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prova_pf_calc2_2009_2_eng

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto deMatema´tica
Departamento de Me´todos Matema´ticos
Prova Final Unificada de Ca´lculo II
Escola Polite´cnica e Escola de Qu´ımica - 10/12/2009
1a Questa˜o: (a) (1,0 ponto) Resolva o seguinte problema de valor inicial
y′ + 2xy − e−x2 = 2x, y(0) = 2.
(b) (2,0 pontos) Uma massa de 1 kg encontra-se imersa em um fluido de constante de
amortecimento c = 2 presa na extremidade de uma mola de constante k = 1 e excitada
por uma forc¸a externa F (t) = cos 3t. Determine a posic¸a˜o da massa, x(t), em qualquer
instante t, se a mola em t = 0 seg estiver em x = 0 m e iniciar o movimento com veloci-
dade inicial 0, 2 m/seg.
2a Questa˜o: Um corpo tem temperatura dada por T (x, y, z) = ln( 9x2 + y2 − 4z2).
(a) (0,5 pontos) Desenhe e classifique a superf´ıcie de n´ıvel S da func¸a˜o T , correspondente
a` temperatura ln 36.
(b) (1,0 ponto) Determine o plano tangente a` S no ponto P0 = (2, 6, 3) e as equac¸o˜es
parame´tricas da reta normal a` S em P0.
(c) (0,5 pontos) Determine a direc¸a˜o (vetor unita´rio) correspondente a maior taxa de
variac¸a˜o da temperatura no ponto P0 e deˆ o valor desta taxa ma´xima.
(d) (0,5 pontos) Suponha que x = x(u, v), y = y(u, v) e z = z(u, v) sejam func¸o˜es
diferencia´veis tais que (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) pertence a` S, para todo (u, v) e que
(x(1, 1), y(1, 1), z(1, 1)) = P0 = (2, 6, 3). Calcule
∂T
∂u
(1, 1).
3a Questa˜o: Seja Σ a superf´ıcie definida pela equac¸a˜o: y2 + xz + z2 − ez = 0.
(a) (1,0 ponto) Seja z = f(x, y) func¸a˜o diferencia´vel definida implicitamente pela equac¸a˜o
de Σ acima e tal que f(−2, e) = 2. Calcule ∂f
∂x
(−2, e) e ∂f
∂y
(−2, e).
(b) (0,5 pontos) Calcule a derivada direcional da func¸a˜o z = f(x, y) no ponto (−2, e) na
direc¸a˜o do vetor ~v = 〈1,−1〉.
(c) (0,5 pontos) Verifique que os planos tangentes a` superf´ıcie Σ nos pontos (x, y, 2) pas-
sam pela origem.
4a Questa˜o: O plano 2z − y = 1 intercepta o cone z2 = x2 + y2 numa elipse C.
(a) (1,5 pontos) Utilize o me´todo dos multiplicadores de Lagrange para determinar as
distaˆncias ma´xima e mı´nima da elipse C a` origem (0, 0, 0).
(b) (1,0 ponto) Determine as equac¸o˜es parame´tricas da reta tangente a` elipse C no ponto
P que esta´ mais afastado da origem e deˆ uma equac¸a˜o do plano normal a` C em P .

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