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Exerc´\u131cios de Ca´lculo II- Equac¸o\u2dces Diferenciais de Primeira
Ordem
1. Resolva as seguintes equac¸o\u2dces diferenciais
(i) y\u2032 \u2212 2 yx+1 = (x+ 1)3.
(ii) y\u2032 + y = e\u2212x.
(iii) y\u2032 \u2212 nxy = exxn.
(iv) y\u2032 + 2exy = ex.
Resposta: y(x) = 12 + Ce
\u22122ex , C \u2208 R.
(v) (cos t)s\u2032 + (sen t)s = 1, 0 < t < pi2 .
Resposta: s(t) = sen t+ C cos t, C \u2208 R.
2. Ache a func¸a\u2dco y : R\u2192 R satisfazendo
(i) y\u2032 + y = x3 + e3x e y(0) = 1.
(ii) y\u2032 + (cosx)y = 2xe\u2212sen x e y(pi) = 0.
(iii) (x3 \u2212 x)y\u2032 + (2x+ 1)y = x2(x+ 1) 32 , \u2200x > 1 e y(3) = 5.
Resposta: y(x) =
\u221a
2
3
x(x+1)
1
2
(x\u22121) 32
+ 23x(x+ 1)
1
2 .
(iv) x2y\u2032 + (1\u2212 2x)y = x2, \u2200x \u2208 R e y e´ uma func¸a\u2dco cont´\u131nua em 0.
Resposta: y(x) = x2 se x \u2265 0 e y(x) = x2(1 + Ce 1x ) se x < 0, onde C \u2208 R.
3. Resolva as seguintes equac¸o\u2dces diferenciais na\u2dco lineares e de\u2c6 a soluc¸a\u2dco na forma explicita
(quando for poss´\u131vel)
(i) y\u2032 = ex\u2212y.
(ii) y\u2032 = senx cos2 y.
(iii) y\u2032 =
\u221a
1\u2212 y2.
(iv) y\u2032 = 1\u2212 y2.
(v) sen \u3b8 cos\u3d5d\u3b8 \u2212 cos \u3b8sen\u3d5d\u3d5 = 0.
(vi) x(ln y)y\u2032 = y.
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