=1n
nn
!n
)x10(10
 
 
 5) å
¥
=0n
nnx 6) å +
¥
=0n
n)1x(!n 7) å
¥
=0n
nx 8) å
¥
=1n
n
n
x
 
 
 
 
 
 
 23 
 
 
5.18. FUNÇÕES DEFINIDAS POR SÉRIES DE POTÊNCIAS 
 
 Uma série de potências de x pode ser encarada como uma função de variável x, f(x) = å
¥
=
-
0n
n
n )cx(b , 
onde o domínio de f é o conjunto dos valores de x que tornam a série convergente. 
 
 Cálculos numéricos utilizando série de potências são a base para a construção de calculadoras. Cálculos 
 
algébricos, diferenciação e integração podem ser realizados com o uso de séries. O mesmo acontece com as 
 
funções trigonométricas, trigonométricas inversas, logarítmicas e hiperbólicas. 
 
 
E12) Ache uma função f representada pela série de potências 1 + x + x2 + x3 + ... + xn + ... 
 
E13) Considere o exercício E12 e calcule o valor aproximado de f(1/10) 
 
a) usando os dois primeiros termos da série. 
 
b) usando os três primeiros termos da série. 
 
c) usando os quatro primeiros termos da série. 
 
d) usando os cinco primeiros termos da série. 
 
E14) Ca lcule o valor de f(1/10) usando a lei. 
 
E15) Comparando os valores encontrados em E13 e E14, o que se pode concluir ? 
 
E16) Considere o exercício E12 e calcule o valor aproximado de f(2) 
 
a) usando os dois primeiros termos da série. 
 
b) usando os três primeiros termos da série. 
 
c) usando os quatro primeiros termos da série. 
 
E17) Calcule o valor de f(2) usando a lei. 
 
E18) Comparando os valores encontrados em E16 e E17, o que se pode concluir ? 
 
E19) Considere o exercício E12 e obtenha uma representação em série de potências para 
 
 1)g1(x) =
x1
1
+
 2) g2(x) =
x1
1
-
- 3) g3(x) = 2x1
1
-
 
 
 
 
 
 24 
 
 
5.19. DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO DE SÉRIES DE POTÊNCIAS 
 
 Se f(x) = å
¥
=
-
0n
n
n )cx(b está definida no intervalo (c – R , c + R) para algum R > 0, então: 
 a)f é derivável e f ’(x) = å
¥
=
--
1n
1n
n )cx(nb = å
¥
=
+ -+
0n
n
1n )cx(b)1n( , para todo x Î(c – R , c + R). 
 
 b)f é integrável e ò
x
0
dt)t(f = å
¥
=
+
+
-
0n
1n
n
1n
)cx(b
, para todo x Î(c – R , c + R). 
 
 
E20) Seja f(x) = 
x1
1
-
= å
¥
=0n
nx , determine: 
 
 1) f ’(x) e a série que representa f ’(x) 
 
 2) ò dx)x(f e a série que representa ò dx)x(f 
 
 3) ò
2/1
0 dx)x(f e a série que representa ò
2/1
0 dx)x(f 
 
 
 
5.20. SÉRIES DE TAYLOR 
 Se f é uma função que admite uma representação em séries de potências f(x) = å
¥
=
-
0n
n
n )cx(b , quem 
são os bn ? 
 
f(x) = b0 + b1(x-c) + b2(x-c)
2 + b3(x-c)
3 + b4(x-c)
4 + ... + bn(x-c)
n + ... Þ f(c) = b0 
 
f ’(x) = b1 + 2b2(x-c) + 3b3(x-c )2 + 4b4(x-c )3 + ... + nbn(x-c)n-1 + ... Þ f ’(c) = b1 = 1!b1 e b1 =
!1
)c('f
 
 
f ’’(x) = 2b2 + 3.2b 3(x-c) + 4.3b4(x-c )
2 + ... + n(n-1)bn(x-c)
n-2 + ... Þ f ’’(c) = 2b2 = 2!b2 e b2 =
!2
)c(''f
 
 
f ’’’(x) = 3.2b3 + 4.3.2b4(x-c) + ... + n(n-1)(n-2)bn(x-c)
n-3 + ... Þ f ’’’(c) = 3.2b3= 3!b3 e b 3 =
!3
)c('''f
 
 
f (IV)(x) = 4.3.2b4 + ... + n(n-1)(n-2)(n-3)bn(x-c)n-4 + ... Þ f (IV)(c) = 4.3.2b4 = 4!b4 e b4 =
!4
)c(f )IV( 
 M M M 
 
Logo b0 = f(c) e bn = 
!n
)c(f )n(
 para n ³1 e portanto f(x) = f(c) + å -
¥
=1n
n
)n(
)cx(
!n
)c(f
 que é denominada 
 
série de Taylor para f de centro em c, para todo x pertencente ao intervalo de convergência. 
 25 
 
 
 
 Se c = 0, a série de Taylor assume a forma 
 f(x) = f(0) + f ’(0)x + 2x
2!
(0)''f
+ 3x
3!
(0)'''f
+ ... + n
)n(
x
!n
)0(f
+ ... 
 que é denominada série de Maclaurin para f. 
 
 
 
E21) Encontre a série de Taylor de centro em c = 1 para: 
 
 1) f(x) = ln x2) f(x) = ex 3) f(x) =
x
1
 
 
E22) No exercício anterior, para que valores de x a série encontrada representa a função f ? 
 
 
E23) Encontre a série de Taylor de centro em c = 0 para: 
 
 1) f(x) = ln(1+ x) 2) f(x) = e x 3) f(x) = 
2xe 4) f(x) = e-2x 
 
 5) f(x) = sen x 6) f(x) = sen 2x 7) f(x) = cos x 8) f(x) = 
1x
1
-
 
 
 
 26 
 
5.21. RESPOSTAS 
 
E1) 1) Conv. S = 2 2) Div. 3) Div. 
 
E2) 1) L++++
5
1
3
1
3
2
2 2) L++++
65
1
35
1
14
1
2
1 3) L++++
20
19
12
11
6
5
2
1 4) 2 + 2 + 4 + 8 + 16 + .. 
E3) 
9
2 E4) 1) Conv. S = 1 2) Div. 3) Conv. S = 1 
 
E6) 1) Div. 2) Conv. 3)Div. 4) Conv. 5) Div. 6) Conv. 
 
E7) 1) Conv. 2) Conv. 3)Div. 4) Conv. 5) Conv. 6) Conv. 
 
E8) 1) Div. 2) Conv. 3)Div. 4) Conv. 5) Conv. 
 
E9) 1) Conv. Abs. 2) Conv. Cond. 3) Conv. Abs. 4) Div. 5) Conv. Cond. 6) Conv. Cond. 
 
E10) 1) Conv. 2) Conv. 3) Div. 4) Div. 5) Conv. Cond. 6) Conv. Abs. 
 
 7) Div. 8) Div. E11) 1) [-1,1) 2) (-1,5) 3) Â 4) Â 5) (-1,1) 6) {-1} 
 
 7) (-1,1) 8) [-1,1) E12) f(x) =
x1
1
-
 , (-1,1) E13) a) 1,1 b) 1,11 c) 1,111 d) 1,1111 
 
E14) 1,111... E16) a) 3 b) 7 c) 15 E17) –1 E19) 1) n
0n
n x)1(å
¥
=
- , | x | < 1 
 
 2) n
0n
xå
¥
=
- , | x | < 1 3) n2
0n
xå
¥
=
, | x | < 1 E20) 1) f ’(x) =
2)x1(
1
-
 , 1n
1n
xn -
¥
=
å 
 
 2) – ln (1 – x ) , å
¥
=1n
n
n
x
 3) -ln
2
1
, L++++
64
1
24
1
8
1
2
1 E21) 1) å
¥
=
- --
1n
n1n
n
)1x()1(
 
 
 2) å
¥
=
-
0n
n
!n
)1x.(e
 3) n
0n
n )1x()1( --å
¥
=
 E22) 1) (0,2] 2) Â 3) (0,2) 
 
E23) 1) å
¥
=
+-
1n
n1n
n
x)1(
 2) å
¥
=0n
n
!n
x
 3) å
¥
=0n
n2
!n
x
 4) å
¥
=
-
0n
nn
!n
x.)2(
 
 
 5) å
¥
=
-+
-
-
1n
1n21n
)!1n2(
x)1(
 6) å
¥
=
-+
-
-
1n
1n21n
)!1n2(
)x2()1(
 7) å
¥
=
-
0n
n2n
)!n2(
x.)1(
 8) n
0n
xå
¥
=
- 
 
 
 
 
 
 
 
 27 
6. OS CONJUNTOS 
2
 E 
3
 
 
 6.1. O CONJUNTO 
2
 
 
2Â = ÂÂx = { }ÂÎy,x/)y,x( 
 y 
 y1 P(x1,y1) 
 P(x,y) ÎOx Û y = 0 
 
 P(x,y) ÎOy Û x = 0 
 0 x1 x 
 
E1) Represente graficamente os conjuntos: 
 
1) {(x,y) 2ÂÎ / y = 2x} 2) {(x,y) 2ÂÎ / y 2x³ } 3) {(x,y) 2ÂÎ / x < 2} 
 
4) {(x,y) 2ÂÎ / y < 3 - x} 5) {(x,y) 2ÂÎ / 2y1 <£ } 6) {(x,y) 2ÂÎ / x2 + y2 ³ 1} 
 
7) {(x,y) 2ÂÎ / y < e x } 
 
 
6.2. O CONJUNTO 
3
 
 
3Â = ÂÂÂ xx = { }ÂÎz,y,x/)z,y,x( 
 z 
 yOz P(x,y,z) ÎOx Û y = z = 0 
 z1 
 P(x,y,z) ÎOy Û x = z = 0 
 
 P (x1,y1,z1) P(x,y,z) ÎOz Û x = y = 0 
 
 xOz O y1 y P(x,y,z) ÎxOy Û z = 0 
 
 x1 P(x,y,z) ÎxOz Û y = 0 
 
 xOy P(x,y,z) ÎyOz Û x = 0 
 x 
 
E2) Represente graficamente os pontos: 
 
1) (0,2,0) 2) (-2,0,0) 3) (0,0,3) 4) (2,3,0) 5)(-1,0,2) 6) (0,-4,2) 
 
7) (2,3,4) 8) (3,-2,-1) 9) (-1,-3,2) 10) (3,3,3) 11) (2,4,-3) 12) (-1,-2,-3) 
 
E3) Represente graficamente os planos(equação de um plano do 3Â : ax + by + cz + d = 0): 
 
1) z = 0 2) z = 4 3) y = 0 4) y = -2 5) x = 0 6) x = 3 7) 2x –3y + 4z – 12 =0 
 
8) x – y + 2z – 4 = 0 9) 3x + 2y – 6 = 0 10) x + z – 2 = 0 11 ) 4y + 2z – 8 = 0 
 
 28 
7. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
 
7.1. INTRODUÇÃO 
 
 Quando dizemos que a medida do volume de um paralelepípedo retângulo depende das medidas das suas 
 
dimensões, queremos dizer que: conhecidas as medidas das arestas a, b e c, podemos determinar o seu 
 
volume V, através da expressão V = abc . 
 
 A equação V = abc define V como função de a, b e c, pois dados os valores das variáveis independentes 
 
a, b e c , existe em correspondência um único valor para a variável dependente V. Uma relação deste tipo é 
 
denominada de função de três variáveis. 
 
 
 Uma função de n variáveis é uma relação que a cada n-upla ordenada de números reais (x1 ,x2,...,xn ) faz 
corresponder um único número real. 
 
 
E1) Seja a função dada f(x,y) = x2 + y2 (duas variáveis). Encontre: 
 
 a) f(1,2) b) f(0,0) c) f(-3,-4) d) Dom f e) Im f 
 
 O gráfico de f é uma superfície do 3Â (parabolóide abaixo). 
 
 z 
 Observação: As funções de três ou mais variáveis nãopodem ser representadas graficamente. 
 
 
 0 y 
 x 
 
 E2) Seja a função dada por f(x,y,z) = 222 zyx ++ . Determine: 
 
 1) f(0,0,0) 2) f(-1,-1,1) 3) f(1,2,3) 4) Dom f 5) Im f 
 
E3) Seja a função dada por f(x,y) =
xy
x3
-
. Determine: 
 
 1) f(1,0) 2) f(3,-7) 3) f(1,-1) 4) Dom f 5) a representação gráfica do Dom f 
 
E4) Seja f(x,y) =
yx
1
2 -
. Determine: 
 
 1) f(1,0) 2) f(3,-7) 3) f(1,-1) 4) Dom f 5) a representação gráfica do Dom f 
 
 
 
 29 
E5) Represente graficamente os domínios das seguintes funções : 
 1) f(x,y)= 1yx -+ 2) 
1yx2
1
)y,x(f
+-
= 3) f(x,y)= ln (x2- y + 1) 4) f(x,y) =
1x
xln
-
 
 
7.2. CURVAS DE NÍVEL 
 
 Ck = { }k)y,x(f/)y,x( 2 =ÂÎ 
 
 
 Seja a função dada por z= x2 + y2 . 
 
 As curvas de nível para z = 0 , z =1 , z = 2 e z = 4 são : 
 
z=0 Þ x2 + y2 = 0 (x = y = 0 ) 
 
z=1 Þ x2 + y2 = 1 (circunferência de centro C(0,0) e raio 1 ) 
 
z=2 Þ x2 + y2 = 2 (circunferência de centro C(0,0) e raio 2 ) 
 
z=4 Þ x2 + y2 = 4 (circunferência de centro C(0,0) e raio 2 ) 
 
Mapa de curvas de nível y 
 
 2 z =4 
 2 z = 2 
 1 Observação: As curvas de nível nunca 
 z = 1 
 se interceptam. 
 z=0 
 -2 - 2 -1 00 1 2 2 x 
 
 
 -1 
 
 - 2 
 -2 
 
Gráfico da Função (parabolóide) 
 z 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 y 
 
 x 
 
 30 
E6) Esboce as curvas de nível das funções: 
 
 1) z = y - x2 para z = 0, z =1 e z =2 
 
 2) z = y – x para z = 0, z =2 e z =4 
 
 3) z = y – ln x para z = 0, z =1 e z =2 
 
E7) Seja a função dada por z = 22 yx4 -- 
 
 1) Faça as curvas de nível para z = 0, z = 1 e z = 2 
 
 2) Represente graficamente a função 
 
 
 
 
7.3. RESPOSTAS 
 
E1) 1) 5 2) 0 3) 25 4) 2Â 5) ),0[ +¥ 
 
E2) 1) 0 2) 3 3) 14 4) 3Â 5) ),0[ +¥ 
 
E3) 1) – 3 2) –
10
9 3) 
2
3
- 4) }xy/)y,x{( 2 ¹ÂÎ 
 
E4) 1) 1 2) 
4
1
 3) 
2
2
 4) }xy/)y,x{( 22 <ÂÎ 
 
E5) 1) }1xy/)y,x{( 2 +-³ÂÎ 2) }1x2y/)y,x{( 2 +¹ÂÎ 
 
 3) }1xy/)y,x{( 22 +<ÂÎ 4) }1xe0x/)y,x{( 2 ¹>ÂÎ 
 
 
 31 
 
8. DERIVADAS PARCIAIS 
 
 Se y = f(x) é uma função de uma variável real, sua derivada f ’(x) =
x
)x(f)xx(f
lim
0x D
-D+
®D
 pode ser 
interpretada como a taxa de variação de y em relação a x ou como a função declividade da reta tangente 
 
ao gráfico de f. 
 
 Se z = f(x,y) é uma função de duas variáveis, podemos falar em duas derivadas, por isso, denominadas 
 
derivadas parciais. Uma derivada parcial é obtida quando x varia e y permanece constante e, a outra, quando 
 
y varia e x permanece constante. 
 As derivadas parciais de f em relação a x e a y são denotadas por fx ou 
x
f
¶
¶ e fy ou 
y
f
¶
¶
 e são definidas 
por fx(x,y) =
x
)y,x(f)y,xx(f
lim
0x D
-D+
®D
 e fy(x,y) =
y
)y,x(f)yy,x(f
lim
0y D
-D+
®D
 
 
Nota: ¶ é uma variante da letra grega d (delta minúsculo). 
 
E1) Determine as derivadas parciais 
x
z
¶
¶ e 
y
z
¶
¶
das funções: 
 
 1) z = 4x2y – 5x3y2 + 2x – y 2) z = yx 3) z = ln(xy 2) 4) z = 1yx 22 -+ 
 
 5) z = 
y2x3
xy2
-
 6) z = 
y4x
y3x2
2 +
-
 7) z = (2x – y)exy 8) z = 2x2ysen 2y 
 9) z = 2xcos (1-xy) 10) z = 
y2
1
x
1
- + ln exy 
 
8.1. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DAS DERIVADAS PARCIAIS 
 
 Considere a superfície abaixo, gráfico de uma função z = f(x,y). 
 
 Para y = k (constante) a função f se reduz a uma função de uma variável x, z = f(x,k). 
 z t 
 
 z = f(x,y) 
 P 
 y1= k 
 0 y 
 x1 
 
 x z= f(x,k) 
 
 Portanto, a derivada parcial de f em relação a x no ponto (x1,y1) representa a declividade da superfície no 
 
ponto (x1,y1) na direção paralela ao eixo x, isto é
x
f
¶
¶ (x1,y1) = at 
 32 
 
 Analogamente , a derivada parcial de f em relação a y no ponto (x1,y1) representa a declividade da 
 
superfície no ponto (x1,y1) na direção paralela ao eixo y, isto é
y
f
¶
¶
(x1,y1) = at 
 
E2) Encontrar a declividade da reta tangente à curva resultante da intersecção de: 
 
 1) z = x2 + y2 com o plano x = 1, no ponto ( 1,2,5) 
 
 2) z = x2 + y2 com o plano y = 2, no ponto (2,2,8) 
 
 3) z = 22 y4x934 -- com o plano y = 2, no ponto (1,2,3) 
 
E3) Dada a função f(x,y) = ,
yx
1
y
22
2
+
+ determine : 
 
 1) o domínio de f 2) fx(3,4) 3) fy(3,4) 
 
 4) a declividade da reta tangente à curva intersecção do gráfico de f com o plano x = 3 no ponto (3,4). 
 
 
 
8.2. DERIVADAS PARCIAIS DE SEGUNDA ORDEM 
 
 Derivadas puras: xx2
2
f
x
f
x
f
x
=
¶
¶=÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
¶
¶
 ; yy2
2
f
y
f
y
f
y
=
¶
¶
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶
¶
¶
 
 
 Derivadasmistas ou cruzadas: yx
2
f
yx
f
y
f
x
=
¶¶
¶
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶
¶
¶
 ; xy
2
f
xy
f
x
f
y
=
¶¶
¶=÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
¶
¶
 
 
 
E4) Determinar as derivadas parciais de segunda ordem das funções dadas por: 
 
 1) z = x2y – xy2 + 2x – y 2) z = xy 3) z = ln(xy) 4) z = 
2xye- 5) z = 
x
y2
 
 
 6) z = x3y2 7) z = xe -y 8) z = xsen 2y 9) z = cos (x2-y) 10) z = xln exy 
 
Observação: 
 
 As derivadas parciais de segunda ordem mistas, são iguais para funções continuas com derivadas parciais 
 
continuas. 
 
 
8.3. HESSIANO 
 Chama-se Hessiano da função z = f(x,y) a função H(x,y) = 
)y,x(f)y,x(f
)y,x(f)y,x(f
yyyx
xyxx
 
 33 
 
E5) Calcule o Hessiano da função dada por: 
 
 1)f (x,y) = x3 – y3 + 2xy – 1 no ponto (2,-1) 2) f(x,y) = x2y3 + 2xy – 4x + 3y – 5 no ponto (-1,-1) 
 
 
 
8.4. RESPOSTAS 
 
E1) 1) 8xy – 15x2y2 + 2 ; 4x2 – 10x3y – 1 2) y ; 
y2
x
 3) 
x
1
 ; 
y
2
 
 
 4)
1yx
x
22 -+
 ; 
1yx
y
22 -+
 5)
2
2
)y2x3(
y4
-
-
 ; 
2
2
)y2x3(
x6
-
 
 
 6) 
22
2
)y4x(
y8xy6x2
+
++-
; 
22
2
)y4x(
x8x3
+
--
 7)exy(2xy – y2 + 2) ; exy(2x2 – xy – 1) 
 
 8) 4xysen 2y ; 2x2(sen 2y + 2ycos 2y) 9) 2cos(1-xy) + 2xysen(1-xy) ; 2x2sen(1-xy) 
 
 10) y
x
1
2
+- ; x
y2
1
2
+ 
 
E2) 1) 4 2) 4 3) -3 
 
E3) 1) )}0,0{(2 -Â 2)
125
3
- 3)
125
996 E4) 
125
996 
 
E4) 1) 2y ; -2x ; 2x – 2y 2) 0 ; 0 ; 1 3)
2x
1
- ; 2y
1
- ; 0 
 4)
2xy4ey - ; )1xy2(xe2 2xy
2
-- ; )yxy(e2 3xy
2
-- 5)
3x
y4 ; 0 ; 
2x
2
- 6) 6xy2 ; 2x3 ; 6x2y 
 
 7) 0 ; xe -y ; -e-y 8) 0 ; -4xsen 2y ; 2cos 2y 
 
 9) –2sen(x2-y) – 4x2cos(x2 – y) ; -cos(x2 – y) ; 2xcos(x2 – y) 10) 2y ; 0 ; 2x 
 
E5) 1) 68 2) -4 
 
 34 
 
9. MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS 
VARIÁVEIS 
 
 
 Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis. Dizemos que um ponto (xo,yo) do domínio de f é ponto de 
 
máximo relativo ou local de f, se existir uma bola aberta de centro em (xo,yo) e raio r tal que, para todo ponto 
 
P(x,y) do domínio situado no interior dessa bola, tenhamos f(x,y) £ f(xo,yo). 
 
 O número f(xo ,yo) recebe o nome de máximo relativo ou local de f. 
 
 Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis. Dizemos que um ponto (xo,yo) do domínio de f é ponto de 
 
mínimo relativo ou local de f, se existir uma bola aberta de centro em (xo,yo) e raio r tal que, para todo ponto 
 
P(x,y) do domínio situado no interior dessa bola, tenhamos f(x,y) ³ f(xo,yo). 
 
 O número f(xo,yo) recebe o nome de mínimo relativo ou local de f. 
 
 z 
 
 
 (a,b) é ponto de máximo relativo de f 
 
 (c,d) é ponto de mínimo relativo de f 
 
 
 
 
 d b y 
 
 a 
 
 c 
 x 
 
 Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis. Dizemos que um ponto (xo,yo) do domínio de f é ponto de 
 
máximo absoluto ou global de f, se para todo ponto P(x,y) do domínio, tivermos f(x,y) £ f(xo,yo). 
 
 O número f(xo ,yo) recebe o nome de máximo absoluto ou global de f. 
 
 Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis. Dizemos que um ponto (xo,yo) do domínio de f é ponto de 
 
mínimo absoluto ou global de f, se para todo ponto P(x,y) do domínio, tivermos f(x,y) ³ f(xo,yo). 
 
 O número f(xo ,yo) recebe o nome de mínimo absoluto ou global de f. 
 
 
 
 
 35 
 
9.1. PONTO CRÍTICO DE UMA FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS 
 
 
 Seja z = f(x,y) uma função definida num conjunto aberto D 2ÂÌ . Um ponto (xo,yo)ÎD é um ponto de f 
 
se as derivadas parciais fx(xo ,yo) e fy(xo,yo) são nulas(extremos suaves) ou não existem(extremos bruscos). 
 
Geometricamente, são pontos do gráfico da função onde o plano tangente é horizontal ou não existe. 
 
 
E1) Encontre os pontos críticos das funções: 
 
 1) f(x,y) = x2 + y2 2) f(x,y) = x3 + y3 – 3x2 –3y 3)f(x,y) = 4x – 2y + 4 4)f(x,y) = 22 yx + 
 
 
 
9.2. CRITÉRIO PARA CARACTERIZAÇÃO DE PONTOS EXTREMANTES 
 
 TESTE DO HESSIANO 
 
 Seja z = f(x,y) uma função continua, com derivadas parciais até segunda ordem continuas e (xo,yo) um 
 
ponto crítico de f. 
 
 a)Se H(xo,yo) > 0 e fxx(xo,yo) > 0 então (xo,yo) é ponto de mínimo relativo de f. 
 
 b) Se H(xo ,yo) > 0 e fxx(xo,yo) < 0 então (xo,yo) é ponto de máximo relativo de f. 
 
 c) Se H(xo ,yo) < 0 então (xo,yo) não e ponto extremante, é ponto de sela. 
 
 d) Se H(xo ,yo) = 0, nada se pode afirmar. 
 
 
E2) Determine e caracterize os pontos extremantes das funções: 
 
 1)f(x,y) = 3x4 + 8x3 - 18x2 + 6y2 + 12y – 4 
 
 2) f(x,y) = x2 + y2 – 2x + 1 
 
 3) f(x,y) = x3 + 3xy + y2 – 2 
 
 4) f(x,y) = 8x3 - 3x2 + y2 + 2xy + 2 
 
 5) f(x,y) = 3x2 + y2 – xy + 5 
 
 6) f(x,y) = x3 + y2 – 6xy + 6 
 
 7) f(x,y) = x3 + 2y2 – 3x – 4y – 8 
 
 
 
 
 
 36 
9.3. MÁXIMOS E MÍNIMOS CONDICIONADOS 
 
 
 Seja z = f(x,y) a função da qual se quer determinar o máximo ou mínimo sujeito à condição R(x,y) = 0. 
 
 z z 
 máx de f sem restrição 
 máx de f com restrição 
 
 
 restrição R 
 0 y 0 y 
 
 
 x x 
 
 
1. MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO. 
 
Consiste em substituir x (ou y) obtido a partir da restrição R(x,y) = 0, na função f. Obtém-se dessa forma 
 
 uma função de uma só variável, e o problema se reduz à determinação de máximos e mínimos da função 
 
 de uma variável. 
 
 
E3) Seja L(x,y) = -2x2 - y2 + 32x + 20y a função lucro de uma indústria que produz e comercializa

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