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Instituto de Matema´tica - IM/UFRJ
Ca´lculo Diferencial e Integral II - MAC128
Prova Final Unificada - Escola Polite´cnica / Escola de Qu´\u131mica - 07/07/2010
Questa\u2dco 1: (2.0 pontos)
A taxa de crescimento de uma populac¸a\u2dco e´ proporcional a´ raiz quadrada da populac¸a\u2dco em cada
instante t. Quando t = 1 ano, a populac¸a\u2dco e´ de 400 individuos e quando t = 2 anos a populac¸a\u2dco e´
de 625 individuos.
(a) (1.5 ponto) De\u2c6 a soluc¸a\u2dco da equac¸a\u2dco que governa a evoluc¸a\u2dco da populac¸a\u2dco em cada instante t
qualquer,
(b) (0.5 ponto) Depois de quantos anos a populac¸a\u2dco sera´ igual a 900 individuos ?
Questa\u2dco 2: (2.5 pontos)
Resolva o problema de valores iniciais
x\u2032\u2032(t) + 25x(t) = 20sen(5t); x(0) = 1, x\u2032(0) = 3.
Questa\u2dco 3: (3.0 pontos)
Sejam S1 dada por (x\u22121)2+y2+z2 = 1 e S2 o gra´fico de f(x, y) =
\u221a
x2 + y2 e P0 = (1/4,
\u221a
3/4, 1/2).
(a) (1.0 ponto) De\u2c6 a equac¸a\u2dco do plano tangente a S1 em P0,
(b) (1.0 ponto) De\u2c6 a equac¸a\u2dco da reta normal a S2 em P0,
(c) (1.0 ponto) De\u2c6 a equac¸a\u2dco da reta tangente a C = S1 \u2229 S2 em P0.
Questa\u2dco 4: (2.5 pontos)
Sejam f(x, y) = x2 + 2y2 \u2212 x e D = {(x, y); x2 + y2 \u2264 1}.
(a) (1.0 ponto) Determine e classifique os pontos cr´\u131ticos de f em D;
(b) (1.0 ponto) Determine, utilizando o me´todo dos Multiplicadores de Lagrange, os pontos de
ma´ximo e m\u131´nimo absolutos de f na fronteira de D.
(c) (0.5 ponto) Determine os valores ma´ximo e m\u131´nimo de f em D.
Durac¸a\u2dco da prova: duas horas
Regras:
\u2022 Na\u2dco e´ permitida consulta a qualquer fonte, se ausentar da sala durante a prova, utilizar calculadora.
\u2022 Todo o material do aluno, com excec¸a\u2dco de la´pis, caneta, re´gua, borracha deve ficar junto a` mesa do professor
\u2022 Os aparelhos celulares e similares devem ficar desligados na bolsa/mochila do aluno junto a` mesa do professor
\u2022 O aluno deve apresentar o documento de identificac¸a\u2dco quando for assinar a folha de presenc¸a.
\u2022 A prova pode ser feita com la´pis e/ou caneta.
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