03MAD_doc01

Fatorial de um número natural 
 
Exemplos: 
a) 6! = 6 . 5! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720 
b) 4! = 4. 3! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 
c) 7! = 7 . 6! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5040 
d) 10! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 3.628.800 
e) 3! = 3 . 2 . 1 = 6 
Perceba que 7! = 7 . 6 . 5 . 4!, ou que 
6! = 6 . 5 . 4 . 3!, e assim sucessivamente. 
 
 
 
Arranjos simples 
 
Exemplo 1 
 
Dado o conjunto A = (1, 2, 3, 4), vamos escrever todos os arranjos desses quatro elementos 
tomados dois a dois. 
(1, 2); (1, 3); (1, 4); (2, 1); (2, 3); (2, 4); (3, 1); (3, 2); (3, 4); (4, 1); (4, 2); (4, 3) 
Notamos que (2, 3) ≠ (3, 2), isto é, a troca na ordem dos elementos de um possível agrupamento 
gera um agrupamento diferente. 
 
Exemplo 2 
 
Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0,1,2,...,9. O segredo do cofre é marcado por 
uma sequência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas 
deverá fazer (no máximo) para conseguir abri-lo? 
 
As sequências serão do tipo xyz. Para a primeira posição teremos 10 alternativas, para a 
segunda, 9 e para a terceira, 8 (lembrando que são dígitos distintos, ou seja, diferentes). 
Aplicando a fórmula de arranjos pelo PFC, chegaremos ao mesmo resultado: 10.9.8 = 720. 
Observe que 720 = A10,3 
 
Cálculo do número de arranjos 
 
Seja um conjunto de n elementos distintos. Vamos encontrar uma expressão para o número de 
arranjos dos n elementos tomados k a k: 
 
 
(An,k). 
A fórmula do Arranjo é: 
 
 
An,k = 
)!(
!
kn
n

 | n ≥ k 
 
 
 
 
 
Exemplo 3 
Obter o valor de A4,2 + A7,3. 
 
Temos 
A4,2 = 
)!24(
!4

 = 
!2
!4
 = 
2
2.3.4
 = 12 
 
A7,3 = 
)!37(
!7

 = 
!4
!7
 = 
!4
!4.5.6.7
 = 210 
 
Logo o valor de A4,2 + A7,3 será: 12 + 210 = 222 
 
 
 
Permutações simples 
 
 
Exemplo 1 
Escrever todos os anagramas da palavra SOL. 
Um anagrama da palavra SOL é qualquer permutação das letras S, O, L de modo que se forme 
uma palavra com ou sem sentido. 
Assim, temos: SOL, SLO, OSL, OLS, LOS, LSO. 
 
Exemplo 2 
De quantas maneiras cinco pessoas, A, B, C, D e E podem ser dispostas em fila indiana? 
Cada maneira de compor a fila é uma permutação das cinco pessoas, pois qualquer fila obtida é 
uma sequência ordenada na qual comparecem sempre as cinco pessoas. 
Assim, o resultado esperado é: 
 
P5 = 5! = 5 . 4 . 3 . 2. 1 = 120 
 
 
 
Exemplo 3 
Baseado no exemplo anterior (cinco pessoas, A, B, C, D e E), quantas filas podem ser compostas 
começando por A ou por B? 
A 1ª posição da fila pode ser escolhida de duas maneiras (tanto A como B pode iniciá-la). 
Definido o início da fila, restarão sempre quatro lugares para serem preenchidos pelas quatro 
pessoas restantes, num total de: 
P4 = 4! = 24 possibilidades. 
 
Pelo PFC, o resultado é: 2 x 24 = 48. 
 
 
Permutação com elementos repetidos 
 
 
Exemplo 1 
Determine o número de anagramas da palavra MATEMATICA. 
 
Temos 10 elementos, com repetições. 
A letra M está repetida duas vezes, a letra A três, a letra T, duas vezes. 
Pela fórmula anterior, teremos: 
n=10 
a=2 
b=3 
c=2. 
 
P10
(2,3,2) = 
!2!3!2
!10
 = 151200 
 
Exemplo 2 
Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra MARIA? 
 
Temos: 
n = 5 (cinco letras) 
a = 2 (a letra A se repete duas vezes) 
 
P5
(2) = 
!2
!5
 = 
2
2.3.4.5
 = 5.4.3 = 60 
 
 
 
 
Combinações 
 
 
 
Exemplo 1: 
 
Uma turma é formada por 10 alunos. Deseja-se formar uma comissão de três alunos para 
representação discente na universidade. De quantas maneiras podemos fazer tal escolha? 
 
Como ao trocar a ordem das pessoas em cada comissão formada não altera em nada o grupo, 
temos que trabalhar com combinação. 
n = 10 
k = 3 
 
Cn,k = 
)!(!
!
knk
n

 
 
= 
)!310(!3
!10

 = 
)!310(!3
!10

 = 
!7.2.3
!7.8.9.10
 = 120 
 
 
 
Exemplo 2 
 
Escrever todas as combinações dos cinco elementos do conjunto M = {a, e, i, o, u} tomados dois a 
dois. 
 
Devemos determinar todos os subconjuntos de M formados por dois elementos. 
Lembremos que não importa a ordem dos elementos escolhidos: 
{a, e} = {e, a}; portanto é combinação. 
 
Cn,k = 
)!(!
!
knk
n

 = 
!3!2
!5
 = 
!3.2
!3.4.5
 = 10 
 
Assim, as combinações pedidas são: 
 
{a, e}; {a, i}; {a, o}; {a, u}; {e, i}; {e, o}; {e, u}; {i, o}; {i, u}; {o, u} 
 
 
 
Exemplo 2 
 
Cinco alunos – Pedro, Luís, José, Abel e Márcio – participam de um concurso onde serão 
 
 
sorteados três livros. Quais são os possíveis resultados do concurso? 
 
Sortear {Pedro, José, Marcio} é o mesmo que sortear {José, Marcio, Pedro}, pois nas duas 
situações esses alunos ganharão os livros. 
Desta forma, cada resultado do sorteio é uma combinação dos cinco alunos tomados três a três. 
 
Temos: 
n = 5 
k = 3 
Cn,k = 
)!(!
!
knk
n

 = 
!2!3
!5
 = 
!3.2
!3.4.5
 = 10 
 
Os possíveis resultados do concurso são: 
 
{P, J, M}; {P, J, A}; {P, M, A}; {P, L, J}; {P, L, M}; {P, L, A}; {L, J, A}; {L, J, M}; {J, A, M}; {L, A 
M} 
 
 
 
Quando usar Arranjo e quando usar Combinação? 
 
Arranjo: quando os agrupamentos conseguidos ficam diferentes ao se inverter a 
ordem dos elementos. 
 
Combinação: quando os agrupamentos conseguidos não se alteram ao se inverter 
a ordem dos elementos.